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掛谷宗一這個(gè)名字一聽就是日本人，事實(shí)上也的確如此。掛谷宗一提出了一個(gè)著名的問題——掛谷問題（我說這**不是**嗎掛谷提出來的不叫掛谷問題還能叫什么問題）

掛谷問題大致意思如下：給定邊長(zhǎng)（設(shè)邊長(zhǎng)為1）的線段，讓這個(gè)線段在轉(zhuǎn)動(dòng)和平移的作用下轉(zhuǎn)過360°角并回到原位，求最小轉(zhuǎn)過的面積。后來人們發(fā)現(xiàn)這里的轉(zhuǎn)過180°和360°答案貌似是一樣的，于是人們把問題改成了轉(zhuǎn)180°。

于是我們立刻可以給出兩個(gè)符合條件的模型，就是“π/2”與“π/4”型，前者指的是將這個(gè)線段放在一個(gè)半徑為1的圓里轉(zhuǎn)半圈或者放在半徑為1/2的圓里轉(zhuǎn)一圈。或許這是一些小學(xué)生（甚至是少數(shù)中學(xué)生和極個(gè)別大學(xué)生）的極限了。

然而數(shù)學(xué)家不會(huì)滿足于這兩個(gè)簡(jiǎn)單的模型。之前的拙作《［標(biāo)題黨×低創(chuàng)］［科學(xué)梗］萊洛三角形的等寬性》中，我們漏寫了等寬曲線的一個(gè)性質(zhì)，就是所有寬一定的等寬曲線中，萊洛三角形面積最小，這個(gè)我也不會(huì)證明。由此我們不難構(gòu)造一個(gè)萊洛三角形，讓線段在里面轉(zhuǎn)。我們可以求出萊洛三角形的面積，就是一個(gè)半徑為1的半圓面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形的面積。具體算一下就是π/2－二分之一倍的根號(hào)三。我們通過放縮法可以證明這個(gè)值是比π/4小的。然后我們又不難發(fā)現(xiàn)，直接來一個(gè)高為1的正三角形面積更小，它的面積是根號(hào)三分之一。我們又可以通過放縮法求得它小于萊洛三角形的面積。

那么最后也就是掛谷宗一的極限了——內(nèi)擺線。內(nèi)擺線是一種非常神奇的東西，它是一個(gè)小圓在大圓內(nèi)部，然后小圓繞大圓旋轉(zhuǎn)若干圈得到的小圓上的某個(gè)點(diǎn)的軌跡。這里指的是三尖瓣線，曲線方程為：

x=cost+1/2·cos(2t)

y=sint-1/2·sin(2t)

反正大致就這個(gè)意思，可以算出它的面積就是π/8。包括掛谷宗一在內(nèi)的很多數(shù)學(xué)家認(rèn)為這就是最小值了，BUT。

不知多少年之后，在1928年，一個(gè)名為別西科維奇的數(shù)學(xué)家證明：最小可以是任意小。這個(gè)由于我能力有限所以無法證明。網(wǎng)絡(luò)上的一個(gè)答案是這樣的：

想象一個(gè)高為1的等邊三角形，把它平分，再把兩個(gè)直角三角形稍微疊在一起。這個(gè)新圖形面積比三角形小，但是在其中，屬于 [-120°,-60°] 的每個(gè)角都能找出邊長(zhǎng) ≥1 的線段。

重新開始，把三角形平均分為 8 個(gè)，把它們兩兩疊在一起，再兩兩疊在一起，這種圖形就叫做"佩龍Perron樹"。如果我們重復(fù)這個(gè)步驟，把三角形分為 16 個(gè)、32 個(gè)、……、 2^n個(gè)，顯然整個(gè)圖形的面積可以越來越小，并且可以證明圖形面積無限趨近于0。

把 3 個(gè)佩龍樹分別旋轉(zhuǎn) 0°，120°，240° 并疊在一起，可以看到，最后的圖形在每個(gè)角上都有邊長(zhǎng) ≥1 的線段，這也就是說它是一個(gè)貝西科維奇集，并且面積任意小。

然而數(shù)學(xué)家并沒有停止探索，終于在1971年，一個(gè)名為坎寧安的數(shù)學(xué)家提出：在單位圓內(nèi)可以做出單連通的、面積無限小的掛谷集。

至此，問題基本結(jié)束。