A-1-4曲率半徑

2023-08-29 15:34 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

1.4.1 直角坐標(biāo)表示

對于任意的曲線運(yùn)動，采用自然坐標(biāo)系時，其加速度也可以分解為法向加速度和切向加速度。

當(dāng)運(yùn)動時間無限小時，曲線運(yùn)動可以看成圓周運(yùn)動。對應(yīng)的圓叫做密切圓，也稱曲率圓，其圓心稱為曲率中心，其半徑稱為曲率半徑，用 $%5Crho$ 表示。下面我們來求解 $%5Crho$ 。

數(shù)學(xué)方法

求A點(diǎn)曲率半徑，需要先確定曲率中心，方法與求瞬心類似，分別作A和相鄰B點(diǎn)切線的垂線，交點(diǎn)即為曲率中心。有

$%5Crho%3D%5Cdfrac%7Bds%7D%7Bd%5Ctheta%7D$

在直角坐標(biāo)系中，曲線表達(dá)式為：

$y%3Df(x)$

則 $AC%3Ddx%EF%BC%8CBC%3Ddy$ ，

$y'%3D%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Ctan%5Ctheta$

故

$ds%3D%5Csqrt%7B(dx)%5E2%2B(dy)%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B1%2By'%5E2%7Ddx$

另外，由于

$y''%3D%5Cdfrac%7Bd(%5Ctan%5Ctheta)%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7Bd(%5Ctan%5Ctheta)%7D%7Bd%5Ctheta%7D%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdx%7D$

有

$%5Crho%3D%5Cleft%7C%5Cdfrac%7Bds%7D%7Bd%5Ctheta%7D%5Cright%7C%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7B1%2By'%5E2%7Ddx%7D%7B%5Cdfrac%7B%7Cy''%7C%7D%7B(1%2By'%5E2)%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B(1%2By'%5E2)%5E%7B3%2F2%7D%7D%7B%7Cy''%7C%7D$

故

此即曲線的曲率半徑公式。比如拋物線 $y%3DAx%5E2$ 上任一點(diǎn) $x_0$ 處的曲率半徑：

$%5Crho%3D%5Cdfrac%7B%5B1%2B(2Ax_0)%5E2%5D%5E%7B3%2F2%7D%7D%7B2A%7D$

物理方法

當(dāng)我們得知物體在某點(diǎn)的速度及曲率半徑之后，我們可以求得物體在該處的法向加速度：

$a_n%3D%5Cdfrac%7Bv%5E2%7D%7B%5Crho%7D$

相反，如果我們知道物體在某點(diǎn)的速度和法向加速度，也可以求得軌跡在該點(diǎn)的曲率半徑。這里的運(yùn)動我們可以自己構(gòu)造。

求拋物線 $y%3DAx%5E2$ 上任一點(diǎn)曲率半徑。

我們構(gòu)造一個軌跡為拋物線的運(yùn)動，比如初速度為0的平拋運(yùn)動。向下為y正方向，其軌跡方程：

$y%3D%5Cdfrac%7Bg%7D%7B2v_0%5E2%7Dx%5E2$

對比 $y%3DAx%5E2$ 得：

$g%3D2Av_0%5E2$

在任一點(diǎn)P，其速度

$v_x%3Dv_0%2Cv_y%3D%5Csqrt%7B2gy%7D%3D2Av_0x$

故

$v%3D%5Csqrt%7B1%2B4A%5E2x%5E2%7Dv_0$

又有法向加速度

$a_n%3Dg%5Ccos%5Ctheta%3Dg%5Cdfrac%7Bv_0%7D%7Bv%7D$

故曲率半徑

$%5Crho%3D%5Cdfrac%7Bv%5E2%7D%7Ba_n%7D%3D%5Cdfrac%7Bv%5E3%7D%7Bgv_0%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2A%7D(%5Cdfrac%7Bv%7D%7Bv_0%7D)%5E3%3D%5Cdfrac%7B%5B1%2B(2Ax)%5E2%5D%5E%7B3%2F2%7D%7D%7B2A%7D$

與直接代公式所得結(jié)果相同。

了解曲率半徑的定義之后，相關(guān)的問題我們就可以求解了：

一質(zhì)點(diǎn)在半徑為R的圓柱表面等螺距螺旋線上作等速率運(yùn)動，已知此螺旋線的曲率半徑為 $%5Crho$ ，質(zhì)點(diǎn)在垂直于軸平面內(nèi)的投影的運(yùn)動周期為T，求質(zhì)點(diǎn)作此螺旋線運(yùn)動中沿軸方向的分速度為多大?

