一元二次方程

1.一元二次方程的概念：含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a≠0），等式左邊是一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中ax2叫做二次項系數(shù)，bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)，c叫做常數(shù)項。

提示：（1）在一般形式中，b和c可以為任意實數(shù)，但a≠0，若a=0，次方程就不再是二次方程了！

（2）要確認一元二次方程的各項系數(shù)，必須先將此方程化成一般形式，在確定a，b，c的值。

3.一元二次方程的解法：（1）直接開平方法：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。

直接開平方法適用于形如（x+a）2=b的一元二次方程，根據(jù)平方根的定義可知，x+a是b的平方根，當(dāng)b≥0時x+a=±√b，x=-a±√b；當(dāng)b≤0時，此方程無實數(shù)根（注意：無實數(shù)根不可以看作無解，因為高中還有虛數(shù)）

（2）配方法的理論是依據(jù)a2±2ab±b2=（a±b）2，將a當(dāng)做x，則x2±2xb±b2=（x±b）2 ；一般步驟：①化為一般形式。 ②移項，將常數(shù)移到方程右邊。 ③化系數(shù)為一，及方程兩邊同時除以二次項系數(shù)。 ④配方，及方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，化為（x+m）2=n的形式，⑤若n≥0，就直接開平方，若n＜0，則無實數(shù)根。

（3）公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式是x=-b±√b2-4ac/2a（b2-4ac≥0）

公式法的步驟：①把方程轉(zhuǎn)化為一般形式。 ②確定a，b，c的值。 ③求出b2-4ac的值。 ④當(dāng)b2-4ac≥0是帶入公式。

（4）因式分解法：因式分解法是利用因式分解的手段，求出方程解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。

因式分解法的步驟：①將方程的右邊化為0. ②將方程的左邊分解成兩個一次因式的乘積。③令每個因式等于0，的一元一次方程，解開此方程，結(jié)果就是與一元二次方程的解。

4.一元二次的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判別式，常用Δ來表示，即Δ=b2-4ac。

（1）當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。

（2）當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根。

（3）當(dāng)Δ＜0時，方程無數(shù)根。

提示：（1）Δ＝b2-4ac是適用于一元二次方程。

（2）使用時要先化成一般形式，才能確定a，b，c的值。

（3）當(dāng)Δ＝b2-4ac≥0時，方程有實數(shù)根。

5.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）那么兩個實數(shù)根時x?，x?，那么x?+x?=-b/a，x?·x?=c/a。

（1）若x?+x?=-b/a=0，則x?，x?互為相反數(shù)

（2）若x?·x?=c/a=1，則x?，x?互為倒數(shù)

（3）若Δ≥0，x?+x?=-b/a＞0，x?·x?=c/a＞0，則兩根同為正。

（4）若Δ≥0，x?+x?=-b/a＜0，x?·x?=c/a＜0，則兩根同為負。

（5）若x?·x?=c/a＜0，則兩根異號。

提示：要熟練掌握以下的等式變形：

①x?2+x?2=x?2+x?2+2x?x?-2x?x?

②（x?-x?）2=x?2+2x?x?+x?2=（x?+x?）-4x?x?

③|x?-x?|=√（x?-x?）2=√（x?+x?）2-4x?x?

④1/x?+1/x?=x?+x?/x?·x?

⑤x?/x?+x?/x?=x?2+x?2/x?·x2=（x?+x?）2-2x?x?/x?·x?

⑥（x?+a）·（x?+a）=x?·x?+a（x?+x?）+a2

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