說明：題目選自封繼康先生的量子化學的課后習題。

斷續(xù)更新。題目加我自己做的答案還有補充說明會以專欄的形式投。如果有疑問的可以提，我在下一次投稿的時候可以一起解答。

1.1

設粒子所處的狀態(tài)可以用下列函數(shù)描述：

其中a,b為常數(shù)。求粒子的概率密度，并說明概率密度為實數(shù)。

首先回憶概率密度可以用波函數(shù)模的平方來度量（不一定等于，因為有歸一化的問題）。模的平方為實部和虛部的平方和。由于它給的是指數(shù)形式，所以借用歐拉公式來化簡，忘了歐拉公式的同學可以看視頻。

我目前用不習慣約化普朗克常量，所以還是寫成了h的形式。最后用一下二倍角，好看一些。最后的結(jié)果沒有虛數(shù)單位i，明顯是個實數(shù)。

1.2

若給出波函數(shù)：

其中a為實數(shù)，求其歸一化因子。

這道題對于沒有學過數(shù)理方程的同學來說有點困難，需要用到伽瑪函數(shù)。所以我補充一些關于伽瑪函數(shù)的結(jié)論。伽瑪函數(shù)又稱為第II類Euler積分，歐拉第二積分等(Г函數(shù))，屬于一種反常積分。形式如下：

我們記為Г(s)。它具有如下性質(zhì)：

我們接下來利用Г函數(shù)的性質(zhì)來解決這個問題。因為要求歸一化因子，所以需要波函數(shù)模的平方，給的是實數(shù)函數(shù)，那就直接化簡它的平方然后積分。