【種花家務(wù)·代數(shù)】2-1-09本章復(fù)習(xí)（一元一次方程和可以化為一元一次方程的分式方程）

2023-11-11 12:16 作者:山嵓 0人讀過(guò) | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』，此版叢書(shū)是“數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書(shū)共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書(shū)是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過(guò)這套叢書(shū)卻很適合像我這樣已接受過(guò)基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫(xiě)的注解。

【山話(huà)嵓語(yǔ)】我在原有“自學(xué)叢書(shū)”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚(yú)座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書(shū)”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶猓欢t，我認(rèn)為《微積分初步》這本書(shū)對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開(kāi)課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開(kāi)課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書(shū)”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。

第一章一元一次方程和可以化為一元一次方程的分式方程??

本章提要

1、幾個(gè)重要的概念

????????等式，恒等式，方程，方程的解，解方程，同解方程，整式方程，分式方程，增根。

2、方程的兩個(gè)基本性質(zhì)

????????(1) 方程的兩邊都加上（或者都減去）同一個(gè)數(shù)或者同一個(gè)整式，所得的方程和原方程是同解方程；

????????(2) 方程的兩邊都乘以（或者都除以）不等于零的同一個(gè)數(shù)，所得的方程和原方程是同解方程。

3、一元一次方程的解法

????????應(yīng)用移項(xiàng)法則，并且合并同類(lèi)項(xiàng)，把方程化簡(jiǎn)成 ax＝b 的形式，再求出方程的解。方程 ax＝b 的解有三種情況：

????????(1) 當(dāng) a≠0 時(shí)，方程有一個(gè)解 b/a；

????????(2) 當(dāng) a＝0,b≠0 時(shí)，方程沒(méi)有解；

????????(3) 當(dāng) a＝0,b＝0 時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解。

4、可以化為一元一次方程的分式方程的解法

????????(1) 先把原方程變形成整式方程；

????????(2) 解所得的一元一次方程；

????????(3) 進(jìn)行檢驗(yàn)。

5、列方程解應(yīng)用題的一般步驟

????????(1) 審題，要仔細(xì)閱讀題目，分析題目；

????????(2) 設(shè)元和列出方程，要選擇適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)設(shè)元，再根據(jù)題意列出方程；

????????(3) 解方程，求出未知數(shù)的值；

????????(4) 檢驗(yàn)并且寫(xiě)出答語(yǔ)。

復(fù)習(xí)題一

1、

(1) 等式、恒等式和方程有什么區(qū)別？各舉兩個(gè)例子；

(2) 什么叫做方程的根？

2、利用乘法公式，證明下列等式是恒等式：

(1) (a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a?＋b?)＝a?－b?；

[提示：先把開(kāi)頭兩因式相乘，再依次與第三個(gè)、第四個(gè)因式相乘]

(2) (a＋b)3(a－b)3＝a?－3a?b2＋3a2b?－b?? 。

[提示：(a＋b)3(a－b)3＝[(a＋b)(a－b)]3 ]

3、舉例說(shuō)明同解方程的意義和方程的兩個(gè)基本性質(zhì)。

4、判別下列各題中的兩個(gè)方程是不是同解方程：

(1) 3x＋5＝7x－1 和 (3x＋5)＋(2x＋1)＝(7x－1)＋(2x＋1)；【是】

(2) $%5Cscriptsize%5Cfrac%7By-4%7D5%3D%5Cfrac%7By%2B2%7D3$ 和 3(y－4)－5(y＋2)? 。【是】

5、解下列各方程：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26(1)%5C%2C3(x-7)-2%5C%7Bx%2B9-3%5B9-4(2-x)%5D%5C%7D%3D22%3B%20%20%5C%5C%0A%26(2)%5C%2C%5Cfrac%7B5x%2B1%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7B3x-1%7D%7B5%7D%3D%5Cfrac%7B9x%2B1%7D%7B8%7D-%5Cfrac%7B1-x%7D%7B3%7D%3B%20%5C%5C%0A%26(%203)%5C%2Cy-%5Cfrac%7B3%7D%7B17%7D(2y-1)%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B34%7D(1-2y)%2B%5Cfrac%7B10y-3%7D%7B2%7D%3B%20%20%5C%5C%0A%26(4)%5C%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D(x-2)-%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D(5x-6)%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D(3x-4)%3D%5Cfrac%7B22x-63%7D%7B10.5%7D%3B%5C%5C%0A%26(5)%5C%2C%5Cfrac%7B1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(1-x)%7D%7B3%7D%3D1.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【(1) 2又1/5，(2) 7，(3) 25/67，(4) 1，(5) 21】

