一、極限

（一）極限的定義

1.極限的定義：f(x)是x的函數(shù)，若在x的某個變化過程中，f(x)趨向于a(a為某個確定的數(shù))，則a就是在x的這一變化過程中f(x)的極限。

（二）極限存在的充要條件

1.極限存在的充要條件為左右極限存在并且相等。

（三）極限的求解

1.無窮小與無窮大

（1）概念定義

①無窮大

注：無窮大是變量，不是“很大的數(shù)”，是極限不存在的一種情況，即無窮大沒有極限。

理解：高數(shù)中的“無窮大”其實就是包括我們平常認(rèn)為的“無窮大”和“無窮小”兩個方面，缺一不可。尤其是“無窮小”，對于初學(xué)者極易被遺忘與混亂。這里的“無窮小”與下面的“無窮小“不是同一個意思。

②無窮?。簒的極限是0，即x為無窮小。

注意：0的極限還是0.即0是無窮小，無窮小是一種趨向于0的狀態(tài)。

（2）等價無窮小替換

當(dāng)x→0時，x～sinx～tanx～arcsinx～ln(1+x)～（e^x）?1

（1-cosx）～（1/2）x^2

(1+x)^a?1～ax （a≠0）

注：x可以替換為任意趨近于0的變量，如2x（x→0）。

（3）低階、等價、高階無窮小的比較

設(shè)α、β是兩個無窮小

limβ/α＝0，即β是更高階無窮小，β＝o（α）

limβ/α＝∞，即β是更低階無窮小

limβ/α＝k（其中k為常數(shù)），即β是α的同階無窮小

limβ/α＝1，即α、β都是等價無窮小。

注意：等價無窮小是同階無窮小的特殊情況。

易錯：“階”與“價”要睜大眼睛看看??！

2.關(guān)于e的公式

lim(1+x)^(1/x)＝e lim(1+ax)^(1/ax)＝e

x→0 x→0

變式1:

lim(1+1/x)^x＝e lim(1+a/x)^(x/a)＝e

x→∞ x→∞

變式2：

lim(1+ax)^(1/x)＝lim[(1+ax)^1/ax]^a＝e^a

x→0 x→0

lim(1+a/x)^x＝lim[(1+a/x)^x/a]^a＝e^a

x→∞ x→∞

（四）極限求解的類型總結(jié)

1.代入計算型

2.多項式比型

3.洛必達(dá)法則：當(dāng)所求極限為0/0和∞/∞型時，可以采用分子分母同時求導(dǎo)的方法求解。 ①0/0型；②∞/∞型；③0*∞型轉(zhuǎn)化為∞/∞型；④∞?∞轉(zhuǎn)化為0/0型。

注意：可以使用等價無窮小時，優(yōu)先使用等價無窮小。

4.復(fù)合函數(shù)極限 y＝[f（x）] ^g(x)

①0^0型轉(zhuǎn)化為∞/∞；②1^∞型轉(zhuǎn)化為0/0型；③∞^0型轉(zhuǎn)化為∞/∞型。

二、連續(xù)

（一）連續(xù)存在的充要條件

判斷函數(shù)f(x)在x0點處連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)f(x)滿足以下三個充要條件：

①f(x)在x0及其左右近旁有定義。

②f(x)在x0的極限存在。

③f(x)在x0的極限值與函數(shù)值f(x0)相等。

（二）連續(xù)的定義

函數(shù)在x處連續(xù)的定義是：任意的ε＞0，存在δ＞0，當(dāng)丨x?x0丨＜δ，有丨f(x)?f(x0)丨＜ε即limf(x)＝f(x0)。

x→x0

（三）左右極限的計算

極限存在的充要條件是左右極限存在且相等。

利用極限判斷連續(xù)。

（四）間斷點的判斷

1.第一類間斷點

（1）可去間斷點：左右極限存在且相等。

（2）跳躍間斷點：左右極限存在，但不相等。

2.第二類間斷點

（1）無窮間斷點：在某點處左右極限至少一個不存在。

（2）震蕩間斷點：左右極限都不存在且函數(shù)圖像劇烈震蕩。如：sin(1/x)

（五）已知連續(xù)求參數(shù)

三、導(dǎo)數(shù)

（一）導(dǎo)數(shù)的定義

1.導(dǎo)數(shù)的定義

y'＝f'(x)＝dy/dx

2.導(dǎo)數(shù)定義公式

（二）可導(dǎo)的充要條件為f'-(x0)＝f'+（x0）

1.可導(dǎo)必定連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)

2.可導(dǎo)是連續(xù)的充分不必要條件

3,連續(xù)是可導(dǎo)的必要不充分條件。

（三）求導(dǎo)的基本公式

（四）導(dǎo)數(shù)計算的所有類型

1.初等函數(shù)求導(dǎo)(直接利用求導(dǎo)公式)

2.隱函數(shù)求導(dǎo)（左右兩邊同時對x求導(dǎo)）

例1：求由x?y?siny＝0所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（dy/dx）

解：兩邊對x求導(dǎo)：1?dy/dx?cosy（dy/dx）＝0

化簡移項得：dy/dx＝1/（1?cosy）

例2：求由xy?e^x?e^y＝0所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（dy/dx）

解：兩邊對x求導(dǎo)：y?x（dy/dx）?e^x?e^y(dydx)＝0

化簡移項得：dy/dx＝（e^x?y）/（x?e^y）

3.兩類對數(shù)求導(dǎo)法則

例1：已知函數(shù)y＝x^sinx(x＞0)求dy/dx。

解：兩邊同時取對數(shù)：lny＝sinxlnx

兩邊同時對x求導(dǎo)數(shù)：（1/y）(dy/dx)＝cosxlnx?sinx/x

化簡移項得：dy/dx＝y(tǒng)(cosxlnx?sinx/x)

