今天來證明e是無理數(shù)，接著我們再聊兩道其他教材上有意思的習題。

37數(shù)e的近似計算法

我們先復(fù)習一下需要用到的知識點——

1. n趨向于無窮大，數(shù)列l(wèi)im（1+1/n）^n=e；——常用形式；

2. n趨向于無窮大，數(shù)列l(wèi)im（2+1/2!+1/3!+……+1/n!）=e；

3. 我們用2中數(shù)列來估算e的取值，誤差小于1/n!n，即e-（2+1/2!+1/3!+……+1/n!）<1/n!n；

4. 所以存在一個數(shù)Θ，滿足0<Θ<1，使得e-（2+1/2!+1/3!+……+1/n!）=Θ/n!n<1/n!n；

我們從4這個條件導出e是無理數(shù)的證明——

3.數(shù)e是無理數(shù)

反證法——

1. 假設(shè)e為有理數(shù)，即存在整數(shù)m、n，使得e=m/n；

2. 已知對整數(shù)n，有

   e=（2+1/2!+1/3!+……+1/n!）+Θ/n!n，0<Θ<1，

   則m/n=（2+1/2!+1/3!+……+1/n!）+Θ/n!n，0<Θ<1；

3. 將2中所得等式兩側(cè)同時乘以n!：

   左邊=（m/n）*n!=m（n-1）！，為一個整數(shù)，

   右邊=[（2+1/2!+1/3!+……+1/n!）+Θ/n!n]*n!=（2+1/2!+1/3!+……+1/n!）*n!+Θ/n，為一個分數(shù)，

   左右兩邊不相等，導出矛盾，則e為無理數(shù)。

再補充幾個其他教材上的有趣的例題——

1.常庚哲、史濟懷《數(shù)學分析教程》第一節(jié)例題，第3頁例題——

分析：書上用到無窮遞降法，我們來把這種方法的思路先捋一下，再看完整答案——

1. n不是完全平方數(shù)，即n^（1/2）不是整數(shù)，最小的整數(shù)為1，1為完全平方數(shù)，則n肯定大于1，數(shù)學表示為存在整數(shù)m>0，m<n^（1/2）<m+1；

2. 肯定用到反證法，假設(shè)存在整數(shù)p、q，使得n^（1/2）=p/q；

3. 結(jié)合1、2，m<p/q<m+1，即0<p-mq<q，以這種方式得到了一個在0和q之間的整數(shù)，

   無窮遞降法的原理是小于某個數(shù)的正整數(shù)是有限個的，而我們導出的關(guān)系式卻可以推出一個在0和某個整數(shù)之間無限遞減的數(shù)列，

   所以我們再得到一個含有p、q和p-mq的關(guān)系式，即可用到這種方法；

4. 由2、3配湊，p^2=nq^2，p（p-mq）=p^2-mpq=nq^2-mpq=q（nq-mp），即p/q=（nq-mp）/（p-mq）；

5. 我們令p1=nq-mp，q1=p-mq，即可同理得到兩組無限遞減的正整數(shù)數(shù)列，其中pk=nqk-1-mpk-1，qk=pk-1-mqk-1，然而這是不可能的，得證。

完整證明如下——

2.史濟懷《數(shù)學分析》視頻課上第一節(jié)課的思考題——

求證：如果n不是完全立方數(shù)，則n^（1/3）是無理數(shù)。

分析過程大同小異——

1. n不是完全立方數(shù)，即n^（1/3）不是整數(shù)，最小的整數(shù)為1，1為完全立方數(shù)，則n肯定大于1，數(shù)學表示為存在整數(shù)m>0，m<n^（1/3）<m+1；

2. 肯定用到反證法，假設(shè)存在整數(shù)p、q，使得n^（1/3）=p/q；

3. 結(jié)合1、2，m<p^2/q<m+1，即0<p^2-mq<q，以這種方式得到了一個在0和q之間的整數(shù)，

   所以我們再得到一個含有p、q和p^2-mq的關(guān)系式，即可用到這種方法；——這一步是由第五部配湊的時候反推得到的；

4. 由2、3配湊，p^3=nq^3，p（p^2-mq）=p^3-mpq=nq^3-mpq=q（nq^2-mp），即p/q=（nq^2-mp）/（p^2-mq）；

5. 我們令p1=nq^2-mp，q1=p^2-mq，即可同理得到兩組無限遞減的正整數(shù)數(shù)列，其中pk=nqk-1^2-mpk-1，qk=pk-1^2-mqk-1，然而這是不可能的，得證。

明天繼續(xù)！