3. The Axioms(公理)

A1. The Axiom of Existence(存在公理)

There exists a set which has no element.

"存在一個(gè)沒(méi)有元素的集合"

(?X)(?Y)(Y?X)

A2. The Axiom of Extensionality(外延公理)

If every element of X is an element of Y and every element of Y is an element of X, then X=Y.

(?a)((a∈ X? a∈ Y) → X=Y)

翻譯翻譯

"你有的我有，我有的你有，那么你就是我，我就是你。等無(wú)差別。"

舉個(gè)例子，所有的空集等無(wú)差別。說(shuō)明A1所述空集的唯一性確實(shí)成立。即Lemma 3.1

（

)。

能否推出

(?a)((a∈ X? a∈ Y) ? X=Y)

存疑。

非但可以說(shuō)“{}里所有的要素”，而且“{}里所有的要素”可以滿(mǎn)足任何性質(zhì)。

比如：

命題(?a∈{})(a≠a)永真。

但凡{}里有一個(gè)東西就不行?！翱占男再|(zhì)”很狂野的！

某甲窮得叮當(dāng)響，一無(wú)所有。當(dāng)人問(wèn)他“你有什么財(cái)產(chǎn)”時(shí)，他就可以說(shuō)“我所有的財(cái)產(chǎn)都在這了！(對(duì)著空地指了指)”，他可以使用全稱(chēng)量詞。但是不能在空集上使用存在量詞，無(wú)論(?a∈{})(a=a)還是(?a∈{})(a≠a)都不行，都永假。就有這么玄妙，也只有這點(diǎn)玄妙。

3.2 Definition The (unipue) set with no element is called the empty set and is denoted ?.

?建議使用{}代替。至少有3個(gè)好處：輸入方便、易于理解（一看就知道里面沒(méi)東西）、方便擴(kuò)充。

{X|X=X}

{X|X∈X}

這兩個(gè)東西的矛盾發(fā)生機(jī)制還是沒(méi)有想明白。

{X|X=X}里的東西都是與其自身等同的東西。但是根據(jù)A2，一切集合都與自身等同。所以它就是一切集合的集合（大全集）。

那么大全集是否屬于大全集呢？

如果大全集不屬于大全集，那么推出理發(fā)師悖論，這條分支結(jié)束。

但是如果大全集屬于大全集又怎么說(shuō)呢？

假如我斷言{X|X∈X}∈{X|X∈X}，那么誰(shuí)對(duì)此有意見(jiàn)嗎？有意見(jiàn)，知道怎么推出矛盾的，請(qǐng)不吝指教。

A3. The Axiom Schema of Comprension

The Axiom Schema of Comprension怎么翻譯？

GPT:

“The Axiom Schema of Comprehension” 應(yīng)該翻譯為「包容公理方案」或「概括公理方案」。其中，“Axiom Schema” 可以翻譯為“公理方案”或“公理體系”，“of” 可以理解為“的”或“中的”，“Comprehension” 可以翻譯為“包容”、“概括”或“理解”。根據(jù)上下文，如果是在集合論中，“Comprehension” 通常翻譯為“包容”，表示使用某些條件定義一個(gè)集合。如果是在邏輯學(xué)中，“Comprehension” 通常翻譯為“概括”，表示使用一個(gè)公式概括所有具有某個(gè)性質(zhì)的對(duì)象。

【包容公理方案】字面意思就是考究什么能包容以及什么不能包容。或者說(shuō)是包容性和包容度的考究。

Let P(x) be a property of x. For any set A, there is a set B such that x ∈ B if and only if x ∈ A and P(x).

(?A)(?B)(?x)(x∈B?(x∈A ∧ P(x)))

問(wèn)GPT:

請(qǐng)解釋如下命題 (?A)(?B)(?x)(x∈B?(x∈A ∧ P(x)))

GPT曰：

這個(gè)命題包含四個(gè)量詞，可以逐個(gè)理解。

(?A) 表示對(duì)于所有的 A，后面的表達(dá)式成立。

(?B) 表示存在一個(gè) B，后面的表達(dá)式成立。

(?x) 表示對(duì)于任意的元素 x，后面的表達(dá)式成立。

x∈B?(x∈A ∧ P(x)) 是一個(gè)條件語(yǔ)句。? 表示當(dāng)且僅當(dāng)，即前后兩種情況是等價(jià)的。x∈B 與 (x∈A ∧ P(x)) 之間用?連接，表示 x 屬于集合 B 的充分必要條件是 x 同時(shí)屬于集合 A 且滿(mǎn)足性質(zhì) P。

綜合起來(lái)，這個(gè)命題的意思是：對(duì)于任意一個(gè)集合 A，存在一個(gè)集合 B，使得對(duì)于任意一個(gè)元素 x，x 屬于 B 的充分必要條件是 x 同時(shí)屬于集合 A 且滿(mǎn)足性質(zhì) P。

