我們進(jìn)入一個(gè)新的技巧。這個(gè)技巧有一個(gè)比較好吃的名字：魚(yú)（Fish）。

有些地方魚(yú)也可以叫鏈列。不過(guò)這個(gè)詞語(yǔ)已經(jīng)棄用，因?yàn)椤斑^(guò)時(shí)”了。

Part 1?X-Wing

如圖所示，可以觀(guān)察到，r18兩行里，能放下6的地方現(xiàn)在僅剩4個(gè)單元格，而且這4個(gè)單元格又恰好構(gòu)成矩形的形狀。那么不論如何，6的擺放位置只可以是對(duì)角兩格的填數(shù)情況是一樣的。換句話(huà)說(shuō)，要么左上角r1c2和右下角r8c6同時(shí)填6，要么右上角r1c6和左下角r8c2同時(shí)填6，沒(méi)有其它情況。

注意，馬上要得到的這一點(diǎn)很重要！雖說(shuō)我們無(wú)法確定6的確切位置，但我們可以發(fā)現(xiàn)，6在c26里的填數(shù)也必須只能在r18c26四個(gè)單元格里。因?yàn)閯偛诺恼f(shuō)明已經(jīng)得到了，兩種情況里必須得有一個(gè)情況是對(duì)的，我們此時(shí)假設(shè)我們聚焦于c2來(lái)看，第一種情況下，c2里會(huì)填入一個(gè)6在r1c2上；而第二種情況下c2里會(huì)填入一個(gè)6在r8c2上。這使得兩種情況里，都會(huì)出現(xiàn)一個(gè)6在r18c2里；同理，聚焦于c6也是如此：第一種情況下填入到的地方是r8c6；而第二種情況則填入到r1c6。

雖說(shuō)文字有些繞，我覺(jué)得你應(yīng)該能明白我想表達(dá)的意思。那么既然這樣的結(jié)構(gòu)除了在r18里保證出現(xiàn)6，還能保證c26里也各有一個(gè)6在這四個(gè)單元格里，那么很顯然，c26的其余位置都不能再填入6了，畢竟這兩列的6已經(jīng)只能放在r18c26里了。所以其余位置的6都可以被刪除，于是有r9c2, r379c6 <> 6。

這個(gè)技巧的巧妙之處在于，它的推理邏輯和之前我們說(shuō)到過(guò)的一個(gè)技巧：組合區(qū)塊很類(lèi)似。在組合區(qū)塊里，我們也是把區(qū)塊當(dāng)成了這樣的形式，然后發(fā)現(xiàn)只能處于結(jié)構(gòu)對(duì)角線(xiàn)的兩格的填數(shù)情況才是一樣的。這種結(jié)構(gòu)實(shí)際上被稱(chēng)之為魚(yú)或鏈列，而魚(yú)和數(shù)組一樣，也是有規(guī)格（階）一說(shuō)的，所以這個(gè)魚(yú)的規(guī)格是涉及兩行兩列，因此被稱(chēng)為二階，一般我們稱(chēng)這種結(jié)構(gòu)叫做二階魚(yú)（不過(guò)這個(gè)技巧一般用的是英文名X-Wing）。這個(gè)魚(yú)的階（Order/Size）跟數(shù)組的階差不多，魚(yú)的階指的是涉及的定義域區(qū)域總數(shù)。比如這里涉及的定義域區(qū)域是兩個(gè)：r1和r8，所以是2階的。

二階魚(yú)（X-Wing）有時(shí)候也被叫做二鏈列。

Part 2 一些術(shù)語(yǔ)

在魚(yú)的體系里，充滿(mǎn)著各種詭異可怕的術(shù)語(yǔ)，但不要怕，我們這里提到一部分我們常用的，而復(fù)雜和難懂的術(shù)語(yǔ)，當(dāng)后面用到的時(shí)候，我們才會(huì)提及。

• 定義域（Defining Set/Base Set）：結(jié)構(gòu)被定義下來(lái)的位置，比如這個(gè)例子里，定義域?yàn)閞18（因?yàn)槲覀儼l(fā)現(xiàn)r18里填入6的位置只有四格，所以稱(chēng)這種東西叫做定義域）。

• 刪除域（或者叫刪數(shù)域，Secondary Set/Cover Set）：能刪除候選數(shù)情況的區(qū)域，比如這里的c26就是這個(gè)魚(yú)的刪除域。

