數(shù)列求和的三大核心方法

1.錯位相減法

使用條件：等差×等比

類似使用條件在求等比數(shù)列的求和公式中使用過

例題

1.將n替換為1,2,3...知道第n項（寫出Sn的式子）

2.乘以公比q（本題中是3）得到3Sn【注意寫第二個式子時最好錯位寫，方便計算】

3.兩式相減后進一步化簡即可

將數(shù)字全部換成字母，就可以得到萬能公式，如圖

高考真題

（2）中要注意如果使用萬能公式，要保證q的冪為n-1，同時證明不等式關(guān)系時也要注意將不等式右邊的式子移到左邊，進而證明其差小于0這種方法，而不是在原來的式子中死磕

對于下圖的題目

題目最終要求q的求和，如果我們通過平方來去掉根號，那么就脫離了最終我們需要求的答案，因此我們只能考慮從內(nèi)部去除根號，也就是運用平方。而在本題中，4n2可以開，4^n可以開，唯獨-1無法開方，但是題目本身就是要求不等關(guān)系，因此我們也可以創(chuàng)造不等關(guān)系，即

這樣就可以完美利用錯位相減法求和，進而求證不等關(guān)系

2.裂項相消法

使用條件：分式+分母兩項相乘且為同一數(shù)列的兩項

第一類：同一等差數(shù)列的兩項相乘

在最后的相消中，Sn一定是正負配對的，即

在2中，裂項之后再帶回去通分會發(fā)現(xiàn)多了2，因此我們要乘?，即

②非常規(guī)數(shù)列

如5

我們可以分開討論，首先將等差數(shù)列裂項，然后將等比數(shù)列添在等差數(shù)列后面，同時為了保證分母的數(shù)列是同一數(shù)列的，就會得到以下答案

而對于6則可以通過分母有理化來保證出現(xiàn)兩數(shù)相減，進而使用相消

例題

三.分組求和

使用條件：如果題目中的一個數(shù)列對于兩個不同數(shù)列之和/差/積等，就使用分組求和后相加

例題1

例題2