這個(gè)命題可以用來(lái)表示一種集合構(gòu)造方法，即給定集合 A 和一個(gè)性質(zhì) P，可以構(gòu)造一個(gè)新的集合 B，包含所有屬于 A 且滿(mǎn)足 P 的元素。這個(gè)集合構(gòu)造方法也稱(chēng)為「包容公理方案」或「泛化公理方案」，是集合論的基礎(chǔ)之一。

以上論述的直接作用是為如下表示法提供根據(jù)：

{x|P(x)}

這就是即眾所周知的、唯二的、集合表示法的一種——描述法，

另一種是羅列法。我們并沒(méi)有知道任何新的東西，只是這下知道了這看起來(lái)很簡(jiǎn)單、寫(xiě)起來(lái)也很簡(jiǎn)單的表示法的發(fā)生原理。

根據(jù)A3(概括公理方案)

現(xiàn)在我可以用{X|X=X}這種寫(xiě)法了。

那么它是如何與A3相矛盾的呢？

或更黑格爾一點(diǎn)的問(wèn)法“‘我就是我’這句話(huà)有何矛盾？”

https://www.zhihu.com/question/602707257

(?A)(?B)(?x)(x∈B?(x∈A ∧ x=x))

?(?A)(?B)(?x)(x∈B?x∈A)

?"所有集合A都有一個(gè)集合B與祂相等"

?“所有集合都與自身相等”

{X|X=X}這“集合”中的元素的唯一的規(guī)定性就是與自身同一。除此之外沒(méi)有任何規(guī)定性。但是不能直接有說(shuō)祂是大全集。這是需要證明的！

大全集不存在，但是怎么證明{X|X=X}就是大全集呢？

好比大他者不存在，但憑啥說(shuō)啥啥啥是大他者捏？難道，靠信仰嗎？難道，硬說(shuō)啥啥啥是大他者，啥啥啥就是大他者了嗎？不見(jiàn)得吧。

一個(gè)集合就是一個(gè)宇宙，總能寫(xiě)成{x|P(x)}的形式。

P就是這個(gè)宇宙中的生成法則，非但是生成法則，而且一定是“大統(tǒng)一理論”性質(zhì)的生成法則。P不能有自身矛盾。

這種宇宙的普遍形式是宇宙里還套著宇宙，各有各的生成法則。結(jié)構(gòu)主義傾向性極強(qiáng)。

這種宇宙中的某一些，就可能和圖靈完備的宇宙形成同構(gòu)，其表象就是一個(gè)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)。

（僅限形式邏輯所能生成的集合論宇宙）

3.3 Example If P and Q are sets, then there is a set R such that x ∈ R if and only if x ∈ P and x ∈ Q.

(?P)(?Q)(?R)(?x)(x∈ R?(x∈P∧x∈Q))

? "總能通過(guò)任意兩個(gè)集合構(gòu)造出一個(gè)祂們的交集來(lái)"

證明：考慮P(x,Q):=x∈Q。那么根據(jù)A3有

(?P)(?Q)(?R)(?x) (

(x∈ R?(x∈P∧P(x,Q)))?(x∈ R?(x∈P∧x∈Q))

) ?T。

即證P、Q、R都是集合，且R={x|x∈P∧x∈Q}.

Q.E.D

---------------------------------------------------------

Although the supply of axioms is unlimited, this cause no problems, since it is easy to recognize whether a particular statement is or is not an axiom and since every proof uses only finitely many axioms.

GPT:

雖然公理的數(shù)量是無(wú)限的，但這并不會(huì)引起問(wèn)題，因?yàn)槲覀兛梢暂p易地判斷一個(gè)命題是否是一個(gè)公理，而且每個(gè)證明只使用有限數(shù)量的公理。

The property P(x) can depend on other parameters p,...,q and any A, there is a set B (depending on p,...,q and, of course, on A) consisting exactly of all those x ∈ A for which P(x, p,...,q).

GPT:

屬性P(x)可能依賴(lài)于其他參數(shù)p,…,q和任何A，對(duì)于任何A，存在一個(gè)B集合（其依賴(lài)于p,…,q和A），該集合恰好由所有滿(mǎn)足P(x, p,…,q)的x ∈ A組成。

-----------------------------------------------

3.4 Lemma

For every A, there is only one set B such that x ∈ B if and only if x ∈ A and P(x).

{A,B,C}:=∪{{A},{B,C}}

考慮

0:={}

1:={{}}

...

一般的說(shuō)n:={0,...,n-1}

換句話(huà)說(shuō)n+1:={0,...,n}=∪{n,{n}}

這樣加法就實(shí)現(xiàn)了。但是只能+1。

而且還有

∪n=n-1

這樣減法就實(shí)現(xiàn)了。但是只能-1。

但是∪0=0。負(fù)數(shù)現(xiàn)在還不存在。

請(qǐng)解釋如下命題 (?A)(?B)(?x)(x∈B?(x∈A ∧ P(x)))

請(qǐng)解釋如下命題 (?A)(?B)(?x)(x∈B?(x∈A ∧ P(x)))

請(qǐng)解釋如下命題 (?A)(?B)(?x)(x∈B?(x∈A ∧ P(x)))

The Axiom Schema of Comprension怎么翻譯？