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最近我們被客戶要求撰寫關于潛過程混合效應模型（lcmm）的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。

每個動態(tài)現(xiàn)象都可以用一個潛過程（Λ(t)）來表征，這個潛過程在連續(xù)的時間t中演化。有時，這個潛過程是通過幾個標志來衡量的，因此潛過程是它們的共同因素。

多元標記的潛過程混合模型

Proust-Lima 等人引入了潛在過程混合模型。(2006 - A Nonlinear Model with Latent Process for Cognitive Evolution Using Multivariate Longitudinal Data - Proust - 2006 - Biometrics - Wiley Online Library 和 2013 - Analysis of multivariate mixed longitudinal data: A flexible latent process approach - Proust‐Lima - 2013 - British Journal of Mathematical and Statistical Psychology - Wiley Online Library ).

使用線性混合模型根據(jù)時間對定義為潛過程的感興趣量進行建模：

其中：

• X(t) 和 Z(t) 是協(xié)變量的向量（Z(t) 包含在 X(t) 中；

• β是固定效應（即總體平均效應）；

• ui 是隨機效應（即個體效應）；它們根據(jù)具有協(xié)方差矩陣 B 的零均值多元正態(tài)分布進行分布；

• (wi(t)) 是一個高斯過程。

根據(jù)時間和協(xié)變量的 Λ(t) 結(jié)構(gòu)模型與單變量情況完全相同。

現(xiàn)在，我們不再定義一個觀察方程，而是定義 K 個不同標記的 K 個觀察方程，其中 Yijk是對主體 i、標記 k 和場合 j 的觀察。在單變量情況下，可以通過定義特定于標記的鏈接函數(shù) Hk 來處理幾種類型的標記。特定于標記的觀察方程還可能包括協(xié)變量上的一些對比 γk 以及標記和主體特定的隨機截距：

其中：

• αik~N(0,σ2k)

• Xcijk協(xié)變量向量

• γk 是對比（k?上的總和等于 0）

• tijk 對象 i、標記 k 和場合 j 的測量時間；

• ?ijk一個獨立的高斯誤差，均值為 0，方差為 σ2?kσ?k2；

• Hk將潛過程轉(zhuǎn)換為標記 k 的尺度和度量的鏈接函數(shù)（由 ηk 參數(shù)化）。

目前只考慮連續(xù)鏈接函數(shù)。這些與單變量情況（在 lcmm 中）相同。H?1 是一組遞增單調(diào)函數(shù)的參數(shù)族：

• 線性變換：這簡化為線性混合模型（2 個參數(shù)）

• Beta 累積分布族重新調(diào)整（4 個參數(shù)）

• 具有 m 個節(jié)點的二次 I 樣條的基（m+2 個參數(shù)）

可識別性

與任何潛在變量模型一樣，必須定義潛在變量的度量。這里第一個隨機效應 ui的方差設置為 1，平均截距（在 β 中）設置為 0。

認知過程示例

在這個例子中，當認知被定義為三種心理測試的共同因素時，我們研究了認知隨時間變化的軌跡：MMSE、BVRT和IST。這里的時間尺度是進入隊列后的年數(shù)，軌跡被假定為時間上的二次方（在個人和人群層面），模型被調(diào)整為進入時的年齡。為了進一步研究性別的影響，包括對共同因素的平均效應和對每個標志的差異效應（對比）（在這個例子中不與時間相互作用）。

模型考慮：

其中：

和?

,?

?是布朗過程，?

?對于 k = 1,2,3：?

,?

?和?

