在本期內(nèi)容開始前，先勘誤一個上次文章中的問題：關(guān)于“可導(dǎo)”的概念，當(dāng)時的極限不存在并非只有不趨于0和該處沒有定義兩種情況。然而，凡是這個極限不存在的情況，都稱為不可導(dǎo)。

另外介紹一個前述概念“無窮大”：

定義? 若函數(shù)當(dāng)時，其絕對值能大于任何一個正數(shù)，那么稱函數(shù)是當(dāng)時的無窮大，記作（請注意，雖說這么記，但此時極限是不存在的）

還有同濟版高等數(shù)學(xué)教材的鏈接：

https://pan.baidu.com/s/1Qcg8v3odXoTHLmzcXug_3Q?pwd=5230?

提取碼：5230

第四期：趨近速度（1）

（無窮小的比較? 等價無窮小替換）

高等數(shù)學(xué)中，把“趨近”研究得透徹實在是一項繁雜的工程。極限告訴了你函數(shù)趨近于什么數(shù)，導(dǎo)數(shù)通過趨近的手段定量地告訴了你函數(shù)的變化趨勢，這是前述內(nèi)容帶給你的體會。而我們似乎還缺少“比較”——不同函數(shù)之間的比較：有些函數(shù)當(dāng)自變量趨于同一個數(shù)時，函數(shù)值也趨近于同一個數(shù)，但他們趨近的速度卻是有相同也有不同的（感覺和導(dǎo)數(shù)有相似之處嗎？能將這個直覺上的相似轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)語言嗎？這值得思考，且在今后大為有用）。下面兩張圖直觀地體現(xiàn)了這一點。

圖1中有許多不同的函數(shù)曲線：（紅），（綠），（橙，不屬于定義的區(qū)域仍顯示橙線系軟件bug），（藍），（紫）。這五條曲線在離原點遠處大不相同，但又有共同點：它們在時的極限都為0。并且，仔細觀察，我們又發(fā)現(xiàn)，這些函數(shù)甚至在原點附近近乎重合；換句話說，這些函數(shù)趨于0的速度是“快慢相仿”的。那不由得會引發(fā)我們的思考：那在趨于0時，它們是否可以看作是同一個函數(shù)呢？事實上，在某些情況下（注意這個“某些情況”，自己別想當(dāng)然），確實可以。用通俗的語言來說，如果兩個函數(shù)當(dāng)自變量趨于同一個數(shù)時，函數(shù)值也趨近于同一個數(shù)，而且趨近的速度又是“一樣快”的，那么這兩個函數(shù)就是等價無窮小。這里的“等價”，就是說如果趨近速度“一樣快”，它們就可以在某些情況下看作一個函數(shù)。

看完了那種最特殊的情況，我們來看看那些一般情況。圖中分別為（綠），（藍），（紫），（紅）。它們趨于0的速度顯然不同，通過圖像就可以得知。例如綠線收斂速度比藍線快，紫線收斂速度也比藍線快。但我要是這么說，就體現(xiàn)不出紫線和綠線中哪個比藍線收斂得快更多。于是我們想到了一個方法——求比值。過程很簡單：

? ? ? ??

對比兩個式子：我們發(fā)現(xiàn)，與“具有可比性”，也就是說“在一個量級上”，這時稱這兩個函數(shù)是“同階無窮小”。而與當(dāng)時相比，對來說可以看作0（無窮?。諗?strong>快得多，反過來對來說可以看作無窮大，收斂慢得多。這時我們說是比高階的無窮小，反過來是比低階的無窮小。我們從圖像上也清晰地看到這樣的變化趨勢：取一個離0很近的值，此時二次函數(shù)曲線比直線距離0接近得多。理解了這些概念，我們再次強調(diào)：無窮小是一個函數(shù)，當(dāng)自變量趨于某個數(shù)（或無窮大）時趨于0的函數(shù)。然后，給出如下定義：

定義? 設(shè)與是在自變量的同一個趨近過程（）中的無窮小。

? ?? 若（或），則稱是比高階的無窮小，是比低階的無窮小，記作。

? ?? 若（為常數(shù)），則稱與是同階無窮小。

? ? ?若，則稱與是等價無窮小，記作。

? ?? 若與是同階無窮小，則稱是關(guān)于的階無窮小。

那不由得產(chǎn)生了下一個問題：我們?nèi)ネ诰蜻@樣的一套理論有何最終目的？正如前述，當(dāng)然是為了提高考試成績使求極限更為簡潔——可以利用等價無窮小將一些難以處理的函數(shù)（三角，反三角，對數(shù)，指數(shù)，雙曲……）統(tǒng)統(tǒng)轉(zhuǎn)化為多項式。

順著這樣的思路，我們發(fā)現(xiàn)，

定理? 若，且存在，則

? ??

這個定理告訴我們，被求極限式子的一個因式可以用與之等價的另一個因式相替換。那如果是加減運算呢？例如的值，如果將替換為，那么極限值就是0了，然而事實上，。許多等價無窮小替換公式（也包括上述的那個例子）超出我們目前的能力范圍，在之后更新到洛必達法則時會輕松很多。

等價無窮小替換還可以這樣理解：例如，我們將其表示為的形式，就能方便地得到這恰是利用了這些等價無窮小公式。