【種花家務(wù)·代數(shù)】1-6-02比的基本性質(zhì)『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

2023-09-20 08:24 作者:山嵓 0人讀過 | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學(xué)酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教中學(xué)甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認為《微積分初步》這本書對“準大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個措手不及。

第六章比和比例?

§6-2比的基本性質(zhì)

【01】兩個數(shù)的比實際上也就是表示這兩個數(shù)的商，可以寫成分式的形式。例如 a:b，可以寫做 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Ba%7D%20%7Bb%7D$ ? 。所以分式的基本性質(zhì)，對于比來說，也是適用的。因此我們有比的基本性質(zhì)：比的前項和后項，乘以或除以相同的不等于零的數(shù)或代數(shù)式時，比的值不變。即

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cboldsymbol%7Ba%7D%26%3A%5Cboldsymbol%7Bb%7D%3D%5Cboldsymbol%7Bm%7D%5Cboldsymbol%7Ba%7D%3A%5Cboldsymbol%7Bm%7D%5Cboldsymbol%7Bb%7D%5Cquad(m%5Cneq0)%2C%5C%5C%5Cboldsymbol%7Ba%7D%26%3A%5Cboldsymbol%7Bb%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cboldsymbol%7Ba%7D%7D%7B%5Cboldsymbol%7Bm%7D%7D%3A%5Cfrac%7B%5Cboldsymbol%7Bb%7D%7D%7B%5Cboldsymbol%7Bm%7D%7D%5Cquad(m%5Cneq0).%5Cend%7Baligned%7D$

【02】根據(jù)比的基本性質(zhì)，我們可以化簡一個比，使比的前項和后項沒有公因式：

例1.化簡：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%26(1)3a%5E5b%5E3c%3A(-18a%5E3bc%5E3)%3B%5C%5C%26(2)%20a(a%5E2-b%5E2)%3A(a%5E3-b%5E3)%3B%5C%5C%26(3)(x%5E2-5x%2B6)%3A(x%5E2-6x%2B8)%3B%5C%5C%26(4)%5Cleft(a%2B%5Cfrac1a%5Cright)%3A%5Cleft(a-%5Cfrac1a%5Cright).%5Cend%7Baligned%7D$

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%26%26(1)3a%5E5b%5E3c%7B%3A%7D(-18a%5E3bc%5E3)%20%5C%5C%0A%26%26%3D%5Cfrac%7B3%5Cboldsymbol%7Ba%7D%5E%7B5%7Db%5E%7B3%7Dc%7D%7B-3%5Cboldsymbol%7Ba%7D%5E%7B3%7Dbc%7D%3A%5Cfrac%7B-18a%5E%7B3%7Dbc%5E%7B3%7D%7D%7B-3a%5E%7B3%7Dbc%7D%3D-a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7D%3A6c%5E%7B2%7D%3B%20%5C%5C%0A%26%26(2)a(a%5E%7B2%7D-b%5E%7B2%7D)%3A(a%5E%7B3%7D-b%5E%7B3%7D)%20%5C%5C%0A%26%26%3Da%5Cleft(a%2Bb%5Cright)%5Cleft(a-b%5Cright)%3A%5Cleft(a-b%5Cright)%5Cleft(a%5E%7B2%7D%2Bab%2Bb%5E%7B2%7D%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%26%3Da%5Cleft(a%2Bb%5Cright)%3A%5Cleft(a%5E2%2Bab%2Bb%5E2%5Cright)%3B%20%5C%5C%0A%26%26(3)~(x%5E%7B2%7D-5x%2B6)%3A(x%5E%7B2%7D-6x%2B8)%20%5C%5C%0A%26%26%3D(x-3)(x-2)%3A(x-4)(x-2)%3D(x-3)%3A(x-4)%3B%20%5C%5C%0A%26%26(4)~%5Cleft(a%2B%5Cfrac1a%5Cright)%7B%3A%7D%5Cleft(a-%5Cfrac1a%5Cright)%3D%5Cleft(a%2B%5Cfrac1a%5Cright)a%3A%5Cleft(a-%5Cfrac1a%5Cright)a%20%5C%5C%0A%26%26%3D(a%5E%7B2%7D%2B1)%3A(a%5E%7B2%7D-1).%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【注】在比的前項或后項中有一個帶有“－”號時，通常要把這個“－”號放在前項。

