一選擇題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

?

1.集合A={x|-2<x<4}.B={2,3,5},則A∩B=

A.{2}? B.{2,3}? C.{3,4}? D.{2,3,4}

解析：根據(jù)集合的定義，知交集就是在B中選擇滿足大于-2小于4的數(shù)

選擇B

?

2.已知z=2-i,則

A.6-2i? B.4-2i? C.6+2i? D.4+2i

解析：

，相乘可得2(2-i)(1+i)=-2(i-2)(i+1)=-2(-1-i-2)

選擇C

?

3.已知圓錐的底面半徑為√2，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為

A. 2? B. 2√2? C. 4? D. 4√2

解析：根據(jù)公式πl(wèi)=2πr，l=2r=2√2

選擇B

?

4.下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=7sin(x-π/6)單調(diào)遞增的區(qū)間是

A.(0, 0.5π)? B.(0.5π, π)? C.(π, 1.5π)? D.(1.5π, 2π)

解析： sin x的單調(diào)遞增區(qū)間是(-0.5π,0.5π)，(1.5π,2.5π)，那么f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

((1/6-0.5)π, (1/6+0.5)π)，((1/6+1.5)π, (1/6+2.5)π)

選擇A

?

5.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C: x2/9+ y 2/4=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為

A.13? B.12? C.9? D.6

解析： 根據(jù)題意，算得橢圓的c為√5，而|MF1|·|MF2|的值是

√[(x-√5)2+y2] √[(x+√5)2+y2]

= √[(x-√5)2+4-4x2/9] √[(x+√5)2+4-4x2/9]

=√(5x2/9-2√5x+9) √(5x2/9+2√5x+9)

=|√5x/3-3| |√5x/3+3|

根據(jù)x取值范圍在-3到3之間，討論最大值是9

選擇C

?

6.若tanθ=-2，則

A. -1.2? B. -0.4? C. 0.4? D. 1.2

解析：由于tanθ=-2，可知該角在第四象限或者第二象限，

?當(dāng)在第二象限時(shí)，

當(dāng)在第四象限時(shí)，

選擇C

?

7.若過點(diǎn)(a, b)可以作曲線y=e^x的兩條切線，則

A. e^b<a? B. e^a<b? C. 0<a<e^b? D. 0<b<e^a

解析：利用特殊值法過點(diǎn)(1,1)可以作y=e^x的兩條切線，排除A，B

過點(diǎn)(3,1)也可以作y=e^x的兩條切線，排除C

選擇D

?

8.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”， 丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則

A.甲與丙互相獨(dú)立? B.甲與丁互相獨(dú)立

C.乙與丙互相獨(dú)立? D.丙與丁互相獨(dú)立

解析：對于丙事件如果兩次取出的數(shù)字之和是8，那么可能是2+6,3+5,4+4，而如果事件甲出現(xiàn)那么一定不會(huì)出現(xiàn)丙，甲與丙是互斥事件，排除A

對于事件乙如果出現(xiàn)，那么可能會(huì)出現(xiàn)丙，如果選項(xiàng)C正確，那么同樣邏輯關(guān)系選項(xiàng)B也正確，所以

選擇D

?

?

二選擇題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

?

9.有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1,y2,…,yn，其中

yi=xi+c (i=1,2,…,n)，c為非零常數(shù)，則

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均值相同? B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同? D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

解析：平均值會(huì)相差c排除A，中位數(shù)也同樣相差c，排除B，由于波動(dòng)性不變，那么C正確，同理樣本極差是最大值與最小值的差，因此，D也正確

選擇CD

?

10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1(cos α, sin α)，P2(cos β, -sin β)，P3(cos(α+β), sin(α+β) )，A(1,0)，則

A.

B.

C.??

D.

解析：

A選項(xiàng)，

，正確

B選項(xiàng)，

，錯(cuò)誤

C選項(xiàng)，

，正確

D選項(xiàng)，

，錯(cuò)誤

選擇AC

?

