? ? 大家好，近期年終歲末，迎接華誕，比較繁忙，對于數(shù)學方面也沒做出啥貢獻，比較慚愧，今天談談正五邊形的幾何結構吧……

? ??為啥來研究正五邊形呢？因為這個圖形比較常見，比如五星紅旗的星星可以根據(jù)正五邊形畫出，而且正五邊形在中學階段經(jīng)常出現(xiàn)，因為它很簡單，而且很多問題讓你計算72°或者36°的三角函數(shù)值，而正五邊形每個外角剛好72°，36°是怎么來的呢？就是72°的一半；而且正五邊形也是為數(shù)不多的可以尺規(guī)作出的圖形；高斯曾經(jīng)算出過正十七邊形的內角三角函數(shù)值；伽羅瓦曾經(jīng)證明出，正多邊形當邊數(shù)是[2^(2^k)]+1形式的素數(shù)時，可以用尺規(guī)畫出。

? ? 初中老師很多都用方程算出來72°的三角函數(shù)值，忽悠同學說我有一個頂角為36°的等腰三角形，看！底角剛好是72°，也是頂角的2倍，多么神奇！

如果腰長是1，設底邊長為x，根據(jù)相似列方程，即

x/1=(1-x)/x

x^2=1-x

由于x>0，舍去小于0的根，解得

x=(-1+√5)/2

就算出來cos72°= (-1+√5)/4

? ? 也不告訴大家為啥這個等腰三角形那么神奇，其實這個解法沒有普遍性，數(shù)學家伽羅瓦告訴我們邊數(shù)n滿足[2^(2^k)+1]形式的素數(shù)時，能求出三角函數(shù)值，意思是說360°/n的三角函數(shù)值可求，如果n=17呢？也畫等腰三角形？顯然不好求了，n=65537呢？更崩潰了，如果小點還行，比5小的滿足條件的n呢，是[2^(2^0)]+1=3，360°/3=120°，補角正好是60°，更容易計算，直接是等邊三角形了。

? ? 有些初中教師會告訴大家△ABC的面積可以用0.5ab sinC 來算，這里邊a與b的夾角為C，證明很簡單，過點A作邊a的垂線，用底乘高除以2可得，如果你善于思考會發(fā)現(xiàn)，當C為鈍角時，就用0.5ab sin(180°-C)，為了統(tǒng)一公式，對于任意角C，規(guī)定sin C=sin(180°-C)?。那么對于任意角度x，還可以推出關于余弦的公式，有

sin(90°-x)=sin[180° -(90 °-x)]

cos x=sin[90°-(-x)]=cos(-x)，規(guī)定鈍角之后發(fā)現(xiàn)余弦函數(shù)是偶函數(shù)！

? ? 既然伽羅瓦能證明出來邊數(shù)n的特點，那這類角度求法必然有共性，我們從高斯視角來計算正五邊形的內角吧，當然不找那些等腰三角形了，能算的原因是度數(shù)的特性，接下來按圈走。在此之前，我們先看下圖：

如圖，任意給定的矩形ABCD中DB是對角線，∠CDB=α，∠BDE=β，作∠DBE=β交DE于E，過E作EG⊥DC于G，交AB于F，取BD中點H，連接EH，過H作HP⊥DC于P

這個圖比較經(jīng)典，這里設DE=EB=1，

由于∠DBF=∠BDC=α，∠EBF=∠DBF-β，那么有

cos(α+β)+cos(α-β)=DG+BF=DC

易知，HP∥BC，根據(jù)中位線的性質，DC=2DP

∵DH=cosβ，DP=DHcosα

∴?cos(α+β)+cos(α-β)=2cosα?cosβ

| 很經(jīng)典的公式哦，高斯視角的核心，同樣規(guī)定任意角度的α、β都成立(高中知識)，根據(jù)它，能推出很多結論，如

cos(90°+x)+cos(90°-x)=2cos90°cos x

cos(90°+x)+sin x=0

cos(90°+x)=-sin x

若α+β=90°，那么

0+cos(90°-2β)=2sinβcosβ

sin?2β =?2sinβ cosβ

若β=180°-0.5y，那么

sin(360°-y)

=2sin(0.5y)cos(180°-0.5y)

=2sin(0.5y)cos(90°+90°-0.5y)

=2sin(0.5y)[-sin(90°-0.5y)]

=-2sin(0.5y)cos(0.5y)

=-sin y

由于一圈是360°，顯然

sin(360°-y)=sin(-y)=-sin y，按照規(guī)定發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)是奇函數(shù)！

? ??下面根據(jù)前面那些公式從高斯視角來算72°的三角函數(shù)值：

sin288°=-sin72°

2sin144°cos144°=-sin72°

4cos144°sin72°cos72°=-sin72°

∵sin72°≠0

∴4cos144°cos72°=-1

(根據(jù)前面那公式，α=144°，β?=72°)

cos72°+cos216°=-0.5

cos72°+cos144°=-0.5

前面算得4cos144°cos72°=-1，根據(jù)對稱的方程，cos144°與cos72°是方程x^2+0.5x-0.25=0的兩個根，解得

x=-0.25±0.25√5

? ? 正根是cos72°，負根是cos144°，關鍵不是怎么解出來，而是找到方程的對稱性質，其中正弦的倍角公式很重要，因為它每次都是2倍關系，這就是為啥n會是[2^(2^k)]+1的形式了，如果你理解其中的對稱結構，那么恭喜，你已經(jīng)站在高斯的肩膀上咯！