我們在Ep21聊了“實(shí)數(shù)完備性”的第一個定理——“確界原理”：非空有上界的數(shù)集必有上確界；非空有下界的數(shù)集必有下確界。

我們在Ep49介紹了“實(shí)數(shù)完備性”的第二個定理——“單調(diào)有界原理”：單調(diào)有界數(shù)列必收斂。

我們在Ep61介紹了“實(shí)數(shù)完備性”的第三個定理——“閉區(qū)間套定理”：

1. 閉區(qū)間套的無限序列——In=[an，bn]，n為正整數(shù)，滿足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趨向于無窮大時——

則這些區(qū)間的公共部分為唯一的一點(diǎn)/一個數(shù)。

我們在Ep66介紹了“實(shí)數(shù)完備性”的第四個定理——“柯西準(zhǔn)則”——

條件：對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N且n'>N時，有|xn-xn'|<ε；

結(jié)論：數(shù)列{xn}有極限x，即對于任意小數(shù)ε'>0，存在自然數(shù)N'，當(dāng)n>N'時，有|xn-x|<ε'。

今天我們來從“單調(diào)有界定理”推導(dǎo)“柯西準(zhǔn)則”，其中必要性證明同Ep66，我們只證明充分性。

充要條件，必然證明分為必要性和充分性兩部分——

a.必要性：用數(shù)列極限的定義證明即可。

b.充分性——

已知：對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N且n'>N時，有|xn-xn'|<ε；

求證：數(shù)列{xn}有極限x，即對于任意小數(shù)ε'>0，存在自然數(shù)N'，當(dāng)n>N'時，有|xn-x|<ε'。

工具：單調(diào)有界定理（：單調(diào)有界數(shù)列必收斂）。

分析：這里最關(guān)鍵的步驟是單調(diào)有界數(shù)列的構(gòu)造（思想類似于Ep66實(shí)數(shù)分劃的構(gòu)造）

——構(gòu)造兩個數(shù)集A和B，對于A中任意元素aj，有aj=min{xj，……，xn，……}<=max{x1，……，xn，……}，對于B中任意元素bk，有bk=max{xk，……，xn，……}>=min{x1，……，xn，……}，就此得到兩個數(shù)集，證明分三步。

證明：

step1：構(gòu)造兩個數(shù)列，證明其單調(diào)有界——

1. 構(gòu)造兩個數(shù)列{an}和{bn}，對于{an}中任意元素aj，有aj=min{xj，……，xn，……}，對于{bn}中任意元素bk，有bk=max{xk，……，xn，……}；

2. 由于對于任意m<n，有am=min{xm，……，xn，xn+1，……}<=an=min{xn，xn+1，……}，所以{an}是一個單增數(shù)列，同理，{bn}是一個單減數(shù)列；

3. （反證法）由2，假設(shè){an}無上界，即對于任意大數(shù)E>0，存在自然數(shù)N'，n>N'時，有an>aN'>=E，又因?yàn)閧xn}是柯西列，對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N"，當(dāng)n>N"且n'>N"時，有|xn-xn'|<ε，取N=max{N'，N"}，n>N+1時，有an-aN+1<ε，即an<aN+1+ε，如果取E=aN+1+ε，導(dǎo)出矛盾，an>E=aN+1+ε，故而{an}有上界，同理{bn}有下界；

4. 所以{an}有極限a，{bn}有極限b。

step2：證明a=b——

1. 有構(gòu)造可知，對于任意自然數(shù)n，有an=min{xn，xn+1，…… }，bn=max{xn，xn+1，……}，所以，an<=bn；

2. 由1，lim an<=lim bn，即a<=b；

3. 由數(shù)列為柯西列，則對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時，an=min{xn，xn+1，……}，bn=max{xn，xn+1，……}，bn-an=|max{xn，xn+1，……}-min{xn，xn+1，……}|<ε，即lim（bn-an）=0；

4. 由2,3，lim（bn-an）=lim bn-lim?an=b-a=0，即a=b，這個值記為x。

step3：證明x即為所求數(shù)列極限——

1. x是{an}的極限，即對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N'，當(dāng)n>N'時，|an-x|<ε，即x-ε<an<x+ε，同理，存在自然數(shù)N''，當(dāng)n>N''時，|bn-x|<ε，即x-ε<bn<x+ε；

2. an=min{xn，xn+1，……}<=xn，同理，bn>=xn，即an<=xn<=bn；

3. 由1,2，對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N=max{N'，N''}，當(dāng)n>N時，x-ε<an<=xn<=bn<x+ε，即|xn-x|<ε，即x是{xn}的極限，證畢。

就到這里！