6、解下列各方程：

(1) (x－3)2＋(x－4)2＝(x－2)2＋(x＋3)2；

(2) (4x＋5)(4x－5)＝4(2x＋3)2－(100x－17)；

(3) (x＋5)3＋(x－5)3＝2(x＋5)(x2－5x＋25)；

(4) (2x2＋3x－1)(2x2－3x＋4)＝(x2－1)(4x2＋1)? 。

【(1) 3/4，(2) 1又1/2，(3) 1又2/3，(4) 1/5】

7、解下列各方程：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Ctext%7B(1)%7D%5C%2C%5Cfrac%7Bx%2B5%7D%7Bx-1%7D-%5Cfrac%7B3x-3%7D%7Bx%2B5%7D%3D%5Cfrac%7B8x%2B28%7D%7Bx%5E%7B2%7D%2B4x-5%7D-2%3B%20%20%5C%5C%0A%26%5Ctext%7B(2)%7D%20%5C%2C%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7B2%7D%7Bx-2%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%2B%5Cleft(1-%5Cfrac%7B2%7D%7Bx-2%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2x%7D%7Bx-2%7D%3B%20%20%5C%5C%0A%26%5Ctext%7B(3)%7D%20%5C%2C%5Cfrac%7B3-x%7D%7B1-x%7D-%5Cfrac%7B5-x%7D%7B7-x%7D%3D1-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D-2%7D%7Bx%5E%7B2%7D-8x%2B7%7D%3B%20%20%5C%5C%0A%26%5Ctext%7B(4)%7D%20%5C%2C%5Cfrac%7B6x%2B12%7D%7Bx%5E%7B2%7D%2B4x%2B4%7D-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D-4%7D%7Bx%5E%7B2%7D-4x%2B4%7D%2B%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Bx%5E%7B2%7D-4%7D%3D0%2C%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

[提示：先約簡(jiǎn)分式，再解方程]

【(1) 無(wú)解，(2) 4，(3) －1又3/4，(4)?8】

8、解下列各方程：

$%5Csmall(1)%5C%2C%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Bx%2B2%7D%2B%5Cfrac%7Bx%2B6%7D%7Bx%2B7%7D%3D%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7Bx%2B3%7D%2B%5Cfrac%7Bx%2B5%7D%7Bx%2B6%7D%3B$

[解法舉例：本題如果一開(kāi)始就去分母，會(huì)得出很繁的方程，采用下面做法，可以簡(jiǎn)便。

因?yàn)?br>

$%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Bx%2B2%7D%3D1-%5Cfrac1%7Bx%2B2%7D%2C%5Cquad%5Cfrac%7Bx%2B6%7D%7Bx%2B7%7D%3D1-%5Cfrac1%7Bx%2B7%7D%2C$

$%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7Bx%2B3%7D%3D1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B3%7D%2C%5Cquad%5Cfrac%7Bx%2B5%7D%7Bx%2B6%7D%3D1-%5Cfrac1%7Bx%2B6%7D%2C$

所以原方程可以寫(xiě)成? $%5Cscriptsize1-%5Cfrac1%7Bx%2B2%7D%2B1-%5Cfrac1%7Bx%2B7%7D%3D1-%5Cfrac1%7Bx%2B3%7D%2B1-%5Cfrac1%7Bx%2B6%7D%2C$

就是? $%5Cscriptsize-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B7%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B3%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B6%7D.$

移項(xiàng)，得? $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B6%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B7%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B3%7D.$

兩邊分別通分，得? $%5Cscriptsize%5Cfrac1%7Bx%5E2%2B13x%2B42%7D%3D%5Cfrac1%7Bx%5E2%2B5x%2B6%7D%2C$

去分母，得 x2＋5x＋6＝x2＋13x＋42，∴ x＝－9/2? 。]

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D(2)%5C%2C%26%5Cfrac%7Bx-8%7D%7Bx-3%7D-%5Cfrac%7Bx-9%7D%7Bx-4%7D%3D%5Cfrac%7Bx%2B7%7D%7Bx%2B8%7D-%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7Bx%2B3%7D%3B%5C%5C(3)%5C%2C%26%5Cfrac%7Bx%2B7%7D%7Bx%2B6%7D%2B%5Cfrac%7Bx%2B9%7D%7Bx%2B8%7D%3D%5Cfrac%7Bx%2B10%7D%7Bx%2B9%7D%2B%5Cfrac%7Bx%2B6%7D%7Bx%2B5%7D.%5Cend%7Baligned%7D$

【(2) －2/3，(3) －7】

9、解下列關(guān)于 x 的方程：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D(1)%5C%2C%26%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Ba%2Bb%7D%2B%5Cfrac%7Bx-1%7D%7Ba-b%7D%3D%5Cfrac%7B2a%7D%7Ba%5E2-b%5E2%7D%5Cquad(a%5Cneq0)%3B%5C%5C(2)%5C%2C%26%5Cleft(%5Cfrac%20mn%2B%5Cfrac%20nm%5Cright)x%3D%5Cfrac%20mn-%5Cfrac%20nm-2x%5Cquad(m%2Bn%5Cneq0)%3B%5C%5C(3)%5C%2C%26%5Cfrac%7Ba%5E2-2x%7D%7B2x%2B1%7D-%5Cfrac%7Ba%5E2%2B2x%7D%7B1-2x%7D%3D%5Cfrac%7B2(a%5E4-1)%7D%7B4x%5E2-1%7D.%5Cend%7Baligned%7D$

