替代公理很強(qiáng)，對(duì)吧。由于具有可以根據(jù)性質(zhì)構(gòu)造出集合的能力，有一點(diǎn)究極公理萬(wàn)有分類公理的風(fēng)范。 然而它們的區(qū)別決定了，也就是P(x)到P(x，y)的轉(zhuǎn)變，注定了替代公理是不會(huì)走上老路的。 我之前想過(guò)，能不能利用替代公理構(gòu)造出萬(wàn)有集。畢竟，相比與分類公理老老實(shí)實(shí)地將新創(chuàng)造的集合收束在自己之內(nèi)。替代公理的“對(duì)于任意的y”太誘人了，讓人不緊遐想，只不過(guò)是多出了一個(gè)限制x屬于A罷了，能有多大阻礙呢…… 那么，就讓我們著手創(chuàng)造一個(gè)性質(zhì)，構(gòu)造一個(gè)萬(wàn)有集吧。。 在此之前，讓我們想一想有了萬(wàn)有集該怎么做:我們應(yīng)該構(gòu)造出的是集合{Ω}這個(gè)單元素集，利用單元素集公理結(jié)合單個(gè)選取將Ω抽出來(lái)，再按照習(xí)題說(shuō)的一樣，利用分類公理，將萬(wàn)有分類公理復(fù)活！ 萬(wàn)有分類:桀桀桀，集合論，你們的皇帝回來(lái)辣！ 那么開(kāi)始吧：首先定義一個(gè)性質(zhì)P(x,y)，比如定義一個(gè)恒為真的命題:當(dāng)1=1時(shí)，y＝Ω。 等等，根據(jù)蘊(yùn)含的邏輯，如果前提為真的話，那么結(jié)果也得為真命題才為真。也就是說(shuō)，我們得先承認(rèn)Ω才行，kuso。。 那么令P為“0=1時(shí)，y=Ω”。但，也不行，因?yàn)椤?=1”是關(guān)于x的命題，根本不存在這樣的x讓它成立。要命的是，替代公理后面還跟著一句“且x屬于A”……這時(shí)候，這句話就恒為假了。。 萬(wàn)有分類:唔啊?。。ㄖ匦路庥。?可惡，那，現(xiàn)有集合論公理承不承認(rèn)萬(wàn)有集呢?公理們動(dòng)員起來(lái)，并把正則公理踢出群聊。 空集存在:我只承認(rèn)有空集哦。 集合是對(duì)象:看我干嘛? 單、雙元素集:存在?不存在?希臘奶。 并集:(微笑) 分類公理:有我的事么？ 替代公理:…… 經(jīng)過(guò)大家的一致表決，除了空集存在公理承認(rèn)了存在一個(gè)空集之外。其它的公理都沒(méi)有承認(rèn)任何明確的集合存在……嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，現(xiàn)在的集合論就只是一個(gè)建立在空集和空集的集合和空集的集合的集合之類的枯燥的世界。。 無(wú)窮大公理:我我我，自然數(shù)集也是存在的?。ㄕJ(rèn)真） 集合論的世界多了一絲生機(jī)，可喜可賀，可喜可賀。 那直接創(chuàng)造出萬(wàn)有集好了。。嗬嗬嗬，反正總有一天你們要?jiǎng)?chuàng)造新的具有實(shí)在的集合的吧。我就在那個(gè)時(shí)候，偷偷地，偷偷地出現(xiàn)。（陰險(xiǎn)） 正則公理:噠咩喲（無(wú)慈悲） 就這樣，萬(wàn)有分類公理被愉快地排除在了集合論外，永遠(yuǎn)地停止了思考…… 總結(jié)一下:替代公理并不能從虛無(wú)中構(gòu)造出集合，因此在公理體系下是十分安全的。 公理的能力概況: 集合是對(duì)象:如名字 空集存在:如名字 單雙元素集:如果有一個(gè)對(duì)象，那么就存在一個(gè)集合，它的元素恰好就是那個(gè)對(duì)象。雙元素集類似。 并集:如果有兩個(gè)集合，那么存在兩個(gè)集合的元素之并的集合。 分類:可以構(gòu)造出滿足條件的子集。 替代:從已知集合創(chuàng)造滿足條件的新集合。 無(wú)窮大:存在自然數(shù)集。 萬(wàn)有分類(被封印):構(gòu)造出任何滿足條件的集合。 萬(wàn)有集Ω:所有對(duì)象都是它的元素。當(dāng)然，也包括它自己。其存在等價(jià)于萬(wàn)有分類公理 正則:集合內(nèi)不能具有同級(jí)的存在。直接否定了萬(wàn)有集的存在。