【數(shù)學(xué)專業(yè)課】高等代數(shù)學(xué)-復(fù)旦大學(xué)-謝啟鴻-高清
教材：《高等代數(shù)學(xué)》（第三版）
習(xí)題：《高等代數(shù)》（第三版）
P1：
自我介紹
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1997年畢業(yè)于復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系， 讀了2年碩士，2005年獲得東京大學(xué)理學(xué)博士學(xué)位，之后做了4年博士后
高等代數(shù)課程簡介
教材：《高等代數(shù)學(xué)》（第三版）
輔導(dǎo)書：《高等代數(shù)》（第三版）
如何學(xué)好高等代數(shù)：
- 把三門基礎(chǔ)課當(dāng)做整體學(xué)習(xí)
- 代數(shù)學(xué)的特點：抽象（具體 -> 抽象 -> 具體）
- 學(xué)好高等代數(shù)的方法：
- 深刻理解幾何意義（比如行列式、矩陣和線性方程組的幾何意義）
- 熟練掌握代數(shù)技巧
- 多做題，多思考
正課開始
高等代數(shù)是由若干個大問題組成的。為了求解這些問題，我們通過不斷引入新的概念和方法來進(jìn)行研究
問題1：線性方程組的求解
學(xué)到第三章的最后才能圓滿地解決這個問題
P83 7.7Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的進(jìn)一步討論和應(yīng)用-14（上）
教材P322的證明和視頻里不一樣：
P84 7.7Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的進(jìn)一步討論和應(yīng)用-14（下）
P85 7.7Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的進(jìn)一步討論和應(yīng)用-15（上）
關(guān)于Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用有3個Topic
Topic1 如何合理地選取特征向量以求出廣義特征向量：
P86 7.7Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的進(jìn)一步討論和應(yīng)用-15（下）
Topic2 含參矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的確定：
- 選取特殊子式求出行列式因子；
- 計算幾何重數(shù)以確定Jordan塊個數(shù)；
- 計算極小多項式以確定Jordan塊的階數(shù)。
Topic3 循環(huán)子空間的應(yīng)用：
P87 7.8矩陣函數(shù)-16（上）
定義矩陣函數(shù)的三種方法：
- 將函數(shù)展開成冪級數(shù)，再結(jié)合Jordan標(biāo)準(zhǔn)型理論來定義；
- 用多項式來定義；
- 用柯西積分來定義。
與陳紀(jì)修老師的《數(shù)學(xué)分析》（第二版）進(jìn)行夢幻聯(lián)動
P88 7.8矩陣函數(shù)-16（上）
最后的例子沒用教材上的方法：
作業(yè)：
P333:1,2,5,6,7
P94 8.4正定型與正定矩陣-19（下）
推論6（教材P356 例8.4.2）：
感覺教材例8.4.2中的(1)證明的不太清楚，還是視頻里講的清楚。
P105 9.5自伴隨算子-25（上）
1.引理1 標(biāo)準(zhǔn)正交基之間的過渡矩陣是正交陣或酉陣（P389 引理9.5.1）
2.定義2 正交相似和酉相似的定義（P390 定義9.5.1）
3.定義3 自伴隨算子的定義（P390 定義9.5.2）
4.引理4 （P390下 -391上的討論）
5.命題5（P391定理9.5.1）
6.推論6（P391推論9.5.1）
7.推論7
對稱算子的特征值均為實數(shù)，從而一定存在實特征向量，且屬于不同特征值的特征向量相互正交
8.定理8——主定理（P391 定理9.5.2）
本節(jié)主定理
內(nèi)積空間上自伴隨算子的表示矩陣可對角化
