1.前言和動機

當(dāng)代中國有兩個奇跡：一是用不到10%的耕地生產(chǎn)了25%的糧食，從而養(yǎng)活了20%的人民；二是用1.5%的中文互聯(lián)網(wǎng)內(nèi)容養(yǎng)活了20%的中文網(wǎng)民，假如只考慮大陸境內(nèi)的網(wǎng)站的話，那就只有約0.3%。同比之下英文資料占有55.6%，兩者有著質(zhì)的差距。

參考前者的解決方法，其實最優(yōu)解就是做所謂的互聯(lián)網(wǎng)袁隆平，給出能從有限的語料中提取有用信息的普適高效方法（做類似chatgpt的ai模型），但與此同時，也需要有人來產(chǎn)出有建設(shè)性的內(nèi)容，為中文互聯(lián)網(wǎng)內(nèi)容填充內(nèi)容。對此有人說：“你要覺得社會不好就去建設(shè)它”，我覺得很對，這就是我接下來寫有關(guān)物理著名論文鑒賞的動機之一。

原本計劃第一個寫愛因斯坦的《論動體的電動力學(xué)》（Albert Einstein. Zur elektrodynamik bewegter k?rper），但是轉(zhuǎn)念一想，其實夸贊和批判這篇文章應(yīng)該也稱不上具有建設(shè)性，畢竟大部分人其實都清楚愛因斯坦的水平。所以我打算調(diào)下順序，先來寫德布羅意的博士畢業(yè)論文《量子理論的研究》（de Broglie, RECHERCHES SUR LA THEORIE DES QUANTA），為這位在國內(nèi)倍受污蔑的物理學(xué)家簡單平反一下。限于本人語言水平，接下來參考的論文版本是英文翻譯版，所以可能和原文有些偏差。假如兩者出現(xiàn)偏差，我會參考原文進行修改并指出翻譯版的錯誤。

下面簡單說一下為什么國內(nèi)對德布羅意有深遠的污蔑：首先德布羅意的這篇論文遠不止一頁，單英文翻譯版就有81頁，法語原版更是有121頁。內(nèi)容更是開拓性的強悍，嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)和物理推導(dǎo)讓人難以想象這篇文章主要是作者在一戰(zhàn)參軍時期完成的；然后德布羅意是受過一套完整的物理學(xué)教育的（至少比我完整），他只有本科一年學(xué)過歷史，之后就全力學(xué)習(xí)研究物理，壓根就不是所謂的“文科生”。最后是德布羅意不是所謂的花花公子，相反，他在得諾獎之后依然堅持物理研究直至去世，身處89歲高齡仍在著作物理專著（Les incertitudes d'Heisenberg et l'interprétation probabiliste de la mécanique ondulatoire）。德布羅意和法拉第，兩者雖然出身相差甚遠，但都提出了推導(dǎo)物理發(fā)展至關(guān)重要的概念（場和物質(zhì)波），共同呈現(xiàn)出淡泊名利和為物理獻身的崇高精神，用行動證實了英雄不問出處，任何對他們科學(xué)精神和成就的污蔑都是不合理的。

本鑒賞主要圍繞論文主線展開，而不會過分追求闡述相對不重要的理論細節(jié)和嚴格性，特別是嚴格性。因為無論對于過去再怎么完美的論文，以現(xiàn)在的理論來看都是不完善的，所以本鑒賞著重在呈現(xiàn)大師的理論思路，爭取給出本論文的主要物理圖像，以起到拋磚引玉的作用。

該論文正文主要由七部分組成：相波，莫培督原理與費馬原理的相似性，軌跡的量子穩(wěn)定性，兩體運動，光量子，X射線衍射和量子統(tǒng)計力學(xué)。為能提供更為準(zhǔn)確的物理圖像，我會將三四部分合并在一起，同時略去偏離主線且不完善的量子統(tǒng)計力學(xué)部分，因為在此方面最重要的開拓者是玻色而非德布羅意。

假如文中有任何錯誤，請各位讀者為我批評指出，我會及時更正。

2.第一章：引入相波

作者在第一章先是簡述了狹義相對論中的質(zhì)能方程，以及具有靜質(zhì)量物體的運動質(zhì)量和能量。接著在量子理論中能量必定有相關(guān)對應(yīng)頻率的前提下引入了普朗克公式（式子E為物質(zhì)波能量，h為普朗克常數(shù)，為物質(zhì)波振動頻率）

