他是第一個用矩陣記號的人，他19歲時的短暫訪問嚇得哈密頓放下手里所有的活計專心撿起三元數(shù)研究，終于在四個月后發(fā)明了四元數(shù)，他是高斯眼里與阿基米德、牛頓并列的三個劃時代數(shù)學家之一。他24歲時出版的論文集由高斯作序，那時他橢圓函數(shù)論的課堂里有后來的數(shù)學大神黎曼，他去世時83歲的亞歷山大·馮·洪堡為他扶棺下葬哀痛不已。他就是普魯士數(shù)學家愛森斯坦，享年29歲。

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）

2020年4月27日，筆者再讀哈密頓傳記，書中提及1843年夏19歲的愛森斯坦訪問哈密頓(Sir William Rowan Hamilton。對，就是哈密頓量，Hamiltonian，里的那個哈密頓)，嚇得哈密頓趕緊拾起幾次放下的關(guān)于三元數(shù)的研究，終于在10月16日發(fā)明了四元數(shù)。讀到此處，筆者是不由得會心一笑，能把哈密頓驚嚇到的，自然不是平凡人物。愛森斯坦這個名字我自然是知道的。2014年夏天，筆者注意到用高斯整數(shù)和愛森斯坦整數(shù)可以分別表示正方格子和三角格子，這可方便證明這兩種格子的縮放對稱性是否為無窮多的問題【參見曹則賢《一念非凡》p.199】，這是我第一次接觸到Eisenstein這個名字。愛森斯坦整數(shù)是這樣的整數(shù)，z=a+bω，其中a, b是整數(shù)，ω=e2πi/3，這個形式的二元數(shù)在二維復平面里的圖像就是三角格子，學固體物理的不可不知。既然再次見到了這個數(shù)學家的名字 (其實，Morris Kline的《古今數(shù)學思想史》里也是提到過的)，我于是決定關(guān)切一下他的生平，沒想到愛森斯坦竟然享年只有29歲?？吹竭@個數(shù)據(jù)，筆者感到萬分痛惜。天妒英才，在詩人和數(shù)學家身上真是屢有應驗啊，伽羅華享年僅21歲，阿貝爾享年僅27歲。細觀愛森斯坦短暫而又富有成就的一生，筆者唏噓不已，遂決定撰此短文，揚天才英名，以申敬仰之情。

愛森斯坦 (Ferdinand Gotthold Max Eisenstein, 1823 –1852)，普魯士時期柏林人。愛森斯坦自幼就展現(xiàn)出數(shù)學與音樂方面的天分，中學教的那些數(shù)學遠遠不能滿足他的胃口，15歲時愛森斯坦即用歐拉和拉格朗日的著作學習微積分【感慨：學任何東西，都要盡可能采用大家的著述。岌岌無名者的書本，怎可拿來自污耳目！】。1840年起，中學生愛森斯坦就去柏林大學跟隨歐姆 (Martin Ohm, 1792-1872，歐姆定律的那個歐姆是Georg Ohm)、狄里希利 (Peter Gustav Lejeune Dirichlet , 1805-1859) 等人學數(shù)學。狄里希利是大神級數(shù)學家，1846年黎曼也被高斯勸到柏林大學跟隨狄里希利等人學數(shù)學。

1843年夏，19歲的愛森斯坦到訪愛爾蘭都柏林，去到哈密頓工作的天文臺拜會哈密頓，一為找教職（注意，他還未入大學呃！)，二來和哈密頓聊聊他關(guān)于三重存在 【triplet，哈密頓想?yún)⒄諒蛿?shù)那樣的二元數(shù)/代數(shù)偶素的形式構(gòu)造的數(shù)學對象。Triplet不方便就直接翻譯為三元數(shù)，因為它不光指三元數(shù)，此外它和trinity, triad, triadic treatment等宗教和形而上學的“三”概念有關(guān)】的研究。

關(guān)于要構(gòu)造三重存在，具體包括三元數(shù)或者描述三維空間矢量的代數(shù)元素等，哈密頓是1830年在他25歲時認識到復數(shù)的表達式 x+iy 不太恰當【有什么不恰當呢？你看 (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d) 中任一側(cè)中間的那個加法符號，其與前后的兩個加法符號意義就不一樣！】的時候，深入思考而后將之當作代數(shù)偶素 (x, y) 處理，那時候就想起了要構(gòu)造triplet。這些工作直到1843年夏幾起幾落，一直未能成功，哈密頓本人倒也不太著急。

然而，愛森斯坦這位普魯士19歲的大學前小青年的來訪讓哈密頓頓時警覺起來，如果這件事情再不做出來，估計會被這位年輕的柏林大學前小青年占得先機。一個可能是在同愛森斯坦討論的時候，他們談到了乘法的交換律—放棄乘法交換律可能是實現(xiàn)目標的關(guān)鍵，注意，三維空間的轉(zhuǎn)動就是非交換的！據(jù)哈密頓的自述以及哈密頓的傳記記載，愛森斯坦走后哈密頓把全部身心都放到了構(gòu)造triplet上，以至于每天早晨他大兒子都要問他 “爸爸，你弄會了三元數(shù)的乘法和加法了嗎？” 1843年10月16日，前后斷斷續(xù)續(xù)花費了13年功夫的哈密頓終于發(fā)明了四元數(shù) (quaternion) 。三元數(shù)的研究一直沒有進展，那是因為根本不存在三元數(shù)的除法代數(shù)。加減乘除對筆者來說實在太難了，就此打??！哈密頓成功發(fā)明四元數(shù)五天后，1843年10月21日，愛森斯坦進入柏林大學讀書。