• 魚(yú)身（Body）：結(jié)構(gòu)涉及的所有單元格，比如前面這個(gè)示例下的r18c26就是魚(yú)身。

目前就只需要提及這樣幾個(gè)簡(jiǎn)單的術(shù)語(yǔ)。

Part 3 三鏈列/劍魚(yú)（Swordfish）

那么既然魚(yú)也有規(guī)格，那么何不把它擴(kuò)展到三階的情況呢？我們來(lái)看看三階的情況。

3-1 一個(gè)奇怪的例子

如圖所示，變成三階后，這個(gè)例子實(shí)際上就比以前的結(jié)構(gòu)看起來(lái)要復(fù)雜太多了：?jiǎn)卧裆婕暗臄?shù)量就從4飛升到了9，漲了一倍還多。沒(méi)關(guān)系，別怕。

由于這個(gè)結(jié)構(gòu)涉及恰好3 * 3 = 9個(gè)單元格（乘號(hào)用“*”代替，除號(hào)用“/”代替，方便打字，后同），即三行三列，顯然這說(shuō)明了在魚(yú)身里必須填入剛好3個(gè)4，而且還不能違背數(shù)獨(dú)規(guī)則（即同一個(gè)區(qū)域里有相同的數(shù)字）。那么，你隨便放置這些4，你都會(huì)發(fā)現(xiàn)，因?yàn)槭侨腥械慕Y(jié)構(gòu)，所以為了保證行列宮之間不出現(xiàn)重復(fù)的沖突，數(shù)字只能錯(cuò)開(kāi)分布，而且4的位置也必須得在c567的每一列里都恰好要出現(xiàn)一個(gè)4才行。這是顯然的，因?yàn)橹挥腥械年P(guān)系，每一行放一個(gè)4還不重復(fù)的話(huà)，對(duì)于列的角度而言，由于列也恰好是三個(gè)，所以必須是每一列都有一個(gè)4。這便使得c567之中各有一個(gè)4出現(xiàn)在魚(yú)身里。于是，刪除域便形成了：c567，所以c567的其余單元格的候選數(shù)4都將被刪除。

這個(gè)結(jié)構(gòu)由于是三階的，所以稱(chēng)為三階魚(yú)，而由于它的技巧英文名叫做Swordfish，所以這個(gè)結(jié)構(gòu)也總被稱(chēng)為劍魚(yú)。不過(guò)?？雌饋?lái)似乎二鏈列的邏輯和三鏈列差別有點(diǎn)大，不過(guò)……你可以試試看，用現(xiàn)在這里的三鏈列的思維套用到二鏈列上，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，二鏈列實(shí)際上也可以用這個(gè)邏輯來(lái)理解，之前只是為了方便理解，直接寫(xiě)上了二鏈列它自己?jiǎn)为?dú)的視角罷了（其實(shí)這兩種說(shuō)法是等價(jià)的）。

同理，三階魚(yú)有時(shí)候也被叫做三鏈列。

3-2 奇怪的事情發(fā)生了

慢著，你是不是沒(méi)有看到r9c7啊，這不是唯一余數(shù)嗎（一個(gè)單元格就只有一個(gè)候選數(shù)的時(shí)候，就可以稱(chēng)這個(gè)單元格是唯一余數(shù)了，這和我們之前學(xué)到的唯一余數(shù)的邏輯是一樣的）。很明顯，出了這些數(shù)字后，豈不是4就顯然不能這么放了，而是這樣：

是的。但我想告訴你，這不影響我們使用魚(yú)技巧。換言之，這種殘缺（Incomplete）的結(jié)構(gòu)依然是可以使用魚(yú)技巧的。這是為什么呢？這是因?yàn)槲覀冊(cè)趧偛湃溋械倪壿嫷臅r(shí)候，并不關(guān)心內(nèi)部是否有殘缺，而僅僅是看到結(jié)構(gòu)涉及三行三列后，為了保證每一行列都要出現(xiàn)一個(gè)數(shù)字4，那么必然要讓4放置在行列互不沖突的三個(gè)單元格上，而結(jié)構(gòu)是否殘缺并不會(huì)影響最終4要每一列都有一個(gè)的要求。所以，這種魚(yú)依然是可行的，并且刪除域、定義域依然不會(huì)發(fā)生變化，只是魚(yú)身少了一格r8c5。

那么，我們?cè)賮?lái)看兩則示例（左圖和右圖），來(lái)好好體會(huì)和理解剛才我們說(shuō)到的殘缺。

Part 4 四階魚(yú)（Jellyfish）

三階的結(jié)構(gòu)大體的邏輯就可以理解成“三行的結(jié)構(gòu)只出現(xiàn)在不同的三列里”，那么四階就依葫蘆畫(huà)瓢：“四行的結(jié)構(gòu)只出現(xiàn)在不同的四列里”。不過(guò)……這個(gè)例子是反過(guò)來(lái)了。