11.已知點(diǎn)P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上，點(diǎn)A(4,0)，B(0,2)，則

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10??? B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)∠PBA最小時(shí)，|PB|=3√2?????? D.當(dāng)∠PBA最大時(shí)，|PB|=3√2

解析：圓的半徑為4，圓心坐標(biāo)為(5,5)如圖

可知直線AB的斜率是-0.5，設(shè)PH垂直AB于H，對于選項(xiàng)A，取極值時(shí)，AH的斜率為2，且過圓心，PH方程為y=2x-5，與AB聯(lián)立，可求交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)距離公式知最小值是11/√5- 4，最大值是11/√5+4，A正確，B錯(cuò)誤。

過點(diǎn)B做圓的切線，構(gòu)成∠PBA的最值，當(dāng)取最大值時(shí)，PB2=(5-2)2+25-16=18，CD都正確

選擇ACD

?

12.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，點(diǎn)P滿足

，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，則

A.當(dāng)λ=1時(shí)，△AB1P的周長為定值

B.當(dāng)μ=1時(shí)，三棱錐P-A1BC的體積為定值

C.當(dāng)λ=0.5時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1P⊥BP

D.當(dāng)μ=0.5時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1B⊥平面AB1P

解析：

A選項(xiàng)，由于是正三棱柱，當(dāng)λ=1時(shí)，點(diǎn)P在CC1上，此時(shí)AP與B1P的和不是定值，錯(cuò)誤

B選項(xiàng)，同理，此時(shí)點(diǎn)P在B1C1上，可知B1C1∥平面A1BC，所以體積是定值，正確

C選項(xiàng)，此時(shí)當(dāng)點(diǎn)P在兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，都有A1P⊥BP，因此該選項(xiàng)錯(cuò)誤

D.此時(shí)，AB1⊥A1B，只有P點(diǎn)在特定位置上才可以垂直，該選項(xiàng)正確

選擇BD

?

?

三選擇題，每小題5分，共20分

?

13.已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù)，則a=__________

解析：使f(x)= f(-x)，代入有x3(a·2x-2-x) =-x3(a·2-x-2x)=x3(2x - a·2-x)

填1

?

14.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C:y2=2px? (p>0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直， Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP，若|FQ|=6，則C的準(zhǔn)線方程為__________

解析：令x=0.5p，得y2=p2=PF2，再根據(jù)直角三角形關(guān)系，知p2=6·0.5p，得出p=3

填x=-1.5

?

15.函數(shù)f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值為__________

解析：根據(jù)定義域知x>0，當(dāng)x≤0.5時(shí)

f(x)=1-2x-2lnx，求導(dǎo)得

f’(x)=-2-2/x<0

當(dāng)x=0.5時(shí)取極小值2ln2

當(dāng)x>0.5時(shí)，同理將f求導(dǎo)得f’(x)=2-2/x

x=1時(shí)，取最小值，綜上

填1

?

16.某學(xué)校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對稱軸對折，規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折兩次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，他們的面積之和S1=180dm2，依次類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為__________；如果對折n次那么ΣSk=__________dm2

解析：對折兩次可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，那么對折三次可以得到5dm×6dm，2.5dm×12dm，10dm×3dm，20dm×1.5dm，4種規(guī)格的圖形，那么對折四次可以得到5dm×3dm，2.5dm×6dm，1.25dm×12dm，10dm×1.5dm，20dm×0.75dm

5種規(guī)格的圖形。

1次：2種規(guī)格，120+120=240dm2

2次：3種規(guī)格，60+60+60=180dm2

3次：4種規(guī)格，30+30+30+30=120dm2

4次：5種規(guī)格，15+15+15+15+15=60dm2

那么n次：n+1種規(guī)格，Sn=240(n+1)/2^n dm2

填5；240[3-(n+3)/2n]

?

?

四解答題，共70分

17.(10分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，

(1)記bn=a2n，寫出b1,b2,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式

(2)求{an}的前20項(xiàng)的和

?

解析：

(1)根據(jù)題意知a1=1, a2=2, a3=4, a4=5, a5=7,a6=8, a7=10,…

∴b1=a2=2，b2=a4=5

同理可得b3=a6=8，bn=3n-1

bn=3n-1的證明：

當(dāng)n=1時(shí)，成立

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即bk=3k-1

當(dāng)n=k+1時(shí)有，bk+1=a2k+2=a2k+1+1

∵a2k+1= a2k+2

∴bk+1= a2k+3=bk+3 =3k+2

bk+1=3(k+1)-1

即當(dāng)n=k+1時(shí)亦成立，證畢。

∴bn=3n-1

(2)

a1+a2+…+a20

= a2+a4+…+a20+(a1+a3+…+a19)

= a2+a4+…+a20+[1+(a2+2)+(a4+2)+…+(a18+2)]

= 1+2(a2+a4+…+a18)+a20+18

=2(b1+b2+…+b9)+b10+19

=2·(2+26)9/2+48

=300

?

