（數(shù)是用Python算的）

對于不定方程x^3+y^3=Q，可以變量代換轉(zhuǎn)化為Y^2=X^3+aX+b的橢圓曲線形式

1.a=x+y ?& ?b=x-y------>(a+b)^3+(a-b)^3=Q*8------>a^3+3*ab^2=4*Q

2.注意到a^3+3*ab^2=4*Q------>1+3*(b/a)^2=4*Q*(1/a)^3

此時已經(jīng)很接近橢圓曲線的形式了

3.i = (b/a) & j = (1/a)------>1+3*(b/a)^2=4*Q*(1/a)^3------>3*j^2=4*Q*i^3-1

4.i = (Y/(9*4*Q)) & j =(X/(4*Q*3))

------>3*(Y/(9*4*Q))^2=4*Q*(X/(4*Q*3))^3-1------>Y^2 = X^3 - 4^2*3^3*Q^2

不定方程x^3+y^3=Q上的任何一個有理點，可以與橢圓曲線上的一有理點一一對應

不難找到不定方程的一組特解(x,y)= (-19,20)

對應橢圓曲線上的點(13692, -1601964)，這個點我們稱之為P

由P可以計算的得到1P,2P,3P……

由nP可以返回得到不定方程的解

解得的結(jié)果如下(橢圓曲線上的有理點以及對應的不定方程的正有理數(shù)解)

以下給出了6組解

(1505788158419692/1557925852561,35882783087287412944556/1944554753465210809)

x= 12681563775265601680/1235415052524024021

y= 4819429005921295601/1235415052524024021

(107919499858822483698972/130671988469474077921,-1419951486140003132497725950031444/1493735662882618063636173450031)

x= 729583389356636678953911465131/90099894711425518980954732151

y= 764152273525981384682261984900/90099894711425518980954732151

(29969460877370710476006619849/29869954353060685828707600,-3453854315931468111783992584187298800559493/163249491951046043756671209916702824000)

x= 3251781815449699181565034034351186398064507/982759974343824034008475397266016512177560

y= 10159490447312635405133019202725783999183493/982759974343824034008475397266016512177560

(366512605460575637459879550925446959825959721136405443562315244392970531278204356287931431460810492826906889647704298737769629439488179659856286740770212345068/392165226240431190557940502205386711562568679904106332960560045822806321851732402560520625402050576846132184529961242285544761199774538919901055020789240329, 3913269940586688523023028783172102841052906712137213720262934652110477241689555806926413983594233087186943792852425247864207345435773670081587851493680903057701817406317425792305980124580540094215664557964734757891690564577112872034328188/245586009544515918287759427611442505867896101684703499601762476930874495237574990686498119845715539504521858724981663014773422420873639830825770284413509513556711485065556023868776040691646152253830327478331809046188193427588894003483)

x= 1533847597352894871013478859743614725250066497035286444993966931915324058727890679706946839874763868084430725442569241658527656090663814611370200667862644592085593598473948841886483870730784119653155027329611321896682383633737322756507/150868674834915086014714619518503464753705463985603205118912889043915153790005011444255915799647210873120053365896591219217290696991327225931756957804463223536049413998918963002107536936188629438562968889987997416838191516227673625447

y= 676426488547748393576355988759367827560998418127045051421895360462546398410284236471536238736675987456266003082265725474433145697198943866061731891858941029924809767116055372932500495494031250631317919975374959519011357214562723274840/150868674834915086014714619518503464753705463985603205118912889043915153790005011444255915799647210873120053365896591219217290696991327225931756957804463223536049413998918963002107536936188629438562968889987997416838191516227673625447

(523206949875863587239162422825769093011096507475469613192445494958888097599941674797925494776633812024079458773066229026112704050364621946535227138255282236213906784530162239434281/630809565391214560353782796490150964432885591400948132277169618358044068296394750381263629510570148683763896651512730696615292368867954854223887415177495505356671720386231902500,-45311575684293423409652746518175295980593798725411300249702782367351476154040927930033511806455688611459050194713395766772558619867185115840308956439300645213736699403032357244102843432909525017706507004613104139649211179659315145109795990214125101429005651657229097429/15843364186326621471843813632510879844019683863462756689558367268799541291820316800042660545014438869707779266422212884869459103104294746298566592777070383067413587037692960841849187419872728711088817884777493093379280897302645994605396195135760146843725729563625000)

x= 67274494625917653351978193583426844943595415072242765947844079062873164660974489438724312526728600266739743439205046743569482611027202875902179156496849156629260422417471522477299375447309186613219752936723022462666458995327130192144606457909150965591541379544247933619/8760550152786139995847566493379186609443724184265867135330089781530026473282321828687372734587213504037005400592979469981392951328723677429089899991516457336192869015971679466859405340570873704559343224278990118208945440922340757551748627640693703760380594264744046300

y= 77343733666871747443012137254132466272616259233445277114444697366729048250761362312065092928163197735952865704696912469518940082108799568311136702372249300010090800062589824087100007321289081061598976715525934493699617035251422446613450011290067654797987079912521066381/8760550152786139995847566493379186609443724184265867135330089781530026473282321828687372734587213504037005400592979469981392951328723677429089899991516457336192869015971679466859405340570873704559343224278990118208945440922340757551748627640693703760380594264744046300

(240724524768734863253205974270708687565827407132596556901366564166945884556307838292998952827774316755455934107779803643340409218436563628607812002747646226215219665678070259158313347714534839906515160911532/230279890395227590939657825395032983952928979618087540734963605195106080481668013518023628367554774865580684697152595207258346098701698233681462133672562207303237716742226408889777605882303006392444258321,-2661144530377366005321867240463807802331167659943307464200311184138885236162065947679847827323651326697030590845503589538775996648163596036344552672645200500398620752881029800796684851652882700181987459757781277810106367262044790318886286231929452240042599161197499267758310963570115744818697733945655189475116/110505532356103577945726286898069401187816157592965215009398101669699805682730354414327361807616521055039295720292549249191082500316887181013678544288190161502281519424748787459186283913594782959183989037183902487311631544186706885009361753133910516939324106172084688863818173102787728707449969280726826631)

x= 205738465894165705781856454881824158726946628981740984610618453116312881470395058089730815763146898790508711674105298359004919821960217113384455216097337705244204090601440774855045020418704711289379280667570628917474387603743249527799984349233025433146042706389904843559584171209464614326086459709627513280/75931847006961199996133655182755206170001838613959328033426693257945074707923777886206608987042376111267009245022939273859890770091704492834581874550303014367032992419209332843702912528893075216742960637304096933379830297612255107800443702794649461251397631046817589454895198778775029207002740122774325979

y= 788811325310766495729680127200800451963398789354945950473964461910985369674178131639215440505401790704844949808527644883714822680891767515738651682496373748276329584221298312277631534803648335343276620667084493468330296293937112437284271428972169219307874249158857356214779386715624944040963263816913926399/75931847006961199996133655182755206170001838613959328033426693257945074707923777886206608987042376111267009245022939273859890770091704492834581874550303014367032992419209332843702912528893075216742960637304096933379830297612255107800443702794649461251397631046817589454895198778775029207002740122774325979