一次挺滿意的小組合作，記錄一下使用的代碼和過程。事先聲明代碼來自chatGPT，由于CSDN上沒有找到類似的代碼，這也是為以后或許要用到的同學(xué)留個(gè)資源吧。雖然說代碼不是親自寫的，理解還是很容易，順便注明一些我們走的彎路。

數(shù)值方法：

歐拉法：

很容易理解，順帶提一句chatGPT的代碼注釋真的很強(qiáng)大。

歐拉法調(diào)用方法：

（我們作業(yè)內(nèi)的ODE是，所以下面的都以這個(gè)ODE為例，再順帶提一句，使用matlab解ODE用dsolve就好。）

本來想解釋一下，但真沒啥解釋的...定義函數(shù)，初值，區(qū)間，步長，調(diào)用函數(shù)，畫圖，坐標(biāo)軸和圖名，就這些。

歐拉法輸出圖像：

梯形法：

英文是Trapezoidal method，tra pe zo i dal，梯形。

這次tspan是區(qū)間，不懂就看下面輸入案例。

梯形法調(diào)用方法：

梯形法輸出圖像：

RK2：

RK2調(diào)用方法：

圖不放了，同上（雖然說調(diào)用方法也類似，我還是把餅遞到嘴邊吧）。

RK4：

RK4調(diào)用方法：

誤差分析：

我們做的誤差分析是得出原函數(shù)在t=1時(shí)的值和數(shù)值方法逼近的值差的絕對值再取對數(shù)，聽著有點(diǎn)麻煩啊，寫成式子應(yīng)該是這樣：。這里我們將步長設(shè)為自變量，從10的-1到-6次方，誤差為因變量，這樣取對數(shù)后，正常的誤差分析結(jié)果應(yīng)該是幾條斜率不同的直線。

代碼：

誤差分析圖像：

小問答：這里直線的斜率分別為1，2，4，原因是什么？

另外，效果最好的是RK4，我一開始疑惑為什么RK4方法會觸底反彈，chatGPT的解釋是：

使用RK4方法擬合函數(shù)時(shí)，有時(shí)在步長減小到一個(gè)值時(shí)，隨著步長繼續(xù)減小，誤差反而增大的原因：在RK4方法中，步長的大小會影響擬合精度，通常情況下，減小步長可以提升擬合的精度。然而，當(dāng)步長繼續(xù)減小時(shí)，誤差反而增大的原因在于舍入誤差的影響。由于計(jì)算機(jī)存儲浮點(diǎn)數(shù)是有限精度的，當(dāng)步長較小時(shí)，函數(shù)的微小變化可能會因?yàn)榫炔蛔愣缓雎?，從而?dǎo)致誤差逐漸累積，最終使得計(jì)算結(jié)果和真實(shí)結(jié)果之間的差距增大。

我也詢問了為什么歐拉法和RK2為什么不會如此，chatGPT解釋是：

歐拉法和RK2方法在同樣的函數(shù)上進(jìn)行數(shù)值積分時(shí)，沒有出現(xiàn)這種問題的原因是因?yàn)樗鼈兊挠?jì)算精度相對較低，誤差隨著步長的減小而不是增大。歐拉法和RK2方法都是數(shù)值積分常用的一階顯式方法，與RK4方法相比，它們的計(jì)算復(fù)雜度較低，每次迭代只需要使用一次函數(shù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算即可。這種簡單的計(jì)算方式使得它們在處理簡單的函數(shù)時(shí)更加高效。然而，這種高效性也帶來了精度的犧牲。相較于RK4方法的四階精度，歐拉法只有一階，而RK2方法只有二階。因此，在進(jìn)行數(shù)值積分時(shí)，它們的誤差通常較大。

一些踩坑：

之后，我們換了一個(gè)新的函數(shù)，區(qū)間設(shè)為0到60。我們一開始想用函數(shù)中間的值來對比誤差，即y(30)，結(jié)果搞出一個(gè)四不像圖像，具體的就不放了。后來在做報(bào)告前，我們才發(fā)現(xiàn)在誤差分析的代碼中，我們用了例如y_exact(t_euler(end))的函數(shù)。我們將步長，初值，區(qū)間和取值全都換為了新的函數(shù)，但就是沒發(fā)現(xiàn)這個(gè)...最后作差是將函數(shù)中間數(shù)值方法的值和原函數(shù)末端值比較，當(dāng)然完全不對了。還是沒有完全理解如此簡單的代碼啊。順帶一提這些迭代的方法，比較函數(shù)末端(end)值其實(shí)應(yīng)該是最能顯示誤差的。

最后看看我們對另一個(gè)函數(shù)做的誤差分析圖吧：

注意兩個(gè)誤差分析圖的斜率哦！