愛森斯坦的一大容易被忽略的成就是他可能是第一個引入矩陣概念/記號 (matrix notation)的人。歷史上，矩陣的發(fā)明一般歸功于Arthur Cayley，而且認為在1858年以前是沒有矩陣概念的。然而，愛森斯坦1844的論文也許更早地包含有矩陣的思想。在這篇“Allgemeine Untersuchungen über die Formen dritten Grades （關(guān)于三次形式的一般研究）”，這篇文章里引入了matrix notation。這里的革命性思想是，矩陣可以作為代數(shù)元素進行運算，且其乘法可以有不可交換性！矩陣運算可以但不必然具有不可交換性，是矩陣在量子力學中起作用的數(shù)學保證。此是后話。

愛森斯坦1843年與哈密頓告別時，得到了哈密頓贈送的自己寫的關(guān)于阿貝爾的五次方程不可解的證明的長文，這更加刺激了這位大學前小青年研究數(shù)學的熱情。愛森斯坦從英倫回來就通過了中學畢業(yè)考試，并于1844年1月在進入大學沒倆月就提交了論兩變量立方形式的論文（估計和哈密頓討論與此有關(guān)）。在這大學的頭一年里，愛森斯坦發(fā)表了23篇論文，提出了兩個數(shù)學問題，包括橢圓函數(shù)以及數(shù)論里的二次互反律【注：是對quadratic reciprocity的亂翻譯，其字面意思是兩個整數(shù)的關(guān)于另一個整數(shù)平方的某種互反關(guān)系】，并提出了三次互反律(cubic reciprocity) 和四次互反律 (quartic reciprocity)。1847年，愛森斯坦在從入大學算起才三年多的時間就拿到了私俸講師位置【普魯士職稱制度。獲得博士學位的人可以申請作Habilitation，即獨立工作一段時間，考評合格后有Habil. Dr.的頭銜和私俸講師的職稱，可以授課，可以等別處的教授位置空缺】，他講授橢圓函數(shù)的班里有個學生叫黎曼。1851年，28歲的愛森斯坦被選入哥廷恩科學院，同年被選入柏林科學院，這時候離他到大學上一年級才僅僅過了8年。

愛森斯坦的文集，筆者剛下載，還未來得及閱讀，但無疑他的工作都是第一流的。愛森斯坦和高斯交好，其身后的文集就由高斯作序【這篇序是筆者讀的高斯的第一篇文字。筆者可是號稱學過電磁學的啊，唉！】，在這篇序里，作為對比高斯提到的一個人是歐拉。關(guān)于愛森斯坦，高斯曾云：“es habe nur drei epochebildende Mathematiker gegeben: Archimed, Newton, Eisenstein (歷史上劃時代的數(shù)學家只有三位：阿基米德、牛頓和愛森斯坦)?！痹诹硪粓龊?，在高斯1846年4月14日致洪堡的信中，高斯夸獎愛森斯坦的天分是“welche die Natur in jedem Jahrhundert nur wenigen erteilt (大自然一百年只賦予幾個人的那種)”。這大概是對一個數(shù)學家的最高評價了，而且是出自當時被稱為數(shù)學第一人 (Princeps mathematicum) 的高斯之口，足見愛森斯坦天分之高。當然天才愛森斯坦也知道天高地厚，也知道尊重真正的大學問家。在一封致M. A. Stern的信中，愛森斯坦請求Stern代為問候他在哥廷恩的熟人，“但是不要代我問候高斯；對于真神，理應禱祝與敬仰才是?！?/p>

悲劇的是，愛森斯坦身體先天不足，小時即罹患腦膜炎，成年后也時有病痛。大學時期的愛森斯坦生活貧困，靠高斯和洪堡給他爭取到的獎學金生活。1852年愛森斯坦死于肺結(jié)核，享年僅僅29歲，83歲的亞歷山大·馮·洪堡為他扶棺下葬。正是，恨血千年土中碧，大抵天才不壽長。大底天意如此，非人力所能改變的。

我們普通人能做的，就是敬仰天才的同時，多少勻一點他們?yōu)槲覀儚挠廾林斜I來的知識圣火，來驅(qū)趕自己腳下的這一片漆黑如墨。

參考文獻

[1] Gotthold Eisenstein, Mathematische Abhandlungen. Besonders aus dem Gebiete der h?heren Arithmetik und der elliptischen Funktione (數(shù)學研究——特別是關(guān)于高等算術(shù)和橢圓函數(shù)領(lǐng)域的)， Reimer (1847).

[2] Thomas L. Hankins, Sir William Rowan Hamilton, The John Hopkins University Press (1980).

[3] Gotthold Eisenstein, ?Mathematische Werke (數(shù)學著作)，Chelsea Publishing (1975).