P106 9.5自伴隨算子-25（下）
1.定理8的證明（接上節(jié)內(nèi)容）
2.定理9——定理8的代數(shù)版本（P392 推論9.5.2）
定理9的證明內(nèi)容與教材P266 定理6.1.2的證明有些相似
3.推論10（P392 定理9.5.3）
4. 推論11 正交相似標(biāo)準(zhǔn)型在實二次型理論中的應(yīng)用（P393 定理9.5.4）
5.推論12 （P393 推論9.5.3）
6.例題講解
P107 9.6復(fù)正規(guī)算子-26（上）
1.定義1 正規(guī)算子（P397 定義9.6.1）
2.引理2（P397 注2）
用到了P192 定理4.3.2
3.引理3（引理9.6.1 + 命題9.6.1）
4.定理4 Schur定理（幾何版本）（P398 定理9.6.1）
5.推論5 Schur定理（矩陣版本）
6.定理6——主定理（P398 引理9.6.2）
P108 9.6復(fù)正規(guī)算子-26（下）
1.定理6——主定理 （P398 引理9.6.2）
2.推論7（引理9.6.3的代數(shù)版本）
3.推論8（P399 定理9.6.4）
4.定理9（P399 命題9.6.2）
5.定理10（定理9的歐氏空間版本）
與定理9的區(qū)別在于沒有“充分性”那一部分
補充內(nèi)容：
實對稱矩陣特征值的估計（對學(xué)習(xí)計算數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)有幫助）
6.極小極大定理（Courant-Fischer定理）
補充定理：
- Cauchy交錯定理
- Weyl攝動定理
P109 9.7實正規(guī)矩陣-27（上）
本節(jié)課主線：
1.引理1（P401 引理9.7.1）
2.引理2（P401 引理9.7.2）
3.定理3（P402 定理9.7.1）
有無重因式在基域擴張下不改變
P110 9.7實正規(guī)矩陣-27（下）
1.引理4（P403 引理9.7.3）
2.引理5（P403 引理9.7.4）
3.定理6（P404 定理9.7.2）
4.定理7——主定理（P405 定理9.7.3）
5.推論8（P405 定理9.7.4）
6.推論9（P406 定理9.7.5）
7.推論10（P406 推論9.7.1）
作業(yè)：
P407：1, 2, 3, 4
P111 9.8譜-28（上）
本節(jié)主要內(nèi)容：
- 酉空間上的復(fù)正規(guī)算子和歐氏空間上的自伴隨算子的譜分解
- 譜分解的應(yīng)用
- 一般的線性算子的極分解定理
1.定理1——譜分解定理（P408 定理9.8.1）
2.引理2（P409 引理9.8.1）
3.定理3（P409 推論9.8.1）
4.定義4（P410 定義9.8.1）
5.定理5（P411 定理9.8.4）
P112 9.8譜-28（下）
1.定理6（P411 定理9.8.3）
教材上的證明過程過于簡單了
2.推論7（P411 推論9.8.2）
3.定理8（P411 定理9.8.4）
4.推論9（P413 推論9.8.3）
作業(yè)：
P414：3, 4, 6(1)
P113 9.9奇異值分解及其應(yīng)用-29（上）
1.定義1（P414 定義9.9.1）
2.命題 + 定義2（P415 定義9.9.2 + 定理9.9.1）
3.定義3（P415 頁中部討論）
4.定理4——主定理（P415 定理9.9.2）
5.定理5（P416 推論9.9.1）
6.定義6（P417 頁中部討論）
Singular Value Decomposition (SVD)
7.奇異值分解的求法
P114 9.9奇異值分解及其應(yīng)用-29（下）
奇異值分解的應(yīng)用
1.應(yīng)用一：對于方陣而言，SVD和極分解等價
2.應(yīng)用二：PCA主成分分析
- 圖片去噪音
- 圖片存儲
3.應(yīng)用三：LSI潛在語言索引
4.例題講解（P419 例9.9.2）
5.應(yīng)用四：廣義逆
Morre-Penrose廣義逆
高代博客里的白皮書勘誤表中給出了簡短的唯一性證明
https://www.cnblogs.com/torsor/p/4928294.html
6.引理3、定理4（廣義逆在求解線性方程組中的應(yīng)用）