如圖所示。這一次我們把c2378當(dāng)成定義域。

發(fā)現(xiàn)，c2378里能放置9的位置只出現(xiàn)在r1247這樣不同的四行上。為了我們要在這個(gè)c2378里每一列都放上一個(gè)9，還得不同行列（不產(chǎn)生沖突），我們發(fā)現(xiàn)，唯有把9放置在r1247，每一列都有一個(gè)9的時(shí)候，才不會(huì)沖突。所以，r1247就是這個(gè)結(jié)構(gòu)的刪除域了。不過(guò)這個(gè)例子厲害的地方在于，所有紅色的數(shù)字都可以刪除掉，而且除了r2c5有一個(gè)1外，它的刪數(shù)基本上占滿(mǎn)了整行，足足19個(gè)刪數(shù)。

這個(gè)例子的規(guī)格是4，所以叫四階魚(yú)或四鏈列（Jellyfish）。

Part 5 魚(yú)的互補(bǔ)

在魚(yú)里，好像我們也沒(méi)有說(shuō)到五階甚至更高規(guī)格的魚(yú)，這一點(diǎn)是為什么呢？難道它和數(shù)組一樣？是的。魚(yú)也有互補(bǔ)，而正是因?yàn)樗谢パa(bǔ)，所以才不存在五階甚至更高規(guī)格的魚(yú)。如圖所示，這是兩個(gè)魚(yú)的互補(bǔ)情況。

如圖所示，這是兩個(gè)互補(bǔ)的魚(yú)結(jié)構(gòu)，隨便先看哪個(gè)例子都行。

比如左圖，我們作為“基準(zhǔn)”示例來(lái)看，它實(shí)際上是一個(gè)有殘缺的三階魚(yú)結(jié)構(gòu)，而刪數(shù)也都是成立的（這一點(diǎn)我這里就不再說(shuō)明了，因?yàn)檫@個(gè)例子在之前是有出現(xiàn)的，所以就請(qǐng)你自行推理了）。

不過(guò)，我們把剩下沒(méi)有被涂色的單元格里（白色）的所有5都找到，然后按照正交（Orthogonal）的形式畫(huà)出定義域。所謂的正交，就是說(shuō)，如果原來(lái)是行，那與之正交的就是列；如果是列，與之正交的就是行。那么因?yàn)椤盎鶞?zhǔn)”示例的定義域是行，所以我們正交的例子的定義域就必須是若干個(gè)列。

此時(shí)，我們又得到了右圖的這個(gè)魚(yú)，雖然它也是殘缺的，但是我們只轉(zhuǎn)變了定義域和刪除域的情況，但發(fā)現(xiàn)，其實(shí)刪數(shù)卻沒(méi)有絲毫變化，這一點(diǎn)和我們之前數(shù)組的顯隱性互補(bǔ)很類(lèi)似，刪數(shù)是一樣的，所以我們才稱(chēng)這兩個(gè)魚(yú)互補(bǔ)。

正是因?yàn)檫@種形式的出現(xiàn)，所以我們才不可能擁有超過(guò)4階的魚(yú)結(jié)構(gòu)：盤(pán)面整體是9階的，如果某個(gè)數(shù)字在n個(gè)正交的行列里都沒(méi)有出現(xiàn)，則說(shuō)明這個(gè)數(shù)字一旦形成魚(yú)結(jié)構(gòu)，那么它的最高規(guī)格就不能超過(guò)9 - n。而如果在這個(gè)數(shù)里能找到一個(gè)m階的魚(yú)，那與之互補(bǔ)的魚(yú)的階數(shù)必然是9 - n - m，但因?yàn)閚不能超過(guò)4，所以9 - n - m這個(gè)數(shù)是永遠(yuǎn)都不可以超過(guò)4的。說(shuō)起來(lái)很學(xué)術(shù)，實(shí)際上對(duì)照?qǐng)D上說(shuō)就很清晰：如果把所有5都畫(huà)出來(lái)，然后行列都標(biāo)出來(lái)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上只占據(jù)六行六列。既然魚(yú)存在互補(bǔ)，那么兩個(gè)魚(yú)的規(guī)格之和就必須是6，你不能因?yàn)榛パa(bǔ)，規(guī)格之和都超過(guò)6了，這顯然不可能（畢竟6行6列只能最多填入6個(gè)這個(gè)數(shù)進(jìn)去，規(guī)格之和超過(guò)6就意味著兩種魚(yú)內(nèi)，填這個(gè)數(shù)的總量已經(jīng)超過(guò)6個(gè)了，我們只能填6了，所以這就矛盾了）。