不同鏈接函數(shù)的估計

我們首先創(chuàng)建變量標準化，?避免數(shù)值問題：

? tie?<-?(ae?-?ag_it)/10ag75?<-?(ae_it?-?75)/10

線性鏈接函數(shù)

默認情況下，所有鏈接函數(shù)都設置為線性：

mlmm(?ubc'ID',?dt?=?pud,?radom?=?T,?cr?=B(tme))

非線性鏈接函數(shù)

根據(jù)數(shù)據(jù)的性質(zhì)，可能需要一些非線性鏈接函數(shù)。例如，這里的 MMSE 是高度偏斜的：

hist(MMSE)

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R語言如何用潛類別混合效應模型（LCMM）分析抑郁癥狀

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在單變量情況下，可以考慮 Beta CDF 或樣條。鏈接函數(shù)族可以對所有標記都相同（即使參數(shù)不同）：

?#?以Beta為例mlmm(?lnk?=?'beta')

或者可以不同地選擇鏈接函數(shù)。例如，

?#?樣條曲線中不同數(shù)量的結(jié)點mlmm(?lik?=?c('eta','3-uan-spes','3-antpln'))

修復一些轉(zhuǎn)換參數(shù)

請注意，樣條變換有時可能涉及非常接近 0 的參數(shù)，從而導致無法收斂（因為參數(shù)位于參數(shù)空間的邊界）。這經(jīng)常發(fā)生在 MMSE 中。例如，在下面的示例中，由于 MMSE 變換的第三個參數(shù)低于 10e-4，因此不容易達到收斂。

?#?樣條曲線mlmm(?axe=50,?ink?=?c('3asin'))

通過使用 fix 選項修復此參數(shù)，可以輕松解決此問題。為此，可以從估計向量（此處為第 21 個參數(shù)）中識別參數(shù)的位置：

best

并且可以根據(jù)這些估計值和新固定的參數(shù)重新擬合模型：

?#?樣條曲線mult(B=mp$best)

有了這個約束，模型就可以正確收斂。

模型比較

mult對象是多元潛在過程混合模型，它們假設潛過程的軌跡完全相同，但鏈接函數(shù)不同。在單變量情況下，可以使用信息標準來比較模型。該?summary?給我們這樣的信息。

?sumrtbe(ml)

涉及 Beta 變換和樣條變換的模型在 AIC 方面似乎比顯示偏離正態(tài)性的線性變換要好得多。

可以在模型之間繪制和比較轉(zhuǎn)換：

? par(mrow=c(1,1)) plot(llnes2,?col?=?c(ol[2],ol[3]ol4]),?ld?=1,ly=4)

除了線性變換，所有的估計變換都非常接近。

后擬合輸出

估計的鏈接函數(shù)：

鏈接函數(shù)的置信區(qū)間可以通過蒙特卡羅方法獲得：

?predict(ml_btapl)plt(Cl)

概括

該模型的摘要包括收斂性、擬合優(yōu)度標準和估計參數(shù)。

summary

從估計結(jié)果來看，基礎認知隨著時間的推移有一個二次方的軌跡，基線時年齡較大的受試者的認知水平系統(tǒng)地較低。根據(jù)性別沒有差異。然而，性別對心理測試有明顯的差異性影響（P=0.0003），男性的BVRT系統(tǒng)性較高，女性的IST水平較高。

方差解釋

對于多元數(shù)據(jù)，潛在過程是不同標記的共同潛在因素。因此，我們可以計算解釋潛在過程的每個標記的殘差方差。解釋的這種方差取決于協(xié)變量并在特定時間計算。

? VarE(tbsp,dtafme(tme=0))

例如，公因子解釋了 42% 的 MMSE 殘差變化，而它解釋了時間 0 時 26% 的 BVRT 殘差變化。

標記的預測軌跡圖

可以根據(jù)協(xié)變量分布計算標記的預測軌跡，然后繪制。

predct(btapl,nwdta=dtew,va.tim='ime') plt(prec_we,?ld=c(1)

擬合優(yōu)度：殘差圖

與任何混合模型一樣，我們希望特定主題的殘差（右下圖）是高斯分布的。

?plt(mlep,?0.8)

擬合優(yōu)度：預測與觀察的關系圖

可以根據(jù)時間繪制平均預測和觀察結(jié)果。請注意，預測和觀察是在潛過程的范圍內(nèi)（觀察被轉(zhuǎn)換為估計的鏈接函數(shù)）：

plot(beal,?whch="fit",?time="ti")

?

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本文選自《R語言估計多元標記的潛過程混合效應模型（lcmm）分析心理測試的認知過程》。

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