例2.求下列各比的值：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26(1)3a%5E3b%5E2%7B%3A%7D5a%5E2b%5E3%2C%26%26%5Ctext%7B%E5%85%B6%E4%B8%AD%20%7Da%3D-5%5Ctext%7B%2C%7Db%3D7%3B%5C%5C%26%26(2)(x%5E2-9)%3A(x%5E2-6x%2B9)%2C%26%26%5Ctext%7B%E5%85%B6%E4%B8%AD%20%7Dx%3D-2.1.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【分析】先把比寫成分式的形式，化簡后再代入求值。

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A(1)%263a%5E3b%5E2%3A5a%5E2b%5E3%3D%5Cfrac%7B3a%5E3b%5E2%7D%7B5a%5E2b%5E3%7D%3D%5Cfrac%7B3a%7D%7B5b%7D%3D%5Cfrac%7B3(-5)%7D%7B5(7)%7D%3D-%5Cfrac37.%20%20%5C%5C%0A(2)%26(x%5E2-9)%3A(x%5E2-6x%2B9)%20%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(x%2B3%5Cright)%5Cleft(x-3%5Cright)%7D%7B%5Cleft(x-3%5Cright)%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bx%2B3%7D%7Bx-3%7D%3D%5Cfrac%7B-2.1%2B3%7D%7B-2.1-3%7D%20%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B0.9%7D%7B-5.1%7D%3D-%5Cfrac9%7B51%7D%3D-%5Cfrac3%7B17%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

習(xí)題6-2

化簡(1~10)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261%E3%80%81(-5a%5E4b%5E3c%5E2d)%3A(-15a%5E2b%5E3cd%5E4).%5C%5C%0A%26%262%E3%80%81(x%5E2-1)%5E2%3A(1-x%5E2)%5E2.%5C%5C%0A%26%263%E3%80%81(a-b)(b-c)%3A(b%2Ba)(c-b).%5C%5C%0A%26%264%E3%80%81(x%5E2-5x-6)%3A(x%5E2-1).%5C%5C%0A%26%265%E3%80%81(a-b)%5E3%3A(b-a)%5E3.%5C%5C%0A%26%266%E3%80%81(a%2Bb)%5E3%3A(b%2Ba)%5E3.%5C%5C%0A%26%267%E3%80%81%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%5Cright)%7B%3A%7D(a%5E%7B3%7D-1).%5C%5C%0A%26%268%E3%80%81(a%5E%7B2%7D%2B1)%3A%5Cleft(a%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%5Cright).%20%20%5C%5C%0A%26%269%E3%80%81a%7B%3A%7D%5Cfrac%7Bc%7D%7Bb%7D.%20%5C%5C%0A%26%2610%E3%80%81%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7B%3A%7Dc.%20%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

求下列各比的值(11~14)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%2611%E3%80%81(x%5E2%2B5x-6)%5Cvdots(2-x-x%5E2)%5Ctext%7B%2C%E5%BD%93%7Dx%3D-2%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D.%5C%5C%0A%26%2612%E3%80%81(x%5E3-y%5E3)%5Cvdots(x%5E4%2By%5E4)(x%5E2%2By%5E2)(x%2By)%5Ctext%7B%2C%E5%BD%93%7Dx%3D5.321%5Ctext%7B%2C%7Dy%3D-2.321.%5C%5C%0A%26%2613%E3%80%81(a%5E2%2Bb%5E2)%5Cvdots(a%2Bb)(a-b)%2C%5Ctext%7B%E5%BD%93%7Da%3D-3%2Cb%3D-0.03.%5C%5C%0A%26%2614%E3%80%81%5Cleft(x%2B%5Cfrac1x%5Cright)%5Cvdots%5Cleft(x-%5Cfrac1%7Bx%5E4%7D%5Cright)%5Ctext%7B%2C%E5%BD%93%7Dx%3D-1%5Cfrac12.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【11、7；12、7.642；13、10001/9999；14、9/5】

標簽：

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【種花家務(wù)·代數(shù)】1-6-02比的基本性質(zhì)『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

習(xí)題6-2