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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于Copulas的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相依性問題備受關(guān)注,相依性(dependence)是反映兩個(gè)隨機(jī)變量之間關(guān)聯(lián)程度的一個(gè)概念

它與相關(guān)性(correlation)有區(qū)別，常用的相關(guān)性度量是Pearson相關(guān)系數(shù),它只度量了兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系,其值不僅依賴于它們的Copula函數(shù),而且還依賴它們的邊緣分布函數(shù)。

直觀地說,Copula函數(shù)就是兩個(gè)(或多個(gè))隨機(jī)變量的聯(lián)合分布可以表示為它們的邊緣分布函數(shù)的函數(shù),這個(gè)函數(shù)就是Copula函數(shù),它與隨機(jī)變量的邊緣分布沒有關(guān)系,所反映的是兩個(gè)(多個(gè))隨機(jī)變量之間的“結(jié)構(gòu)”,這種結(jié)構(gòu)包含了兩個(gè)隨機(jī)變量相依性的全部信息。

Joe(1990)尾部相依性指數(shù)

Joe(1990)提出了一個(gè)(強(qiáng))尾部相依性指數(shù)。例如，對于下尾，可以考慮

也就是

• 上下尾(經(jīng)驗(yàn))相依性函數(shù)

我們的想法是繪制上面的函數(shù)。定義

下尾

對上尾來說，其中是

與?

，相依的生存copula ，即

其中

現(xiàn)在，我們可以很容易地推導(dǎo)出這些函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)對應(yīng)關(guān)系，即：

因此，對于上尾，在右邊，我們有以下圖形

而對于下尾，在左邊，我們有

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matlab使用Copula仿真優(yōu)化市場風(fēng)險(xiǎn)數(shù)據(jù)VaR分析

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損失賠償數(shù)據(jù)?

Copula函數(shù)在經(jīng)濟(jì)、金融、保險(xiǎn)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.早在1998年Frees和Valdez(1998)研究了索賠額與管理費(fèi)之間的關(guān)系,采用了Copula函數(shù)對其進(jìn)行刻畫并應(yīng)用于保費(fèi)的定價(jià)。

對于代碼，考慮一些真實(shí)的數(shù)據(jù)，比如損失賠償數(shù)據(jù)集。

損失賠償費(fèi)用數(shù)據(jù)有1,500個(gè)樣本和2個(gè)變量。這兩欄包含賠償金付款(損失)和分配的損失調(diào)整費(fèi)用(alae)。后者是與解決索賠相關(guān)的額外費(fèi)用（如索賠調(diào)查費(fèi)用和法律費(fèi)用）。

我們的想法是，在左邊繪制下尾函數(shù)，在右邊繪制上尾函數(shù)。

現(xiàn)在，我們可以將這個(gè)圖形，與一些具有相同Kendall's tau參數(shù)的copulas圖形進(jìn)行比較

高斯copulas

如果我們考慮高斯copulas 。

>?copgauss=normalCopula(paramgauss) >?Lga=function(z)?pCopula(c(z,z),copgauss)/z >?Rga=function(z)?(1-2*z+pCopula(c(z,z),copgauss))/(1-z) >?lines(c(u,u+.5-u[1]),c(Lgs,Rgs)

Gumbelcopula

或Gumbel的copula。

>?copgumbel=gumbelCopula(paramgumbel,?dim?=?2) >?lines(c(u,u+.5-u[1])

置信區(qū)間

但是由于我們沒有任何置信區(qū)間，所以仍然很難得出結(jié)論(即使看起來Gumbel copula比Gaussian copula更適合)。一個(gè)策略可以是從這些copula曲線中生成樣本，并可視化。對于高斯copula曲線

>?nsimul=500>?for(s?in?1:nsimul){ +?Xs=rCopula(nrow(X),copgauss) +?Us=rank(Xs[,1])/(nrow(Xs)+1) +?Vs=rank(Xs[,2])/(nrow(Xs)+1) +?lines(c(u,u+.5-u[1]),MGS[s,],col="red")

包括–逐點(diǎn)–90%的置信區(qū)間

>?Q95=function(x)?quantile(x,.95) >?lines(c(u,u+.5-u[1]),V05,col="red",lwd=2)

高斯copula曲線??

Gumbel copula曲線?