如圖，A點(diǎn)沿等距螺旋線運(yùn)動，垂直軸平面上的投影為B，軸上的投影為C，A點(diǎn)的運(yùn)動可以分解為沿軸的勻速直線運(yùn)動和垂直軸的勻速圓周運(yùn)動。

定義"//"為軸向，“ $%5Cperp$ ”為垂直軸向。有

$a_A%3Da_%7BA_%7B%2F%2F%7D%7D%2Ba_%7BA%5Cperp%7D$

其中 $a_%7BA%2F%2F%7D%3D0$ ，又因?yàn)?/p>

$a_%7BA%5Cperp%7D%3D(%5Cdfrac%7B2%5Cpi%7D%7BT%7D)%5E2R%2Ca%3D%5Cdfrac%7Bv%5E2%7D%7B%5Crho%7D$

故

$v%5E2%3D(%5Cdfrac%7B2%5Cpi%7D%7BT%7D)%5E2R%5Crho$

因?yàn)?/p>

$v%5E2%3Dv_%7B%2F%2F%7D%5E2%2Bv_%7B%5Cperp%7D%5E2%EF%BC%8Cv_%7B%5Cperp%7D%3D%5Cdfrac%7B2%5Cpi%20R%7D%7BT%7D$

故

$v_%7B%2F%2F%7D%3D%5Cdfrac%7B2%5Cpi%20R%7D%7BT%7D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B%5Crho%7D%7BR%7D-1%7D$

此時螺旋線的螺距h也可以由下式求得：

$%5Cdfrac%7Bh%7D%7B2%5Cpi%20R%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_%7B%2F%2F%7D%7D%7Bv_%7B%5Cperp%7D%7D$

1.4.2 極坐標(biāo)系

我們在平面內(nèi)取一定點(diǎn)O，稱為極點(diǎn)，從該點(diǎn)引出一條射線Ox，稱為極軸。這樣平面上任一點(diǎn)P的位置都可以由OP的長度r以及Ox到OP旋轉(zhuǎn)的角度 $%5Ctheta$ 表示。其中r稱為P點(diǎn)的極徑， $%5Ctheta$ 稱為P點(diǎn)的極角。

極坐標(biāo)系的單位矢量為 $%5Chat%20r$ 和 $%5Chat%20%5Ctheta$ ， $%5Chat%20r$ 沿徑向向外， $%5Chat%5Ctheta$ 沿橫向逆時針。這兩個單位矢量隨物體的運(yùn)動而轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動角速度為 $%5Cdot%5Ctheta$ .

故極坐標(biāo)系中任一點(diǎn)的位置可以表示為

$%5Cvec%20r%3Dr%5Chat%20r$

對應(yīng)速度

$%5Cvec%20v%3D%5Cdfrac%7Bd(r%5Chat%20r)%7D%7Bdt%7D%3D%5Cdfrac%7Bdr%7D%7Bdt%7D%5Chat%20r%2Br%5Cdfrac%7Bd%5Chat%20r%7D%7Bdt%7D$

即

$%5Cvec%20v%3D%5Cdot%20r%5Chat%20r%2Br%5Cdot%5Ctheta%5Chat%5Ctheta$

(見矢量運(yùn)算)其中第一項(xiàng)為徑向速度，第二項(xiàng)為橫向速度。

其加速度

$%5Cvec%20a%3D%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20v%7D%7Bdt%7D%3D(%5Cddot%20r%5Chat%20r%2B%5Cdot%20r%5Cdot%5Ctheta%5Chat%5Ctheta)%2B(%5Cdot%20r%5Cdot%5Ctheta%5Chat%5Ctheta%2Br%5Cddot%5Ctheta%5Chat%5Ctheta-r%5Cdot%5Ctheta%5E2%5Chat%20r)$

即

$%5Cvec%20a%3D(%5Cddot%20r-r%5Cdot%5Ctheta%5E2)%5Chat%20r%2B(r%5Cddot%5Ctheta%2B2%5Cdot%20r%5Cdot%5Ctheta)%5Chat%5Ctheta$

當(dāng)物體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，我們用極坐標(biāo)分析更方便一點(diǎn)。

一只狐貍沿半徑為R的圓形島邊緣以速率v勻速率奔跑，一只獵犬以相同的速率v從圓形島中心O出發(fā)追擊狐貍。設(shè)獵犬在追擊過程中狐貍、獵犬和圓心O三者始終在同一直線上。求獵犬應(yīng)沿什么軌道追擊？在何處可以追上狐貍？

