史濟(jì)懷老師視頻課微分方程部分——

&4.二階常系數(shù)的線(xiàn)性微分方程

定義：

• 二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程——當(dāng)p(x)，q(x)為常數(shù)p，q時(shí)，即形如y''+py'+qy=f(x)的關(guān)系式。?

不使用常數(shù)變易法的3種情況：

1. 類(lèi)型一：當(dāng)f(x)=pn(x)；

2. 類(lèi)型二：當(dāng)f(x)=pn(x)e^αx；

3. 類(lèi)型三：當(dāng)f(x)=pn(x)(e^αx)sin βx或者f(x)=pn(x)(e^αx)cos?βx；

——pn(x)為關(guān)于x的n次多項(xiàng)式，即pn(x)=a0+a1x+…+anx^n，α，β為實(shí)數(shù)。

例題1：求y"+y'-2y=(x-2)e^x+4x^3-8x^2-12x+3一個(gè)特解.

解：

step1：（由解的疊加原理）將上述方程分解成兩個(gè)方程，分別解出特解，所得線(xiàn)性組合，即為所求——

step2：解方程一，是類(lèi)型二。按套路來(lái)做——

step3：解方程二，是類(lèi)型一。按套路來(lái)做——

step4：將上述兩個(gè)解相加，即為所求：

例題2：求y"-y=4xsin x

解：

按照類(lèi)型三的討論求解——

例題3：y"+y=xe^x(cos x).

解：

按照類(lèi)型三的討論求解——

*二階歐拉（Euler）方程；

定義：一種可化成常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的變系數(shù)線(xiàn)性微分方程，形如(x^2)y''+pxy'+qy=0的關(guān)系式。?

證明：