為了方便起見，考慮一個(gè)勻加速運(yùn)動(dòng)。設(shè)想的場(chǎng)景是這樣的：孿生兄弟Alice和Bob一開始都在地球上（近似為慣性系）。后來Bob搭乘飛船上天，這艘飛船的運(yùn)動(dòng)方式是這樣的：先有一個(gè)很大的初速度，然后一直沿著初速度的反方向點(diǎn)火，持續(xù)減速到停止然后重新加速回來。也就是一個(gè)勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

假設(shè)Bob的加速度為a，最遠(yuǎn)離Alice的距離為d。

我們想問的是：從Alice的視角看，Bob的年齡是如何變化的？從Bob的視角看，Alice的年齡是如何變化的？

Alice視角

采用這樣一個(gè)坐標(biāo)：

直截了當(dāng)?shù)挠?jì)算給出：（這個(gè)結(jié)果把兩個(gè)時(shí)間“平移”到同一個(gè)起點(diǎn)）

所以，在相遇的時(shí)候，Alice和Bob的年齡分別為

那么很顯然，Bob會(huì)年輕一點(diǎn)。

在Alice的視角下，整個(gè)過程中Bob年齡的變化為：

從頭到尾，Alice都比Bob年長(zhǎng)。一開始，Bob的速度很快，時(shí)間膨脹比較厲害，所以年齡增長(zhǎng)比較慢。隨著Bob的速度下降，其年齡增長(zhǎng)速率又變得和Alice一樣快；但是在返程途中，速度加快，所以年齡增長(zhǎng)又變慢了。

Bob視角

在Bob看來，Alice是做一個(gè)反向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，并且運(yùn)動(dòng)的軌跡和時(shí)間與Alice看Bob似乎應(yīng)該是一模一樣的。按照費(fèi)曼所說的"cocktail-party philosophers"的說法，?“Oh, it is very simple: Einstein’s theory says all is relative!”。運(yùn)動(dòng)方式的確是相對(duì)的，那么計(jì)算出來似乎應(yīng)該是Alice更年輕。問題出在哪里呢？在于隱含在背后的時(shí)空背景，即度規(guī)張量。

Bob視角下Alice的運(yùn)動(dòng)～Alice視角下Bob的運(yùn)動(dòng)（根據(jù)后面的計(jì)算可以看到，也并不是完全相等）

Bob視角下時(shí)空的樣子!=Alice視角下時(shí)空的樣子

采用Rindler坐標(biāo)：

其中(T,X)是Bob感受到的坐標(biāo)。它自己一直在這個(gè)坐標(biāo)的1/a這個(gè)地方不動(dòng)。這個(gè)坐標(biāo)下的度規(guī)變成：

那么，Alice的運(yùn)動(dòng)軌跡就是：

這個(gè)軌跡顯然就不是一條雙曲線了：

注意到Bob視角里面是有一個(gè)視界的，X<0的地方是觸碰不到的，一個(gè)粒子只能無限接近它但是不能穿過它。我們只能說，從分離到相遇這段時(shí)間內(nèi)，Bob看Alice的確近似是一個(gè)勻加速的雙曲運(yùn)動(dòng)，但是假如相遇之后Bob繼續(xù)加速，把Alice甩在身后，他會(huì)看到Alice越走越慢，最后接近于停止在視界上。

從分離到相遇的時(shí)間很容易計(jì)算出來，是：

總時(shí)間和前面算出來的Bob年齡是一樣的（換算成arcsinh就知道了）。下面計(jì)算Alice的年齡變化：

所以，在相遇的時(shí)候，Alice和Bob的年齡分別為

這和前面計(jì)算出來的結(jié)果是完全一樣的，Bob還是比Alice年輕。

在Bob的視角下，整個(gè)過程中Alice年齡的變化為：

一開始，度規(guī)接近于Minkovski度規(guī)，可以按照普通的狹義相對(duì)論的時(shí)間膨脹來理解：Alice相對(duì)Bob在運(yùn)動(dòng)，所以年齡增長(zhǎng)比較慢。但是，隨著Alice跑到X比較大的地方，因?yàn)槎纫?guī)里面-a^2X^2dT^2這一項(xiàng)，Bob經(jīng)歷的一個(gè)小時(shí)間段內(nèi)，Alice卻經(jīng)歷了很長(zhǎng)一段時(shí)間。所以藍(lán)色曲線在中段，斜率迅速增大。正是這一部分彌補(bǔ)了佯謬，導(dǎo)致“雖然Alice相對(duì)Bob在運(yùn)動(dòng)，但是在Bob看來Alice的時(shí)間流逝更快”。

總結(jié)

孿生子佯謬中，Alice（慣性系）的視角：

Bob（非慣性系）的視角：

最終不產(chǎn)生任何矛盾。