極限的保號(hào)性，極限的局部保號(hào)性，保號(hào)性定理
牛頓371、極限的保號(hào)性，極限的局部保號(hào)性，保號(hào)性定理
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大神能給我解釋一下函數(shù)的保號(hào)性是什么意思嗎？
或者你是怎么理解保號(hào)性的？
還有保號(hào)性在函數(shù)里的應(yīng)用？——網(wǎng)友提問
…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…
…性：1.物質(zhì)所具有的性能；物質(zhì)因含有某種成分而產(chǎn)生的性質(zhì)：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動(dòng)詞或形容詞之后構(gòu)成抽象名詞或?qū)傩栽~，表示事物的某種性質(zhì)或性能：黨～。紀(jì)律～。創(chuàng)造～。適應(yīng)～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見《歐幾里得10》…
…保號(hào)性：見《牛頓370》…
…應(yīng)、用、應(yīng)用：見《歐幾里得181》…
擺渡人寶刀君（2019-01-09，1009人贊同了該回答）：…
極限的保號(hào)性，常常被叫做極限的局部保號(hào)性，但由于極限本來就是在局部定義的，因此省略掉“局部”二字，叫極限的保號(hào)性也沒錯(cuò)。
…極、限、極限：見《牛頓202~321》…
…定、義、定義：見《歐幾里得28》…
保號(hào)性的定義是這樣的：
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極限的局部保號(hào)性
定理：函數(shù)極限的保號(hào)性
…定、理、定理：見《歐幾里得2》…
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如果lim（x→x0）f（x）=A，且A＞0（或A＜0），那么存在δ＞0，使得當(dāng)0＜|x-x0|＜δ時(shí)，有f（x）＞0 [或f（x）＜0]
…lim：limit…
[…limit（英文）：n.限度；限制；極限；限量；限額；（地區(qū)或地方的）境界，界限，范圍。
v.限制；限定；限量；減量…]
…δ（希臘字母）：Delta（大寫 Δ，小寫 δ），是第四個(gè)希臘字母…
…0＜|x-x0|＜δ：x和x0的距離小于δ…
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翻譯：極限值＞0時(shí)，函數(shù)值＞0；極限值＜0時(shí)，函數(shù)值＜0。
簡(jiǎn)單來講，就是在x趨于x0（x→x0）時(shí)，極限值存在且大于0（小于0），那么就存在一個(gè)δ鄰域，這個(gè)鄰域內(nèi)的函數(shù)值也大于0（小于0）。
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這就被稱為極限的保號(hào)性。
這個(gè)定理，怎么證明呢？
…證、明、證明：見《歐幾里得6》…
那就需要用到極限的定義啦！
證明：函數(shù)極限的局部保號(hào)性
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設(shè)A＞0，因?yàn)閘im（x→x0）f（x）=A，
則?（任意）ε＞0，?（存在）δ＞0，當(dāng)0＜|x-x0|＜δ時(shí)，恒有|f（x）-A|＜ε，
即A-ε＜f（x）＜A+ε
或A+ε＞f（x）＞A-ε
…?、?：數(shù)學(xué)符號(hào)。見《牛頓309》…
…ε（伊普西龍）：希臘字母第五個(gè)字母，大寫Ε，小寫ε，拉丁字母的E是從ε變來…
…0＜|x-x0|＜δ：x和x0的距離小于δ…
…|f（x）-A|＜ε：f（x）和A的距離小于ε…
可取ε=A/2＞0，則f（x）＞A-A/2=A/2＞0
同理可證A＜0
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翻譯：極限值＞0時(shí)，函數(shù)值＞0；極限值＜0時(shí)，函數(shù)值＜0。
我們按照定義寫出極限的定義表達(dá)式后，然后對(duì)這個(gè)不等式的ε進(jìn)行取值。
理論上說，ε可以取任何值，只要它大于0就行。
…理、論、理論：見《歐幾里得5》…
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大于0的ε，這個(gè)取法有很多了，比如你可以取2A，3A，4A等等，也可以取0.5A，0.3A，0.1A。
到底取哪一種呢？
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這取決于你的目的是什么。
…目、的、目的：見《歐幾里得195》…
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你現(xiàn)在的目的是：為了判斷“極限值大于0時(shí)的函數(shù)值是大于0、還是小于0？”，也就是判斷“A-ε”的正負(fù)。
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ε取A的整數(shù)倍時(shí)，A-ε為負(fù)數(shù)，ε取A的小數(shù)倍時(shí)，A-ε為正數(shù)，f（x）在這兩種范圍下，按照不等式“同大取大”的原則，f（x）>0。
…范、圍、范圍：見《歐幾里得39》…
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“大大小小無解：X大于3，X小于-3，無解，因?yàn)閿?shù)軸上沒有公共部分。
都是按照數(shù)軸來判斷的，數(shù)軸上的公共部分就是不等式組的解集。
請(qǐng)看下集《牛頓372、不等式“同大取大”原則》”
若不知曉歷史，便看不清未來
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