在這里作者發(fā)現(xiàn)了h具有作用量的量綱，這不僅引出了第二章的討論，同時也是路徑積分量子化的大前提（只用h就可以構(gòu)造生成泛函）。

由于相對論質(zhì)量能量的對等，作者假設(shè)電子為分布在空間的能量并得出本文的關(guān)鍵結(jié)論：（m為電子動質(zhì)量，為靜質(zhì)量，c為光速，β為相對論因子）

在得出此結(jié)論后，根據(jù)后文1.3的理論，作者得出了電子能量不一定分布在局域空間的結(jié)論，并反復(fù)強調(diào)，一個電子的能量可以分布在整個空間，同時也作為不可分割的單一微觀粒子（不存在半個電子）。

接下來作者通過計算驗證了上述公式與狹義相對論中的粒子Lorentz變換沒有矛盾，并且得出了電子能量波相速度V=c/β一般是超光速的（β一般小于1，除非電子超光速）。然后作者舉了旋轉(zhuǎn)圓盤振動的例子來說明相速度不傳遞能量，上述結(jié)論并未違反狹義相對論。到此為止，作者建立了物質(zhì)運動與波動傳播的關(guān)聯(lián)，之后作者又在第二章用莫培督原理與費馬原理的相似性進一步證實了他的觀點。

同時作者在1.2中運用上述的物質(zhì)波公式計算了物質(zhì)波的群速度（波傳遞能量的速度）：（下式中V=c/β為相速度）

結(jié)果與粒子實際運動速度吻合，進一步證實了物體移動是波動能量轉(zhuǎn)移。

在1.3中，作者繪制了時空圖來形象地描述電子在空間的能量波。

如圖所示，其中ct-x為靜止觀察者的坐標(biāo)系，ct‘為電子運動的世界線。作者設(shè)t‘=0時電子能量波的等相面為直線1，（靜止電子的一個波動周期）時為直線2。則位于與A點相同x的靜止觀察者在兩個同時面所測的相位分別是和。同時因為，在靜止觀察者看來，電子相位在CD長度的時間移動了CB的距離，所以由時空圖可得相速度為V=tanCDB=c/β，同時AD長為靜止觀察者在原地所測周期，由時空圖可得，進而得頻率，與作者在1.1中所描述物質(zhì)波頻率結(jié)果一致。

3.第二章：莫培督原理與費馬原理

在本章作者首先于2.2節(jié)介紹了經(jīng)典力學(xué)中應(yīng)用于實物粒子的莫培督原理（Maupertuis‘principle）：

其中p和q分別為正則動量和坐標(biāo)。

之后作者在2.3中將其推廣至相對論性的帶電粒子上，只需對動量做出相應(yīng)的修改：

其中e為粒子帶電量，a為粒子運動所在磁場的矢勢。將上述推廣至四維矢量J，可有：(W為粒子總能量)這時也有：

接著作者在2.4中介紹了應(yīng)用于波動傳播的費馬原理：

其中為波的相位，相位作為不變標(biāo)量可以自然分解為：

其中作為的函數(shù)，代表著一個波動傳遞的矢量，假如將坐標(biāo)分解到熟知的四維時空中那就能得到熟悉的波動相位表達式：式中l(wèi)的方向指向傳播方向。

與上式中O的對應(yīng)關(guān)系為(此處英文翻譯有誤，按原文應(yīng)為）式中為坐標(biāo)軸和傳播方向的夾角。

然后作者在2.5中物質(zhì)波模型應(yīng)用到了上述的費馬原理中：首先由可得

接著作者將其自然推廣為，于是相位

這樣費馬原理就變成，與莫培督原理一致。

于此，作者得出結(jié)論：應(yīng)用于相位波的費馬原理等價于應(yīng)用于運動粒子的莫培督原理，粒子可能的運動軌跡等同于相位波的射線

而后作者為這一結(jié)論提供了三個例子，分別為自由粒子運動，電子在電場運動和電荷在一般的電磁場中的運動來進一步給出相位波與粒子運動規(guī)律上的一致性。

4.第三，四章：軌跡的量子穩(wěn)定性條件與兩體運動的量子化條件

作為新生的物理理論，除了要能推導(dǎo)并構(gòu)造出全新的物理現(xiàn)象，同時也要能解釋原有的實驗現(xiàn)象。對于1923年前的量子理論，最為成果的理論應(yīng)用就是成功解釋單電子原子光譜的離散分布。

