數(shù)學(xué)派每日一題-3.21

2023-03-21 23:27 作者:ulsmallzhou 0人讀過 | 我要投稿

題目一如下圖：

解析：

本題考查的是復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識。首先，由 $i(1-z)%3D1$ 兩側(cè)同時乘以 $-i$ （這一操作與兩側(cè)同時除以 $i$ 是等價(jià)的），可得 $1-z%3D-i$ ，即 $z%3D1%2Bi$ 。

兩側(cè)取共軛，我們得到了 $%5Coverline%7Bz%7D%3D%5Coverline%7B1%2Bi%7D%3D1-i$ ，因此 $z%2B%5Coverline%7Bz%7D%3D(1%2Bi)%2B(1-i)%3D2$ 即為所求。

換一個思路，由共軛復(fù)數(shù)的幾何含義（復(fù)平面上關(guān)于實(shí)軸對稱的兩個復(fù)數(shù)），一個復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的和應(yīng)當(dāng)是一個實(shí)數(shù)（虛部相互抵消），且該實(shí)數(shù)應(yīng)當(dāng)是該復(fù)數(shù)實(shí)部的兩倍（實(shí)部相等相加），所以 $z%2B%5Coverline%7Bz%7D%3D2Re(z)%3D2Re(1%2Bi)%3D2$ 。

題目二如下圖：

解析：

首先，拋物線方程 $x%5E2%3D6y$ 給定，我們可以先寫出焦點(diǎn)F的坐標(biāo) $%5Cleft(0%2C%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cright)$ 。

然后，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為 $%5Cleft(x_0%2C%5Cfrac%7Bx_0%5E2%7D%7B6%7D%5Cright)$ ，可以寫出此時切線 $l$ 的方程 $y-%5Cfrac%7Bx_0%5E2%7D%7B6%7D%3D%5Cfrac%7Bx_0%7D%7B3%7D(x-x_0)$ ，即 $y%3D%5Cfrac%7Bx_0%7D%7B3%7Dx-%5Cfrac%7Bx_0%5E2%7D%7B6%7D$ 。由 $l_1$ 與 $l$ 平行，可設(shè) $l_1$ 的方程為 $y%3D%5Cfrac%7Bx_0%7D%7B3%7Dx%2B%5Clambda$ ，與拋物線方程聯(lián)立，就得到了 $M%2CN$ 兩點(diǎn)橫坐標(biāo)所滿足的方程 $%5Cfrac%7Bx_0%7D%7B3%7Dx%2B%5Clambda%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B6%7D$ ，化簡后即 $x%5E2-2x_0x-6%5Clambda%3D0$ 。為了保證該直線與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)保證 $%5CDelta%3E0$ ，即 $x_0%5E2%2B6%5Clambda%3E0$ 。從幾何含義上講， $l_1$ 應(yīng)當(dāng)在 $l$ 上方，計(jì)算判別式得到的結(jié)果與該結(jié)論一致。

接下來，我們來處理 $%5Cangle%20MPN%3D90%C2%B0$ 的條件。幾何上的垂直轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的計(jì)算，考慮向量的點(diǎn)乘是一種比較好的辦法（當(dāng)然，兩斜率之積為-1也可以，不過需要單獨(dú)考慮水平-豎直的情形）。設(shè) $M%2CN$ 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 $%5Cleft(x_1%2C%5Cfrac%7Bx_1%5E2%7D%7B6%7D%5Cright)%2C%5Cleft(x_2%2C%5Cfrac%7Bx_2%5E2%7D%7B6%7D%5Cright)$ ，則

$%5Cvec%7BMP%7D%3D%5Cleft(x_0-x_1%2C%5Cfrac%7Bx_0%5E2-x_1%5E2%7D%7B6%7D%5Cright)%2C%5Cvec%7BNP%7D%3D%5Cleft(x_0-x_2%2C%5Cfrac%7Bx_0%5E2-x_2%5E2%7D%7B6%7D%5Cright)$

由垂直條件，即得

$%5Cbegin%7Baligned%7D0%26%3D(x_0-x_1)(x_0-x_2)%2B%5Cleft(%5Cfrac%7Bx_0%5E2-x_1%5E2%7D%7B6%7D%5Cright)%5Cleft(%5Cfrac%7Bx_0%5E2-x_2%5E2%7D%7B6%7D%5Cright)%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7B(x_0-x_1)(x_0-x_2)%7D%7B36%7D(36%2B(x_0%2Bx_1)(x_0%2Bx_2))%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Bx_0%5E2-x_0(x_1%2Bx_2)%2Bx_1x_2%7D%7B36%7D(36%2Bx_0%5E2%2Bx_0(x_1%2Bx_2)%2Bx_1x_2)%5Cend%7Baligned%7D$

由于上面我們已經(jīng)得到了 $x_1%2Cx_2$ 滿足的二次方程，所以由韋達(dá)定理我們可以得知

$%5Cbegin%7Bcases%7Dx_1%2Bx_2%3D2x_0%5C%5Cx_1x_2%3D-6%5Clambda%5Cend%7Bcases%7D$

于是，我們可以繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算

$%5Cbegin%7Baligned%7D0%26%3D%5Cfrac%7Bx_0%5E2-x_0(x_1%2Bx_2)%2Bx_1x_2%7D%7B36%7D(36%2Bx_0%5E2%2Bx_0(x_1%2Bx_2)%2Bx_1x_2)%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Bx_0%5E2-x_0(2x_0)-6%5Clambda%7D%7B36%7D(36%2Bx_0%5E2%2Bx_0(2x_0)-6%5Clambda)%5C%5C%26%3D-%5Cfrac%7Bx_0%5E2%2B6%5Clambda%7D%7B12%7D(12%2Bx_0%5E2-2%5Clambda)%5Cend%7Baligned%7D$

而前面我們已經(jīng)得出了 $x_0%5E2%2B6%5Clambda%3E0$ 的結(jié)論，因此只能 $12%2Bx_0%5E2-2%5Clambda%3D0$ ，即 $%5Clambda%3D6%2B%5Cfrac%7Bx_0%5E2%7D%7B2%7D$ 。換言之，我們將垂直條件轉(zhuǎn)化為了 $x_0%2C%5Clambda$ 之間的一個等式關(guān)系。

接下來，我們計(jì)算題目中的兩個距離 $d_1%2Cd_2$ 。由點(diǎn)與直線之間的距離公式，我們有

$d_1%3D%5Cfrac%7B%7C-%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D%2B3%5Clambda%7C%7D%7B%5Csqrt%7Bx_0%5E2%2B9%7D%7D%3D%5Cfrac%7B3(%5Clambda-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D)%7D%7B%5Csqrt%7Bx_0%5E2%2B9%7D%7D%2Cd_2%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C-%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7Bx_0%5E2%7D%7B2%7D%5Cright%7C%7D%7B%5Csqrt%7Bx_0%5E2%2B9%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Clambda-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx_0%5E2%2B9%7D%7D$