所以，魚(yú)的規(guī)格也不可能超過(guò)4。

Part 6 說(shuō)一下命名

還是老規(guī)矩，和數(shù)組一樣，說(shuō)一下普通魚(yú)的名稱(chēng)。

因?yàn)槠胀~(yú)都有自己的名詞，是用魚(yú)來(lái)表示的，所以每一個(gè)階的魚(yú)都有自己的名字，如下：

• 二階魚(yú)：X-Wing；

• 三階魚(yú)：Swordfish（劍魚(yú)）；

• 四階魚(yú)：Jellyfish（水母）；

• 五階魚(yú)：Squirmbag/Starfish（海星）；

• 六階魚(yú)：Whale（鯨魚(yú)）；

• 七階魚(yú)：Leviathan（海怪，傳說(shuō)里的海中之妖怪）。

其中五鏈列的Squirmbag和Starfish是等價(jià)的兩個(gè)說(shuō)法，意思是一樣的，都指的是五鏈列，用法沒(méi)有絲毫區(qū)別。但是Squirmbag這個(gè)詞語(yǔ)沒(méi)有中文釋義，甚至連直譯都沒(méi)有，不過(guò)這個(gè)詞語(yǔ)是Squirm（蠕動(dòng)）和bag（包）的自然拼接詞，至于為什么，我稍后會(huì)作出說(shuō)明。

和數(shù)組一樣，它沒(méi)有八鏈列和九鏈列，因?yàn)閯偛诺墓礁嬖V我們，9 - n - m的n和m不論隨便怎么取值，它們不可能存在（即使存在，也變?yōu)榕懦记闪耍?/p>

你可能會(huì)很好奇兩個(gè)地方。第一，為什么二鏈列有一個(gè)自己?jiǎn)为?dú)的名字，而不是一個(gè)魚(yú)；第二，在之前的邏輯討論和理論討論里，為什么數(shù)組和普通魚(yú)的關(guān)聯(lián)性會(huì)如此大？

先來(lái)解決第一個(gè)問(wèn)題。因?yàn)樵谧铋_(kāi)始，魚(yú)這個(gè)體系的建立是基于三鏈列的，而不是二鏈列，二鏈列在最開(kāi)始也有自己的視角，所以當(dāng)發(fā)現(xiàn)了魚(yú)體系后，才知道二鏈列也屬于這個(gè)體系，因此只是歸到了魚(yú)體系里，而沒(méi)有單獨(dú)為它取名；而另一方面，之所以這個(gè)體系要被稱(chēng)為魚(yú)，是因?yàn)閺娜溋虚_(kāi)始，這個(gè)結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)相類(lèi)似于美國(guó)的一種軍用雙翼飛機(jī)，叫Fairey Swordfish。

現(xiàn)在再來(lái)說(shuō)一下五鏈列的名稱(chēng)Squirmbag。這個(gè)詞語(yǔ)目前都沒(méi)有比較合適的翻譯，它起源于Stringbag（網(wǎng)袋）一詞。和三鏈列的來(lái)源Fairey Swordfish一樣，Stringbag是這架飛機(jī)的昵稱(chēng)，所以為了保留其“含義”，于是保留了bag（包、袋子），把string（串）換成了squirm（蠕動(dòng)）。

Part 7 魚(yú)的另外一種理解思維：降維

下面我們來(lái)說(shuō)一下剛才可能會(huì)困惑的第二個(gè)問(wèn)題，為什么數(shù)組和普通魚(yú)關(guān)聯(lián)會(huì)如此之大。實(shí)際上，解釋這一點(diǎn)只需要一句話(huà)：數(shù)組和普通魚(yú)是同構(gòu)的。所謂的同構(gòu)，就是不同的體系里說(shuō)法不一樣，但代替的事物、核心和邏輯全部是相同的。不過(guò)說(shuō)明這一點(diǎn)我們需要借助一個(gè)“工具”——降維。

我們?cè)囅胍幌?，如果我們把一個(gè)盤(pán)面看作是一整個(gè)區(qū)域X（即一行或一列），然后把盤(pán)面的一行或一列看作是這個(gè)區(qū)域X的一個(gè)單元格，然后把一行或一列的一個(gè)單元格看成X里一個(gè)單元格的一個(gè)候選數(shù)。說(shuō)白了就是把盤(pán)面看成區(qū)域，區(qū)域看成格，格看成候選數(shù)。這么看有啥特殊么？是有的，我們來(lái)看看如下這個(gè)例子，我想表達(dá)什么。