【 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Ba%2Bb%7Da%2C%5Cquad(2)%5Cfrac%7Bm-n%7D%7Bm%2Bn%7D%2C%5Cquad(3)%5Cfrac%7Ba%5E2-1%7D2$ 】

10、解下列關(guān)于 x 的方程，并且加以討論：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%26(1)%5C%3Bx%2B%5Cfrac%7Bax%7D%7Bb%7D%3Da%2Bb%3B%5C%5C%26(2)%5C%3B%5Cfrac%7Bm%2Bx%7D%7Bn%7D%2B2%3D%5Cfrac%7Bx-n%7D%7Bm%7D.%5C%5C%5Cend%7Baligned%7D$

【(1) 如果a＋b≠0，x＝b；如果a＋b＝0，無(wú)數(shù)多解。(2) 如果 m≠n， $%5Cscriptsize%20x%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(m%2Bn%5Cright)%5E%7B2%7D%7D%7Bn-m%7D$ ；如果m＝n，無(wú)解；】

列出方程解下列應(yīng)用題(11~20)：

11、已知三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和等于 45，求這三個(gè)數(shù)。[提示：象 1,3,5 或者 11,13,15 就是三個(gè)連續(xù)奇數(shù)。連續(xù)奇數(shù)的特點(diǎn)跟連續(xù)偶數(shù)的特點(diǎn)一樣，相鄰兩個(gè)數(shù)的差是 2，但每個(gè)數(shù)都不能被 2 整除]【13、15、17】

12、某學(xué)校的實(shí)習(xí)園地里收了青菜、甜菜和白菜，一共 1800 公斤，其中青菜是甜菜的 5 倍，而白菜比甜菜多 120 公斤，青菜、甜菜和白菜各收了多少公斤？【青菜1200公斤，甜菜240公斤，白菜360公斤】

13、某工廠(chǎng)第一個(gè)車(chē)間的人數(shù)比第二個(gè)車(chē)間的人數(shù)的 4/5 少 30 人，如果從第二個(gè)車(chē)間調(diào) 10 個(gè)人到第一個(gè)車(chē)間，那末第一個(gè)車(chē)間的人數(shù)就是第二個(gè)車(chē)間的人數(shù)的 3/4，求原來(lái)每個(gè)車(chē)間的人數(shù)?！镜谝卉?chē)間170人，第二車(chē)間250人】

14、一個(gè)拖拉機(jī)隊(duì)用施拉機(jī)耕一快地，第一天耕的比這塊絕的 1/3 多 2 公頃，第二天耕的比剩下的地的 1/2 多1公頃，這時(shí)還剩下 38 公頃沒(méi)有耕。這塊地一共有多少公頃？【120公頃】

【說(shuō)明】1公頃＝100公畝＝15市畝。1公畝＝100平方米。〖山注||? 目前常用面積單位中“畝”指的就是“市畝”，即 1平方公里＝100公頃＝1500市畝，1市畝＝10分畝＝666.67平方米〗

15、要從含鹽 12.5% 的鹽水 40 公斤里蒸發(fā)掉水分，制出含鹽 20% 的鹽水來(lái)，應(yīng)該蒸發(fā)掉多少水？【15公斤】

16、第一個(gè)正方形一邊的長(zhǎng)比第二個(gè)正方形一邊的長(zhǎng)多 3 厘米，而第一個(gè)正方形的面積比第二個(gè)正方形的面積多 57 平方厘米，求每個(gè)正方形的面積?！?21平方厘米，64平方厘米】

17、甲、乙兩人，各走 14 公里，甲比乙快半小時(shí)；各走 1 小時(shí)，已知甲與乙速度之比是 8:7，求兩個(gè)的速度?！炯?公里/時(shí)，乙(3又1/2)公里/時(shí)】

18、一塊地的播種工作，甲、乙兩人合作，20 小時(shí)可以做完。已知甲與乙速度之比是 5:4，甲、乙兩人獨(dú)做各需幾小時(shí)？【甲36小時(shí)，乙45小時(shí)】

19、有甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，依次小 1，已知乙數(shù)的倒數(shù)與甲數(shù)的倒數(shù)的 2 倍的和，與丙數(shù)的倒數(shù)的 3 倍相等。求這三個(gè)數(shù)?！?/5，－1/5，－6/5】

20、一個(gè)車(chē)工小組，用普通切削法工作了 6 小時(shí)以后，改用新的快速切削法，再工作 2 小時(shí)，一共完成全部任務(wù)的 1/2? 。已知新方法工作 2 小時(shí)，可以完成普通方法工作 4 小時(shí)所完成的任務(wù)，用這兩種方法單獨(dú)工作去完成全部任務(wù)，各需多少小時(shí)？【普通方法20小時(shí)，快速方法10小時(shí)】

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【種花家務(wù)·代數(shù)】2-1-09本章復(fù)習(xí)（一元一次方程和可以化為一元一次方程的分式方程）

本章提要

復(fù)習(xí)題一