在之前的量子理論中，波爾采用了電子繞原子核做圓周運動的經(jīng)典圖像，外加上他有名的量子化條件：（此處英譯版有誤，原文無誤）

對此條件，索末菲與愛因斯坦逐步改進該條件為以下的參考系不變形式：

上述理論闡述的圖像最大問題為電子運動的穩(wěn)定性問題，集中在電磁輻射上。因為根據(jù)經(jīng)典電動力學(xué)，由于圓周運動而具有加速度的電子會不斷向外輻射能量，最終會墜入原子核。為解決這個問題，作者在3.2中將自己的物質(zhì)波模型用于上述的量子化條件中，首先作者將電子的物質(zhì)波動與水波在河道的傳播做了類比：因為水波在沿河道縱向傳播的過程中，也會在橫向于河道的邊界形成駐波，這恰好與電子隨原子核的整體運動和相對原子核的運動相對應(yīng)。所以作者大膽地提出了他的駐波條件：（l為電子軌道長度，為電子波長）

以及相應(yīng)的積分形式：

這一模型精巧地解決了電子運動的不穩(wěn)定問題，因為形成駐波的橫向波動傳遞是穩(wěn)定的，同時還和第二章的費馬原理一致

在上式中代入作者的量子化條件，同時電子運動圓周長度整理后立刻可得波爾的量子化條件。

當(dāng)然，該理論也不是完美的，作者在完成推導(dǎo)后指出該理論存在沒有描述電子躍遷運動過程的理論空白，也就是缺少描述物質(zhì)和電磁相互作用的波動方程。這一結(jié)論直接點明了后續(xù)量子力學(xué)以及量子電動力學(xué)的正確研究方向，即研究量子波與場的方程。此觀點是本文最重要的成果之一，至今為止，量子場論與標(biāo)準(zhǔn)模型的理論體系依然沿用了這個研究方向。

后續(xù)作者又將駐波條件的積分形式用在了電子和原子核的兩體運動中，并用精巧的坐標(biāo)系變換得出了波爾在二體運動中的量子化條件，進一步說明了物質(zhì)波模型的正確性。

5.第五章：光量子

黑體輻射作為量子觀念的起源，物質(zhì)波模型也應(yīng)給出其對應(yīng)的合理解釋。

首先作者由愛因斯坦質(zhì)能方程可得，具有能量的光原子，應(yīng)具有的動質(zhì)量。但是該假設(shè)的成立建立在光原子沒有靜質(zhì)量上，于是作者先做出光原子具有一個很小靜質(zhì)量的假設(shè)，在該假設(shè)中，由可以得出相應(yīng)光原子速度為：（注意這時光原子理解與現(xiàn)在理論存在偏差，這里的光原子更接近于發(fā)光的光源粒子）

由當(dāng)時的測量光速實驗條件，可以推算出光原子靜質(zhì)量的上限為克，對于以下光子性質(zhì)分析而言有時是可以忽略不計的。

首先作者分析了光的多普勒效應(yīng)：對于以速度（其中）運動的光原子，在固定不動的觀察者來看，光原子發(fā)光的頻率變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cnu%5Cprime" alt="%5Cnu%5Cprime">，速度變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=c(1-%5Cvarepsilon%5Cprime)" alt="c(1-%5Cvarepsilon%5Cprime)">。

因為物理定理關(guān)于參考系不變，所以應(yīng)有。

根據(jù)狹義相對論的速度疊加原理可得：

即

因為為二階小量，所以可略，得：，

上式即為相對論性的多普勒公式，假如很?。▽嶋H微觀不可能，但宏觀發(fā)光體可以），則上式可以退化為經(jīng)典的多普勒公式，

于此同時，作者也首次運用該光原子概念得出了量子理論的光強頻率關(guān)系，作者假設(shè)在單位時間內(nèi)，一個隨光源以速度運動的觀察者看到光源發(fā)射了n個頻率為的光原子在單位面積上，這樣對于該觀察者而言，光強則為。

但是對于靜止的觀察者而言，由于鐘慢效應(yīng)，發(fā)射時間變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Cbeta%5E2%7D%7D" alt="%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Cbeta%5E2%7D%7D">，，同時光子所填充的體積變?yōu)?橫截面積不變，光子和光原子做追擊問題運動)

所以在靜止觀察者看來，光子的能量密度變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cfrac%7Bnh%5Cnu%5Cprime%7D%7Bc%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%2B%5Cbeta%7D%7B1-%5Cbeta%7D%7D" alt="%5Cfrac%7Bnh%5Cnu%5Cprime%7D%7Bc%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%2B%5Cbeta%7D%7B1-%5Cbeta%7D%7D">

（此處英譯版有誤，原文無誤）

相應(yīng)光強變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=I%5Cprime%3Dnh%5Cnu%5Cprime%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%2B%5Cbeta%7D%7B1-%5Cbeta%7D%7D%3Dnh%5Cnu%5Cprime%5Cfrac%7B%5Cnu%5Cprime%7D%7B%5Cnu%7D" alt="I%5Cprime%3Dnh%5Cnu%5Cprime%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%2B%5Cbeta%7D%7B1-%5Cbeta%7D%7D%3Dnh%5Cnu%5Cprime%5Cfrac%7B%5Cnu%5Cprime%7D%7B%5Cnu%7D">