如圖所示。這個(gè)魚(yú)的定義域是c349，按列來(lái)看。可以發(fā)現(xiàn)，2的位置只能出現(xiàn)于不同的三行里，所以這三行里必須得各有一個(gè)2才能放滿(mǎn)3個(gè)2。

這個(gè)時(shí)候，我們換一個(gè)降維視角來(lái)看：我們把這個(gè)盤(pán)面的九個(gè)列看成同一個(gè)區(qū)域的九個(gè)不同的單元格（比如這個(gè)例子里用到的是c349，降維就相當(dāng)于看作是某個(gè)區(qū)域里的第3、4、9個(gè)單元格）。然后我們針對(duì)于盤(pán)面的這幾列，每一列都看看2的出現(xiàn)位置，c3里2的位置只有第1格和第8格出現(xiàn)，降維就對(duì)應(yīng)了剛才說(shuō)到的“某個(gè)區(qū)域的第3格”里只有候選數(shù)1和8；同理，c4里2的位置只出現(xiàn)在r78c4，所以降維后表達(dá)的意思是“某個(gè)區(qū)域的第4格”里候選數(shù)只有7和8；而c9同理，降維后變?yōu)楹蜻x數(shù)1和7。

而單純觀(guān)察候選數(shù)序列：{18}、{78}、{17}，顯然它們是構(gòu)成三數(shù)組的，因?yàn)橐粋€(gè)區(qū)域下的這三個(gè)單元格卻只包含三種不同的數(shù)字1、7、8，所以?xún)?nèi)部的填數(shù)必須得是一個(gè)1、一個(gè)7和一個(gè)8。因此我們只需要關(guān)心1、7、8確實(shí)是確實(shí)都出現(xiàn)了即可。那么還原回去，因?yàn)槿龜?shù)組成立，所以原來(lái)的那個(gè)普通魚(yú)的刪數(shù)就完全成立了。按照三數(shù)組的邏輯，刪數(shù)是這個(gè)區(qū)域里剩余位置的1、7、8；那么倒回去看普通魚(yú)，這個(gè)意思就是“刪除第1、7、8行其余位置的2”。

技巧信息

• 二階魚(yú)：難度3.2。

• 三階魚(yú)：難度3.8。

• 四階魚(yú)：難度5.2。

其他更高階的魚(yú)可以互補(bǔ)成低階魚(yú)，所以難度不作分析。

名詞解釋

• 魚(yú)（Fish）：表示今天講的這些技巧，它們統(tǒng)稱(chēng)魚(yú)。魚(yú)的嚴(yán)格定義是“所有同數(shù)技巧”（包括排除法），但至于這個(gè)嚴(yán)格定義為什么這么說(shuō)，我們將在后面才會(huì)解釋。

• 階、規(guī)格（Order/Size）：表示魚(yú)結(jié)構(gòu)的大?。ǘx域的總區(qū)域個(gè)數(shù)）。

• 定義域（Defining Set/Base Set）：通過(guò)分情況討論，和假設(shè)所有填數(shù)情況的所處區(qū)域。

• 刪除域、刪數(shù)域（Secondary Set/Cover Set）：魚(yú)結(jié)構(gòu)刪除數(shù)字的所有區(qū)域。

• 魚(yú)身（Body）：所有魚(yú)結(jié)構(gòu)涉及的單元格序列。

• 殘缺（Incomplete）：結(jié)構(gòu)缺失其中一部分，但依舊不影響推理思路的特殊形式。

• 正交（Orthogonal）：結(jié)構(gòu)按行和列互相轉(zhuǎn)換的形式。在魚(yú)的互補(bǔ)里得以體現(xiàn)，有時(shí)候也稱(chēng)之為轉(zhuǎn)置（Transpose），但是正交一般說(shuō)明兩個(gè)互補(bǔ)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系是正交的；而轉(zhuǎn)置則指的是行和列轉(zhuǎn)換的過(guò)程。

• 降維（Dimension Reduction）：專(zhuān)用于魚(yú)的技巧里，表示一種思維方式，將里面的行/列轉(zhuǎn)換為單元格，所有這個(gè)行/列下的九個(gè)單元格轉(zhuǎn)換為候選數(shù)1到9，然后把每個(gè)填數(shù)位置比作是一個(gè)候選數(shù)序列。當(dāng)這樣的候選數(shù)構(gòu)成數(shù)組時(shí)，也可以表示為原本的魚(yú)是成立的。