我們建立極坐標(biāo)系，三者始終共線，說明獵狗和狐貍運(yùn)動的角速度相同，均為

$%5Comega%3D%5Cdfrac%7Bv%7D%7BR%7D$

故獵狗的橫向速度

$v_%5Ctheta%3D%5Comega%20r%0A%0A$

徑向速度

$v_r%3D%5Csqrt%7Bv%5E2-%5Comega%5E2r%5E2%7D%3Dv%5Csqrt%7B1-(%5Cdfrac%7Br%7D%7BR%7D)%5E2%7D$

故

$%5Cdfrac%7Bdr%7D%7Bdt%7D%3Dv%5Csqrt%7B1-(%5Cdfrac%7Br%7D%7BR%7D)%5E2%7D$

分離變量，代入t=0,r=0解得

$r%3DR%5Csin%5Cdfrac%7Bvt%7D%7BR%7D$

即

$r%3DR%5Csin%5Ctheta$

這是一個直徑為R的圓，在圓形島的1/4圓周處追上狐貍。

1.4.3 極坐標(biāo)表示

數(shù)學(xué)方法

由定義得知極坐標(biāo) $(r%2C%5Ctheta)$ 和直角坐標(biāo) $(x%2Cy)$ 之間的關(guān)系：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20x%3Dr%5Ccos%5Ctheta%5C%5C%20y%3Dr%5Csin%5Ctheta%20%5Cend%7Bcases%7D$

故

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20y_x'%3D%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7Bdy%2Fd%5Ctheta%7D%7Bdx%2Fd%5Ctheta%7D%3D%5Cdfrac%7By_%5Ctheta'%7D%7Bx_%5Ctheta'%7D%5C%5C%20y_x''%3D%5Cdfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D(%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D)%3D%5Cdfrac%7Bd%7D%7Bd%5Ctheta%7D(%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D)%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7By_%5Ctheta''x_%5Ctheta'-y_%5Ctheta'x_%5Ctheta''%7D%7Bx'%5E3_%5Ctheta%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$

代入直角坐標(biāo)系中的曲率半徑公式得：

$%5Crho%3D%5Cdfrac%7B%5B1%2B(%5Cdfrac%7By_%5Ctheta'%7D%7Bx_%5Ctheta'%7D)%5E2%5D%5E%7B3%2F2%7D%7D%7B%7C%5Cdfrac%7By_%5Ctheta''x_%5Ctheta'-y_%5Ctheta'x_%5Ctheta''%7D%7Bx'%5E3_%5Ctheta%7D%7C%7D%3D%5Cdfrac%7B(x_%5Ctheta%20'%5E2%2By_%5Ctheta%20'%5E2)%5E%7B3%2F2%7D%7D%7B%7Cy_%5Ctheta''x_%5Ctheta'-y_%5Ctheta'x_%5Ctheta''%7C%7D$

上面是曲率半徑的參數(shù)方程形式，代入

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20x_%5Ctheta'%3Dr_%5Ctheta'%5Ccos%5Ctheta-r%5Csin%5Ctheta%5C%5C%20x_%5Ctheta''%3Dr_%5Ctheta''%5Ccos%5Ctheta-2r_%5Ctheta'%5Csin%5Ctheta-r%5Ccos%5Ctheta%5C%5C%20y_%5Ctheta'%3Dr_%5Ctheta'%5Csin%5Ctheta%2Br%5Ccos%5Ctheta%5C%5C%20y_%5Ctheta''%3Dr_%5Ctheta''%5Csin%5Ctheta%2B2r_%5Ctheta'%5Ccos%5Ctheta-r%5Csin%5Ctheta%20%5Cend%7Bcases%7D$

得

$%5Crho%3D%5Cdfrac%7B(r_%5Ctheta%5E2%2Br_%5Ctheta'%5E2)%5E%7B3%2F2%7D%7D%7B%7Cr_%5Ctheta%5E2%2B2r_%5Ctheta'%5E2-r_%5Ctheta%20r_%5Ctheta''%7C%7D$