代入y＝x^sinx：dy/dx＝(cosxlnx?sinx/x)x^sinx

例2：已知y＝x^x^2,求dy/dx。

解：dy/dx＝[e^(x^2·lnx）]'＝[e^(x^2·lnx）]（2xlnx?x）＝x^x^2（2xlnx?x）

4.由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

5.函數(shù)可導(dǎo)求參數(shù)

無窮小乘以有界函數(shù)仍為無窮小。

6.函數(shù)可導(dǎo)求極限

總結(jié)：看到“可導(dǎo)”（即左右導(dǎo)數(shù)相等）聯(lián)想到“連續(xù)”（即函數(shù)值等于極限值）。

（五）極值與最值

1.單調(diào)性

（1）概念：即函數(shù)的增減性，分為單調(diào)遞增和單調(diào)遞減

（2）駐點：若函數(shù)可導(dǎo)且f'(xo)＝0，即為f(x)的駐點，f(xo)即為函數(shù)的極值。

注意：駐點與單調(diào)性沒有必然慣性，導(dǎo)數(shù)不存在和沒有駐點的情況下函數(shù)也可能存在單調(diào)性。

（3）單調(diào)性的判斷

在x∈（a,b）區(qū)間內(nèi)，若f'(x)＞0，即f(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)遞增的；

若f'(x)＜0，即f(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)遞減的。

（在判斷一個函數(shù)的單調(diào)性時，不能僅考慮某個區(qū)間，要考慮整個定義域上的單調(diào)性。）

注意：駐點和間斷點都是單調(diào)性改變的可疑點。

2.凹凸性

（1）概念：描述圖像彎曲方向的一個性質(zhì)。凸，凹。

（2）拐點：若f''（xo）＝0且f''(x)在xo兩邊變號，xo即為f（x）的拐點。

（一個函數(shù)可以有多個拐點或沒有拐點）

（3）凹凸性的判斷方法

在x∈（a,b）區(qū)間內(nèi)，若f''(x)＞0，即f（x）在區(qū)間[a,b]上的圖形是凹的；

若f''(x)＜0，即f（x）在區(qū)間[a,b]上的圖形是凸的。

四、中值定理

（一）羅爾中值定理

定義：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即f(a)＝f(b)，那么在（a,b）內(nèi)至少有一點ξ（a＜ξ＜b），使得函數(shù)f(x)在該點的導(dǎo)數(shù)等于0，即f'(ξ)＝0.

幾何解釋：在曲線弧AB上至少有一點C，在該點處的切線是水平的。

介值定理是閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的重要性質(zhì)之一，在連續(xù)函數(shù)的一個區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值肯定介于最大值和最小值之間。

（二）拉格朗日中值定理

定義：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點ξ(a＜ξ＜b)，使等式f(b)?f(a)＝f'(ξ)(b?a)成立，結(jié)論亦可寫c成 [f(b)?f(a)]/(b?a)＝f'(ξ)。

幾何解釋：在曲線弧AB上至少有一點C，在該點處的切線平行于弦A。

構(gòu)造函數(shù)解決問題

五、不定積分

（一）積分公式

注意：求不定積分時一定要記住加上C。

（二）不定積分的計算

總結(jié)：對于湊微分法，在x前乘以的系數(shù)要在整體乘以其倒數(shù)，在x前加或減的常數(shù)，可以湊出符合題目所需要的，但無需還原，因為常數(shù)的導(dǎo)數(shù)都為0.

上面兩題最后兩步的C表示意義不同：C2＝aC1.

把上面結(jié)論背了直接秒殺。

六、定積分

(一)定積分以及基本性質(zhì)

1.定義

說明：a為積分下限 b為積分上限 x為積分變量

f(x)為被積函數(shù) f(x)dx為被積表達(dá)式

2.定積分的幾何意義

3.定積分存在定理

定理1：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。

定理2：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間[[a,b]上可積。

4.定積分的性質(zhì)

性質(zhì)6中“a?b”改為“b?a”。

5.積分上限函數(shù)

6.牛頓——萊布尼茨公式

（二）定積分計算的所有類型

2.分部積分

（三）反常積分

3.無界函數(shù)的反常積分

七、微分方程

（一）微分方程的運算（同導(dǎo)數(shù)的運算）

1.基本公式：

2.基本微分運算：

3.復(fù)合函數(shù)的微分公式：

（二）求微分方程的所有類型

求微分方程中通解與特解的定義：

1.一階微分方程

2.可降階的二階微分方程

以上筆記是結(jié)合“期末幫”高數(shù)上期末考試視頻講解和本人考試要求以及做題經(jīng)驗所做的筆記，詳細(xì)視頻大家可以去看看，個人認(rèn)為特別棒，對于期末考試綽綽有余，唯一的缺點就是ppt上有些小錯誤，然后我在上面的筆記中都有標(biāo)記。