（合計(jì)1041字，用時(shí)60min——）

第六章?定積分的應(yīng)用

第二節(jié)?定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

一、平面圖形的面積

1.直角坐標(biāo)情形

由曲線y=f(x)（f(x)≥0）及直線x=a，x=b（a<b）與x軸所圍成的曲邊梯形的面積A是定積分

其中被積表達(dá)式f(x)dx就是直角坐標(biāo)下的面積元素，它表示高為f(x)，底為dx的一個(gè)矩形面積。

2.?極坐標(biāo)情形

設(shè)由曲線ρ=ψ(θ)及射線θ=α，θ=β圍成一圖形（簡(jiǎn)稱為曲邊扇形），現(xiàn)在要計(jì)算它的面積，這里，ψ(θ)在[α,β]上連線，且ψ(θ)≥0，步驟——

• 取極角θ為積分變量，它的變化區(qū)間為[α,β]。

• 相應(yīng)于任一小區(qū)間[θ,θ+dθ]的窄曲邊扇形的面積可以用半徑為ρ=ψ(θ)、中心角為dθ的扇形的面積來近似代替，從而得到這窄曲邊扇形面積的近似值，即曲邊梯形的面積元素

????——以上式為被積表達(dá)式，在閉區(qū)間[α,β]上作定積分，便得所求曲邊扇形的面積為

二、體積

1.?旋轉(zhuǎn)體的體積

定義：旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸。

例子：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體可以分別看成是由矩形繞它的一條邊、直角三角形繞它的直角邊、直角梯形繞它的直角邊、半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，所以它們都是旋轉(zhuǎn)體。

體積：取橫坐標(biāo)x為積分變量，它的變化區(qū)間為[a,b]。相應(yīng)于[a,b]上的任一小區(qū)間[x,x+dx]的窄曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積近似于以f(x)為底半徑、dx為高的扁圓柱體的體積，即體積元素

——以上述體積元素為被積表達(dá)式，在閉區(qū)間[a,b]上作定積分，使得所求旋轉(zhuǎn)體體積為

2.?平行截面面積為已知的立體的體積

結(jié)論：如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面的面積，那么，這個(gè)立體的體積也可以用定積分來計(jì)算。

做法：以上述定軸為x軸，并設(shè)該立體在過點(diǎn)x=a、x=b且垂直于x軸的兩個(gè)平面之間。以A(x)表示過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積。假定A(x)為x的已知的連續(xù)函數(shù)。取x為積分變量，它的變化區(qū)間為[a,b]；立體中相應(yīng)于[a,b]上任一小區(qū)間[x,x+dx]的一薄片的體積，近似于底面積為A(x)、高為dx的扁柱體的體積，即體積元素

——以上述體積元素為被積表達(dá)式，在閉區(qū)間[a,b]上作定積分，使得所求立體的體積為

三、平面曲線的弧長(zhǎng)

定義：設(shè)A、B是曲線段的兩個(gè)端點(diǎn)。在弧AB上依次任取分點(diǎn)

并依次連接相鄰的分點(diǎn)得一折線。當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無限增加且每個(gè)小段都縮向一點(diǎn)時(shí)，如果此時(shí)此折線的長(zhǎng)

的極限存在，則稱此極限為曲線弧AB的弧長(zhǎng)，并稱此曲線弧AB是可求長(zhǎng)的。

定理：光滑曲線段是可求長(zhǎng)的。