盡管統(tǒng)計(jì)收斂的速度會很慢，評估底層的copula 曲線是否具有尾部相依性簡單。尤其是當(dāng)copula 曲線表現(xiàn)出尾部獨(dú)立性的時(shí)候。比如考慮一個(gè)1000大小的高斯copula 樣本。這是我們生成隨機(jī)方案后得到的結(jié)果。

或者我們看一下左邊的尾巴(用對數(shù)比例)

現(xiàn)在，考慮10000個(gè)樣本。

在這些圖上，如果極限是0，或者是某個(gè)嚴(yán)格的正值，是相當(dāng)難以斷定的（同樣，當(dāng)感興趣的值處于參數(shù)的支持邊界時(shí)，這是一個(gè)經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)問題）。所以，一個(gè)簡單的想法是考慮一個(gè)較弱的尾部相依指數(shù)。

===

Ledford?和_Tawn(1996)_尾部相關(guān)系數(shù)

描述尾部相依性的另一種方法可以在Ledford & Tawn（1996）中找到。假設(shè)和具有相同的分布。現(xiàn)在，如果我們假設(shè)這些變量是（嚴(yán)格）獨(dú)立的。

但如果我們假設(shè)這些變量是（嚴(yán)格的）同單調(diào)性的（即這里的變量是相等的，因?yàn)樗鼈冇邢嗤姆植迹?，則

所以，有這樣一個(gè)假設(shè)：

那么a=2可以解釋為獨(dú)立性，而a=1則表示強(qiáng)（完美）正相依性。因此，考慮進(jìn)行如下變換，得到[0,1]中的一個(gè)參數(shù)，其相依性強(qiáng)度隨指數(shù)的增加而增加，例如

為了推導(dǎo)出尾部相依指數(shù)，假設(shè)存在一個(gè)極限，即

這將被解釋為一個(gè)（弱）尾部相依指數(shù)。因此定義函數(shù)

下尾巴（在左邊）

上尾（在右邊）。計(jì)算這些函數(shù)的R代碼非常簡單。

>?L2emp=function(z)?2*log(mean(U<=z))/ >?R2emp=function(z)?2*log(mean(U>=1-z))/ +?log(mean((U>=1-z)&(V>=1-z)))-1 >?plot(c(u,u+.5-u[1]),c(L,R),type="l",ylim=0:1, >?abline(v=.5,col="grey")

?高斯copula函數(shù)

同樣，也可以將這些經(jīng)驗(yàn)函數(shù)與一些參數(shù)函數(shù)進(jìn)行對比，例如，從高斯copula函數(shù)中得到的函數(shù)（具有相同的Kendall's tau）。

>?copgauss=normalCopula(paramgauss) >?Lgs?=function(z)?2*log(z)/log(pCopula(c(z,z), +?copgauss))-1>?Rgas?=function(z)?2*log(1-z)/log(1-2*z+ +?pCopula(c(z,z),copgauss))-1>?lines(c(u,u+.5-u[1])

Gumbel copula

>?copgumbel=gumbelCopula(paramgumbel,?dim?=?2) >?L=function(z)?2*log(z)/log(pCopula(c(z,z), +?copgumbel))-1>?R=function(z)?2*log(1-z)/log(1-2*z+ +?pCopula(c(z,z),copgumbel))-1>?lines(c(u,u+.5-u[1]),c(Lgl,Rgl),col="blue")

同樣，我們觀察置信區(qū)間，Gumbel copula在這里提供了一個(gè)很好的擬合

極值copula

我們考慮copulas族中的極值copulas。在雙變量的情況下，極值可以寫為?

其中

為Pickands相依函數(shù)，它是一個(gè)凸函數(shù)，滿足于

觀察到，在這種情況下：

其中

肯德爾系數(shù)，可寫成

例如

那么，我們就得到了Gumbel copula。現(xiàn)在，我們來看（非參數(shù)）推理，更準(zhǔn)確地說，是相依函數(shù)的估計(jì)。最標(biāo)準(zhǔn)的估計(jì)器的出發(fā)點(diǎn)是觀察

是否有copula函數(shù)?

具有分布函數(shù)

而反過來，Pickands相依函數(shù)可以寫成

因此，Pickands函數(shù)的自然估計(jì)是

其中，

是經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)

這是Capéràa, Fougères & Genest (1997)中提出的估計(jì)方法。在這里，我們可以用

>?Z=log(U[,1])/log(U[,1]*U[,2]) >?h=function(t)?mean(Z<=t) >?a=function(t){function(t)?(H(t)-t)/(t*(1-t)) +?return(exp(integrate(f,lower=0,upper=t, +?subdivisions=10000)$value)) >?plot(c(0,u,1),c(1,A(u),1),type="l"

整合得到Pickands相依函數(shù)的估計(jì)值。上圖中可以直觀地看到上尾的相依指數(shù)。

>?A(.5)/2[1]?0.405

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本文選自《R語言用Copulas模型的尾部相依性分析損失賠償費(fèi)用》。

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