當(dāng)然，如果用\rho=\dfrac{ds}{d\theta}的定義來推導(dǎo)，也能得到相同的結(jié)果。

物理方法

極坐標(biāo)中物體的速度，加速度分別為：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cvec%20v%3D%5Cdot%20r%5Chat%20r%2Br%5Cdot%5Ctheta%5Chat%5Ctheta%5C%5C%20%5Cvec%20a%3D(%5Cddot%20r-r%5Cdot%5Ctheta%5E2)%5Chat%20r%2B(r%5Cddot%5Ctheta%2B2%5Cdot%20r%5Cdot%5Ctheta)%5Chat%5Ctheta%20%5Cend%7Bcases%7D$

其中v方向?yàn)榍邢?，代?/p>

$%5Cdot%20r%3D%5Cdfrac%7Bdr%7D%7Bd%5Ctheta%7D%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%3Dr'%5Cdot%5Ctheta$

有

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20v_r%3Dr'%5Cdot%5Ctheta%5C%5C%20v_%5Ctheta%3Dr%5Cdot%5Ctheta%20%5Cend%7Bcases%7D$

如圖，切向與橫向的夾角 $%5Calpha$ 滿足

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Csin%5Calpha%3D%5Cdfrac%7Bv_r%7D%7Bv%7D%3D%5Cdfrac%7Br'%7D%7B%5Csqrt%7Br%5E2%2Br'%5E2%7D%7D%5C%5C%20%5Ccos%5Calpha%3D%5Cdfrac%7Bv_%5Ctheta%7D%7Bv%7D%3D%5Cdfrac%7Br%7D%7B%5Csqrt%7Br%5E2%2Br'%5E2%7D%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$

代入法向加速度

$a_n%3Da_r%5Ccos%5Calpha-a_%5Ctheta%5Csin%5Calpha$

以及

$%5Cddot%20r%3D%5Cdfrac%7Bd%5Cdot%20r%7D%7Bdt%7D%3D%5Cdfrac%7Bd(r'%5Cdot%5Ctheta)%7D%7Bdt%7D%3Dr''%5Cdot%5Ctheta%5E2%2Br'%5Cddot%5Ctheta$

得

$a_n%3D%5Cdfrac%7B%5Cddot%20rr-r%5Cdot%20%5Ctheta%5E2r-r%5Cddot%5Ctheta%20r'-2%5Cdot%20r%5Cdot%5Ctheta%20r'%7D%7B%5Csqrt%7Br'%5E2%2Br%5E2%7D%7D%3D%5Cdfrac%7Brr''-r%5E2-2r'%5E2%7D%7B%5Csqrt%7Br'%5E2%2Br%5E2%7D%7D%5Cdot%5Ctheta%5E2$

故

$%5Crho%3D%5Cdfrac%7Bv%5E2%7D%7B%7Ca_n%7C%7D%3D%5Cdfrac%7B(r%5E2%2Br'%5E2)%5E%7B3%2F2%7D%7D%7B%7Crr''-r%5E2-2r'%5E2%7C%7D$

阿基米德螺線的極坐標(biāo)系方程為r=aθ，試求它的曲率半徑分布ρ～r.

可以把剛剛物理的方法重新代入推導(dǎo)一遍。如果構(gòu)造一個勻速轉(zhuǎn)動 $%5Ctheta%3D%5Comega%20t$ ，會使得過程更加簡單。

或直接代入公式得：

$%5Crho%3D%5Cdfrac%7B(a%5E2%5Ctheta%5E2%2Ba%5E2)%5E%7B3%2F2%7D%7D%7Ba%5E2%5Ctheta%5E2%2B2a%5E2%7D%3D%5Cdfrac%7B(r%5E2%2Ba%5E2)%5E%7B3%2F2%7D%7D%7Br%5E2%2B2a%5E2%7D$

1.4.4 練習(xí)

已知圓柱的斜截面為橢圓，求橢圓四個頂點(diǎn)處的曲率半徑。橢圓兩對稱軸長度分別為2a,2b(a>b).

答案： $%5Cdfrac%7Ba%5E2%7D%7Bb%7D%2C%5Cdfrac%7Bb%5E2%7D%7Ba%7D$ .

一半徑為R的輪子在水平面上以角速度\omega做純滾動，研究輪子邊緣一點(diǎn)的軌跡，求軌跡曲率半徑的最大值。

答案：4R.

標(biāo)簽：高中物理競賽物理競賽

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A-1-4曲率半徑

1.4.1 直角坐標(biāo)表示

數(shù)學(xué)方法

物理方法

1.4.2 極坐標(biāo)系

1.4.3 極坐標(biāo)表示

數(shù)學(xué)方法

物理方法

1.4.4 練習(xí)