?

18.(12分)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束。A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分.

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)。

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由。

?

解析：

(1)根據(jù)題意X的分布列如下：

X=100 | X=20 | X=0

?0.48 | 0.32? | 0.2

?

(2)根據(jù)(1)，先做A類題的記分期望是48+6.4+0=54.4

同理，如果先做B類題，那么X分布列如下：

X=100 | X=80 | X=0

?0.48 |?0.12 |?0.4

那么此時(shí)期望是48+9.6+0=57.6

∴應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題

?

?

19.(12分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC= a sinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC

?

解析：

(1)

bBD = ac，已知b2=ac

∴bBD = b2

BD = b

(2) 設(shè)cos∠ABC=x，由余弦定理得

設(shè)∠ABD=α，∠CBD=β，在△ABD中

設(shè)c/a=k有

或

由于余弦值小于1，所以cos∠ABC=7/12

?

20.(12分)如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD,O為BD的中點(diǎn)

(1)證明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積

解析：

(1)∵AB=AD,O為BD的中點(diǎn)

∴AO⊥BD

又∵平面ABD⊥平面BCD，AO在平面ABD內(nèi)，CD在平面BCD內(nèi)

∴AO⊥平面BCD，AO⊥CD

?

(2)過點(diǎn)E作EH⊥BD于H，過H作HF⊥BC于F，連接EF

AO⊥平面BCD，EH⊥BD，BD ?平面BCD

?ED⊥平面BCD

HF⊥BC，二面角E-BC-D的大小為45°，

DE=2EA，△OCD是邊長為1的等邊三角形，O為BD的中點(diǎn)

?HF=EH=4/3/(4/3+2/3)=2/3，AO=2/3·(3/2)=1，S△BCD=0.5√3

?三棱錐A-BCD的體積是√3/6

?

?

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1(-√17, 0)，F(xiàn)2(√17, 0)，點(diǎn)M滿足|MF1|-|MF2|=2，記M的軌跡為C

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)T在直線x=0.5上，過T的兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn)，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和

解析：

(1)根據(jù)條件，可知C的圖像是雙曲線

2a=2, a=1

∴C的方程為

(2)設(shè)直線TB斜率為m，直線TQ斜率為n，而

TB方程為 y=mx+l

TQ方程為 y=nx+t，過定點(diǎn)T，設(shè)

0.5n+t=0.5m+l=k

t=k- 0.5n

l=k- 0.5m

設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1, y1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x2, y2)

|TA|·|TB|=(x1- 0.5)(x2- 0.5)+ (y1- k)( y2- k)

=0.25-0.5(x1+ x2)+ x1x2+k2-(y1+ y2)k+ y1y2

y1+y2=2l+m(x1+ x2)

y1y2=l2+m(x1+ x2)l+m2x1x2

將TB方程代入雙曲線

同理

∴

(m2+1)(n2-16)= (n2+1)(m2-16)

n2-16m2=m2-16n2

17(m2-n2)=0

根據(jù)題意m≠n，那么m+n=0

∴斜率之和為0

?

?

22.(12分)已知函數(shù)函數(shù)f(x)=x(1-lnx)

(1)討論f(x)的單調(diào)性

(2)設(shè)a, b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna - alnb=a- b，證明：2<1/a+1/b<e

解析：(1)求f的導(dǎo)數(shù)，得

f’(x)= 1- lnx- 1 = -lnx

當(dāng)0<x<1時(shí)，f單調(diào)增

當(dāng) 1≤x，f單調(diào)減

?

(2)

可知1/a與1/b是方程-xlnx+x=f(x)=k的兩個(gè)根

欲證2<1/a+1/b<e

只要證明2<x1+x2<e即可

根據(jù)(1)所討論，

只有當(dāng)k>0時(shí)才存在a, b

如果存在a, b，由于a≠b，

根據(jù)(1)可知，f單調(diào)增區(qū)間長度小于單調(diào)減區(qū)間長度

那么x1, x2分別在x=1的兩側(cè)，直線x=0.5(x1+x2)在x=1的右側(cè)，即

0.5(x1+x2)>1

x1+x2>2

令f(x)=0有x2=e

同理可知，e-x1>x2即x1+x2<e

證畢。