由此便得光強比，該結(jié)論與經(jīng)典電磁波理論一致。

然后作者又采用了相似的方法得出移動鏡子反射光強于鏡子移速的表達式，也與經(jīng)典電磁波理論一致。而黑體輻射則與先前彼得·列別捷夫的推導(dǎo)一致，唯一區(qū)別是作者在這里是取為0的極限得出光子能量與動量比為光速的。

6.第六章：X和γ射線衍射

在本章作者給出了電子波動性的關(guān)鍵實驗證據(jù)——X射線衍射。

首先，作者闡述了湯普孫在X射線衍射實驗中得到的實驗定律：

（1）觀察者以相對于入射方向衍射角觀察射線，得到的能量正比于

（2）衍射光強相對原光強的比例為：

其中e和為電子電荷和質(zhì)量且c為光速。

上述式子中，作者于6.2中介紹的德拜理論已經(jīng)用合理的電子模型導(dǎo)出了上述的實驗公式，其關(guān)鍵就是布拉格父子提出的模型：將X射線照射的晶體原子看作射線的次波源，并向各個方向衍射，于原射線形成相干疊加。這個實驗可以自然地推廣到應(yīng)用電子的物質(zhì)波模型，通過電子射線來產(chǎn)生衍射，同時射線波長就是所對應(yīng)的電子物質(zhì)波波長，這為稍后進行電子衍射實驗提供了理論的基礎(chǔ)，同時也為固體晶格性質(zhì)的檢測提供了一種全新的方法。

但是上述光強比公式在高能實驗上逐漸失效，作者將失效原因歸結(jié)為隨著電子的能量逐漸增加，電子的波動波長越來越短導(dǎo)致衍射輻射的不對稱性更加明顯，這時就必須考慮電子產(chǎn)生的光子輻射，也就是γ射線輻射。

為處理γ射線輻射，作者介紹了康普頓散射的理論模型，在該模型中，光對電子的作用處理成了靜止電子和一個光子的彈性碰撞，因此電子吸收了部分來自光子的動能，使得散射的光子能量降低，波長增長。該理論結(jié)果與實驗一致，證實了光子概念的實在性。

7.總結(jié)與討論

本文在歷史上最重要的成就就是提出了物質(zhì)的波動性，這一概念直擊量子態(tài)線性性質(zhì)的本質(zhì)，并且給出了準(zhǔn)確的量子理論研究方向，就是得出物質(zhì)的波動方程和相互作用的場理論。在1923年之前，以波爾理論為首的舊量子論在1913年后就沒有實質(zhì)的理論發(fā)展了，但在德布羅意提出物質(zhì)波之后，海森堡薛定諤和狄拉克相繼提出電子的波動方程，量子力學(xué)直接進入了真正的黃金時代，并且描述微觀的電動力學(xué)的缺失促使人們率先發(fā)展了量子電動力學(xué)理論，而該理論迄今為止也是人類最為精確的自然科學(xué)理論。本論文在上述成果的建立起到了不可替代的推動作用，可以本文對于量子力學(xué)的重要性堪比愛因斯坦等效原理對于廣義相對論，法拉第的場和電磁感應(yīng)對于經(jīng)典電動力學(xué)，愛因斯坦評價其掀開了龐大面紗的一角，在現(xiàn)在看來可以說是非常直接本質(zhì)的評價了。

從后來人們的眼中看過去的理論，就會時常對理論發(fā)展者產(chǎn)生水平的誤判，這些誤判時常是來自對歷史背景和過往理論的無知。拿本文提出的電子衍射實驗為例，這個實驗至今也被廣泛用于測量固態(tài)晶體的各種空間性質(zhì)（比如晶格常數(shù)）。同時它也在理論上精準(zhǔn)把握了電子的波動性，因為不會有其他物質(zhì)形式在這個實驗中可以產(chǎn)生衍射。這兩點經(jīng)常會被很多不熟悉量子理論的人所低估，其原因就是不了解100年前人類實驗?zāi)芰Φ木窒扌院涂梢匝苌湟馕吨欢ㄓ胁▌有赃@一邏輯的精確有力。

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本文的主要參考資料：

德布羅意論文法語原版：https://theses.hal.science/tel-00006807/document

英語翻譯版：https://fondationlouisdebroglie.org/LDB-oeuvres/De_Broglie_Kracklauer.pdf