2023數(shù)分Day67(多元函數(shù)微分學(xué)與隱函數(shù)定理5：變量變換與微分方程)

2023-07-15 03:39 作者:看036 0人讀過 | 我要投稿

一、整體感受

1、需要對鏈?zhǔn)椒▌t有清晰認(rèn)識，不然算著算著特別暈。本節(jié)也是一次對鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)的再一次鞏固。

2、注意力需要一定程度的集中，不然稍微開個小差，

就會犯如下錯誤：正號寫成負(fù)號；要乘到分母卻乘到分子上? 等

3、不難，就是算。不過不僅僅是算，對于題目內(nèi)涵的理解不能漏，第二題目不要漏讀，我犯了兩個錯誤，下面做自我檢討。

（1）對于東北大學(xué)這道題，最后一步確定a范圍，并沒有體會到題目中“簡化為zuv=0”中簡化這詞的含義。

（2）對于上財這道題，由于路徑依賴，看到前3題都是只對自變量做變換即可，所以就沒把題目讀完整，而本題特色就在同時也對因變量也作出變化，由于我的審題上疏漏，導(dǎo)致整道題做錯。一定深刻反思，可以學(xué)習(xí)做過題目思路，但不可不思考、閱讀直接依賴之前思路，要關(guān)注每道題的特點，復(fù)習(xí)、學(xué)習(xí)過程上不能做思維上的懶惰者，自勉之。

二、需要復(fù)習(xí)（學(xué)習(xí)）以及掌握的

1、中值定理理論及應(yīng)用

（提到這個中值定理是因為大連理工中最后一步用到了一個結(jié)論“若zuv=0,則z=f(u)+g(v)”,這個結(jié)論證明最重要一步就是中值定理的使用）

（1）中值定理理論

（2）中值定理應(yīng)用（以一個結(jié)論證明，說明如何使用）

2、由于上財這道題出的非常精彩，準(zhǔn)備去做一下整套卷。

三、具體題目

1（西南交大）

本質(zhì)：鏈?zhǔn)椒▌t求偏導(dǎo)+充分利用題干

思路：去驗證左邊=右邊，這里從左邊入手，必須得算zxx和zyy,算這兩個前提就是得算zx和zy。算就可以。

具體做法：

①必須先從題干的那個關(guān)系式入手，由于u,v是關(guān)于x,y的函數(shù)，所以求出來ux,uy,vx,vy這是為為之后求zx,zy,zxx,zyy做準(zhǔn)備。

②求zx,zy

③求zxx,zyy

④把zxx,zyy代入要證明左邊式子，發(fā)現(xiàn)=右邊，等式成立。

2（大連理工）

本質(zhì)：鏈?zhǔn)椒▌t求偏導(dǎo)

思路：關(guān)鍵把zxx,zyy,zy全算出來，最后代入讓微分方程為0，看看能得到什么。

具體做法：

①充分利用題干，把u和v分別關(guān)于x,y求偏導(dǎo)，為求zx,zy做鋪墊；

②求zx,zy，利用鏈?zhǔn)椒▌t

③求zxx，zxy，繼續(xù)利用鏈?zhǔn)椒▌t做

④代入微分方程得到4e^(2y)*zuv=0,這說明zuv=0，

⑤利用本專欄二、1應(yīng)用的結(jié)論得到z=f(u)+g(v),再把u和v換成用x,y的表達(dá)式就可以了，注意：這里再補(bǔ)充一句f,g為任意二階連續(xù)可微函數(shù)。

3（東北大學(xué)）

本質(zhì)：鏈?zhǔn)椒▌t求偏導(dǎo)。

本題特色：“簡化為”的理解；不過仍然把題干中zxx,zxy,zyy求出代入，去算常數(shù)a。

具體做法：

①充分利用題干，把u和v分別關(guān)于x,y求偏導(dǎo)，為求zx,zy做鋪墊；

②求zx,zy，利用鏈?zhǔn)椒▌t

③求zxx，zxy，zyy繼續(xù)利用鏈?zhǔn)椒▌t做

④zxx，zxy，zyy代入方程，得到（10+5a)zuv+(6+a-a^2)zvv=0,這一步是關(guān)鍵，由于要化簡到zuv=0的形式，這說明zuv前面的10+5a≠0，同時由于化簡的最終結(jié)果沒有zvv，那么zvv前面的系數(shù)(6+a-a^2)=0，二者同時滿足，得到a=3.

注：“對于10+5a≠0”的說明，為何是≠0，而不是=1呢？

因為只要能夠做到zvv前面的系數(shù)(6+a-a^2)=0，(6+a-a^2)zvv=0之后，此時zuv前面的系數(shù)總能同乘一個非零數(shù)做到使得zuv前面系數(shù)為1的，所以只要求這個系數(shù)不為0即可。