歐幾里得76、數(shù)學(xué)邏輯體系的起點，邏輯關(guān)系，反證法是可信的

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只能用反證法證明的命題，有以下幾類：

…反證法：見《歐幾里得72~75》…

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

…命、題、命題：見《歐幾里得70》…

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1.有關(guān)純數(shù)字劃分的問題很多命題都只能借助反證法得證。這類問題通常都是直接作為定理或常用推論來使用的，比如根號2是無理數(shù)。

…定、理、定理：見《歐幾里得2》…

…推、論、推論：見《歐幾里得66》…

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2.對許多直接建立在定義和公理之上的一級定理：

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

…公、理、公理：見《歐幾里得1、2》…

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由于這些定理可使用的證明條件太少，只能用反證法才能證明。而建立在定義、公理與一級定理之上的二級定理，以及在邏輯鏈中更靠后的三級定理、四級定理等等，由于已被證明的定理數(shù)目越來越多，因此對于邏輯鏈中更靠后的定理，有更多的證明條件可以使用，常常不必使用反證法就可以得證。而公理本身是不證自明的，它們是數(shù)學(xué)邏輯體系的起點（基石），這已經(jīng)是數(shù)學(xué)知識的底線了。如果你不接受它們，你認(rèn)同的所有數(shù)學(xué)命題都不成立。

…邏、輯、邏輯：見《歐幾里得5》…

…體、系、體系：見《歐幾里得27》…

3.證明一個集合有無窮多個元素：用反證法。即證明如果它是有限的，則會存在矛盾

…集、合、集合：見《歐幾里得31》…

…元、素、元素：見《歐幾里得45》…

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如，證明不存在最大的自然數(shù)。如果從正面去證明，相當(dāng)于列舉自然數(shù)，然而我們需在有限的步驟中完成，因此直接證法行不通。于是，利用排中律轉(zhuǎn)化為：對于所有自然數(shù)n，存在一個自然數(shù)m，使得m>n。這幾乎是顯然的。

…排中律：見《歐幾里得72~74》…

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總之，只要承認(rèn)證明過程中只能在有限的步驟中完成，那么關(guān)于無窮的問題，我們也只能利用排中律轉(zhuǎn)化為有窮來證明。

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依據(jù)

反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。

…思、維、思維：見《歐幾里得22》…

…矛盾律：見《歐幾里得73》…

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反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以反命題必為假。再根據(jù)“排中律”，命題與反命題這互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原命題必為真。

所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。

…基、本、基本：見《歐幾里得2》…

…理、論、理論：見《歐幾里得5》…

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使用方法

運用反證法證明命題的第一步是：假設(shè)命題不成立，即假設(shè)命題的反面成立。在這一步驟中，必須注意正確的反設(shè)，這是正確運用反證法的基礎(chǔ)、前提，正確作出反設(shè)，是使用反證法的一大關(guān)鍵。否則，如果錯誤地“否定命題”，即使推理、論證再好也都會前功盡棄。

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要想正確的做出反設(shè)，必須注意以下幾點：

（1）分清命題與反命題的邏輯關(guān)系。

…關(guān)、系、關(guān)系：見《歐幾里得75》…

…邏輯關(guān)系：即“依賴關(guān)系”，指在人類活動中和思維活動中，概念之間的邏輯關(guān)系、命題之間的邏輯關(guān)系、事物之間的邏輯關(guān)系，時間之間和空間之間的邏輯關(guān)系。指表示兩個活動（前導(dǎo)活動和后續(xù)活動）中一個活動的變更將會影響到另一個活動的關(guān)系…

（…概、念、概念：見《歐幾里得22、23》…）

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（2）結(jié)論的反面常常不止一種情形，則需反設(shè)后，分別就各種情況歸謬（miù），做到無一遺漏。

…歸：見《歐幾里得38》…

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…謬：本意是極端錯誤，非常不合情理，錯誤的，不合情理的，差錯。禮記·中庸》有記載：考之三王而不謬。

字義：1.錯誤的；荒唐的：～論。

2.差錯：失之毫厘，～以千里…

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…歸謬：又稱歸謬法…

…法：見《歐幾里得3》…

…歸謬法：一種反駁方法。先假定被反駁的觀點是正確的，再從它推出明顯荒謬的結(jié)論，從而證明它是錯誤的。

歸謬法一般指反證法…

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總之，在否定命題之前，首先要弄清命題是什么。當(dāng)命題的反面非常明顯并且只有一種情形時，是比較容易做出否定的。但命題的反面是多種情形或者比較隱晦（huì）時，就不太容易做出否定。這時必須認(rèn)真分析（xī）、仔細(xì)推敲，在提出“假設(shè)”后，再回過頭來看看“假設(shè)”的對立面是否恰是原命題。

…分、析、分析：見《歐幾里得36》…

范例

證明：素數(shù)有無數(shù)個。

…素：見《歐幾里得24》…

…數(shù)：見《歐幾里得15》…

…素數(shù)一般指質(zhì)數(shù)…

…質(zhì)、質(zhì)數(shù)：見《歐幾里得15、16》…

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這個古老的命題最初是由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid Alexandra，生活在亞歷山大城，約前330～約前275，是古希臘最享有盛名的數(shù)學(xué)家）在他的不朽著作《幾何原本》里給出的一個反證法：

假設(shè)命題不真，則只有有限多個素數(shù)，設(shè)所有的素數(shù)是2=a（1）＜a（2）＜a（3）…＜a（n）

此時，令N=a（1）·a（2）·a（3）…a（n）+1

（…真：符合事實…見《歐幾里得75》…

…不真：不符合事實…）

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那么所有的a（i）（i=1，2，3，4，5，n）顯然都不是N的因子，那么有兩個可能：

…因、子、因子：見《歐幾里得16》…

1.N有另外的素數(shù)真因子。

…真：見《歐幾里得16》…

…真因子：自身以外的因數(shù)。如6=1×6=2×3，6的真因子就是1、2、3；28=1×28=2×14=4×7，28的真因子就是1、2、4、7、14…

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2.N本身就是一個素數(shù)。

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但是顯然有N＞a（i）（i=1，2，3，4，5，n）。

無論是哪種情況，都將和假設(shè)矛盾。這個矛盾就完成了我們的證明，所以確實有無數(shù)個素數(shù)！

“雷恩是首個以符號“∴”表示“所以”（therefore）的人（“主要是因為寫字母太麻煩了…”雷恩說。），他于1659年的一本代數(shù)書中以“∴”及“∴”兩種符號表示“所以”，其中以“∴”用得較多。

請看下集《歐幾里得77、最、簡、最簡分?jǐn)?shù)，分子，母、分母，互、互質(zhì)，數(shù)學(xué)符號∵∴》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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