由倫敦瑪麗女王大學(xué)領(lǐng)導(dǎo)的一項研究，首次提出了一種新穎的“高階”Kuramoto模型，該模型將拓撲與動力系統(tǒng)相結(jié)合，并表征了高階網(wǎng)絡(luò)中的同步。

就像沒有指揮家的管弦樂隊在時間上演奏一樣，復(fù)雜系統(tǒng)的元素可以自然地相互同步。這種被稱為同步的集體現(xiàn)象發(fā)生在整個自然界，從大腦中一起放電的神經(jīng)元到在黑暗中一致閃爍的螢火蟲。

Kuramoto模型用于研究復(fù)雜系統(tǒng)中觀測到的同步，復(fù)雜系統(tǒng)通常由網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)表示，其中系統(tǒng)中的組件表示為節(jié)點，節(jié)點之間的鏈接表示它們之間的交互。大多數(shù)關(guān)于同步的研究都集中在網(wǎng)絡(luò)上，在網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點托管動態(tài)振蕩器，這些振蕩器的行為類似于時鐘，并沿著網(wǎng)絡(luò)的鏈路與鄰居耦合。然而，絕大多數(shù)復(fù)雜系統(tǒng)具有比網(wǎng)絡(luò)更豐富的結(jié)構(gòu)，并且包括發(fā)生在兩個以上節(jié)點之間“更高階”的相互作用。

這些高階網(wǎng)絡(luò)被稱為單純復(fù)形，離散拓撲學(xué)的數(shù)學(xué)家們對其進行了廣泛研究?，F(xiàn)在，由倫敦瑪麗女王大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)教授Ginestra Bianconi教授領(lǐng)導(dǎo)的研究，提出了一個新穎的“高階”Kuramoto模型，該模型將拓撲與動力系統(tǒng)相結(jié)合，首次表征了高階網(wǎng)絡(luò)中的同步。研究發(fā)現(xiàn)，高階同步是突然發(fā)生的，以一種“爆炸性”的方式發(fā)生，這與標(biāo)準(zhǔn)的倉本模型不同，標(biāo)準(zhǔn)的倉本模型是逐漸發(fā)生同步的。

數(shù)學(xué)家克里斯蒂安·惠更斯在1665年首次發(fā)現(xiàn)了同步現(xiàn)象，當(dāng)時他觀察到懸掛在同一根木梁上的兩個擺鐘彼此在時間上擺動。然而，直到1974年，日本物理學(xué)家倉本義樹(Yoshiki Kuramoto)才提出了一個簡單的數(shù)學(xué)模型來描述這種集體現(xiàn)象。Kuramoto模型捕捉到了一個大型網(wǎng)絡(luò)中的同步，在這個網(wǎng)絡(luò)中，每個節(jié)點都擁有一個類似時鐘的振蕩器，該振蕩器與相鄰節(jié)點上的其他振蕩器相耦合。

在節(jié)點之間沒有鏈路的情況下，每個振蕩器遵循其自身的動態(tài)，并且不受其鄰居的影響。然而，當(dāng)相鄰節(jié)點之間的相互作用切換到給定值以上時，振蕩器開始以相同的頻率跳動。雖然Kuramoto模型描述了與單純復(fù)合體中網(wǎng)絡(luò)節(jié)點相關(guān)聯(lián)的動態(tài)同步，但是網(wǎng)絡(luò)中的高階對象(例如鏈路或三角形)也可以表現(xiàn)出動態(tài)或諸如通量的“拓撲”信號。在這項新研究中，研究人員提出了一個高階的Kuramoto模型，該模型可以描述這些拓撲信號的同步。

由于可以在大腦和生物運輸網(wǎng)絡(luò)中發(fā)現(xiàn)諸如通量之類的拓撲信號，研究人員認為，這個新模型可能會揭示以前沒有注意到的更高階同步。該研究的主要作者比安科尼教授說：研究將拓撲學(xué)的一個重要分支——霍奇理論與動力系統(tǒng)理論相結(jié)合，以闡明高階同步。利用理論框架，可以處理與連接相關(guān)的拓撲動態(tài)信號同步，如通量，或者與三角形或高階網(wǎng)絡(luò)的其他高階構(gòu)件同步。這些信號可以進行同步，但如果沒有執(zhí)行正確的拓撲變換，這種同步可能會被忽略。

新研究提出相當(dāng)于拓撲信號的傅里葉變換，可以揭示這一點。研究發(fā)現(xiàn)的不連續(xù)轉(zhuǎn)變還表明，同步現(xiàn)象不僅是自發(fā)的，而且是突然出現(xiàn)的，揭示了拓撲是如何在同步轉(zhuǎn)變開始時引起動力學(xué)的劇烈變化。

博科園｜研究/來自：倫敦瑪麗女王大學(xué)

研究發(fā)表期刊《物理評論快報》

DOI: 10.1103/PhysRevLett.124.218301

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