第二章 函數(shù)的極限

一、知識(shí)點(diǎn)

1. 研究函數(shù)極限和研究數(shù)列極限的區(qū)別：
   ?

   一、數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 P1 - 00:03

   ?
2. 函數(shù)極限的定義：
3. x趨于一點(diǎn)：
   ?

   一、數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 P1 - 02:05

   ?
   （嚴(yán)格定義見3）
4. 注意區(qū)分“趨向于”和“等于”
5. x趨于一點(diǎn)時(shí)，f(x)極限與f(x)在該點(diǎn)有無定義無關(guān)，與在該點(diǎn)的函數(shù)值無關(guān)（也就是f(x)的極限與f(x)在x=a這一點(diǎn)的狀態(tài)無關(guān)）
6. x趨于無窮：
   ?

   一、數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 P1 - 44:23

   ?
   （嚴(yán)格定義見6）
7. ε-δ定義（趨于一點(diǎn)）：
   ?

   一、數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 P1 - 09:21

   ?
8. 去心鄰域：
   ?

   一、數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 P1 - 11:27

   ?
9. 左右極限定義：
   ?

   一、數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 P1 - 27:28

   ?
10. 極限存在定理：函數(shù)極限存在當(dāng)且僅當(dāng)它的左極限和右極限存在且相等。
    ?

    一、數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 P1 - 30:15

    ?
11. ε-X定義（趨于無窮）：
    ?

    一、數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 P1 - 47:22

    ?
12. 函數(shù)極限的性質(zhì)：
    ?

    二、函數(shù)極限的性質(zhì) P2 - 00:30

    ?
13. 唯一性
14. 局部有界性（對(duì)比數(shù)列極限性質(zhì)中的有界性）
    ?

    二、函數(shù)極限的性質(zhì) P2 - 10:19

    ?
15. 為什么不同？：
16. 對(duì)于數(shù)列來說，它在非負(fù)整數(shù)域討論問題，滿足n<=N的項(xiàng)必定只有有限個(gè)，有限個(gè)數(shù)中必定有最大值，必有界。我們只要控制住n>N之后的項(xiàng)有界，則這個(gè)數(shù)列整體就是有界的。
17. 對(duì)于函數(shù)來說，它在實(shí)數(shù)域討論問題（通常），在任意一段區(qū)間內(nèi)都有無限個(gè)項(xiàng)，故只能討論局部有界性。
18. 局部有界性定義：
    ?

    二、函數(shù)極限的性質(zhì) P2 - 16:42

    ?
    （以x趨于某一點(diǎn)a為例）
19. x的其他趨向過程，也可以仿照此定義
20. 定義中引入δ，目的是表示a的一個(gè)去心鄰域，說明有界是在這個(gè)去心鄰域內(nèi)的，也就是局部有界。
21. 當(dāng)x->a時(shí)，這個(gè)定義是可以單側(cè)使用的。（單側(cè)有界）
    ?

    二、函數(shù)極限的性質(zhì) P2 - 17:57

    ?
22. 保號(hào)性：
    ?

    二、函數(shù)極限的性質(zhì) P2 - 32:18

    ?
    ，證明同數(shù)列極限的保號(hào)性證明
23. 推論：
    ?

    二、函數(shù)極限的性質(zhì) P2 - 34:24

    ?
24. 函數(shù)極限和有界性的關(guān)系：
    ?

    二、函數(shù)極限的性質(zhì) P2 - 15:49

    ?

二、證明

1. 證明常數(shù)趨于一點(diǎn)的極限等于它本身：
   ?

   一、數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 P1 - 20:27

   ?
2. f(x)變復(fù)雜，繼續(xù)通過ε-δ定義證明極限：
   ?

   一、數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 P1 - 22:49

   ?
3. 證明極限存在定理：
   ?

   一、數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 P1 - 31:34

   ?
4. 使用ε-X定義證明函數(shù)極限：
   ?

   一、數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 P1 - 51:07

   ?
5. 函數(shù)極限性質(zhì)證明：
6. 唯一性：
   ?

   二、函數(shù)極限的性質(zhì) P2 - 00:55

   ?
7. 使用唯一性的逆否命題證明函數(shù)極限不存在（也就是極限存在定理）
8. 局部有界性：
   ?

   二、函數(shù)極限的性質(zhì) P2 - 16:42

   ?
   ，證明參照數(shù)列收斂則有界的證明
9. 保號(hào)性：
   ?

   二、函數(shù)極限的性質(zhì) P2 - 32:18

   ?
10. 使用局部有界性（單側(cè)）證明函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有界：
    ?

    二、函數(shù)極限的性質(zhì) P2 - 22:12

    ?
    ?

    二、函數(shù)極限的性質(zhì) P2 - 28:08

    ?
11. 閉區(qū)間上，開區(qū)間內(nèi)
12. 什么是初等函數(shù)？基本初等函數(shù) 有限次運(yùn)算 由一個(gè)式子表示
13. 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界
14. 如何利用閉區(qū)間上的有界證明開區(qū)間內(nèi)的有界？（利用單側(cè)有界）
    ?

    二、函數(shù)極限的性質(zhì) P2 - 25:43

    ?
15. 先利用左端點(diǎn)右極限存在，右端點(diǎn)左極限存在分別說明在左端點(diǎn)的右側(cè)去心鄰域內(nèi)和右端點(diǎn)左側(cè)的去心鄰域內(nèi)有界。
16. 中間剩下的部分構(gòu)成一個(gè)閉區(qū)間，因?yàn)橛懻摰暮瘮?shù)是連續(xù)函數(shù)，所以在此閉區(qū)間上函數(shù)有界。
17. 綜上，函數(shù)在該開區(qū)間內(nèi)有界。

三、計(jì)算

1. 求形如f(x)+g(x)函數(shù)的極限：
   ?

   一、數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 P1 - 36:47

   ?
2. 右極限左極限分情況討論（整體）
3. 只有當(dāng)f(x)的極限存在，且g(x)的極限存在時(shí)，兩函數(shù)和的極限才等于極限的和。
4. 注意對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，別記混了，本題用不上它
5. 求含變限積分的極限，洛必達(dá)法則失效的情況：
   ?

   二、函數(shù)極限的性質(zhì) P2 - 06:46

   ?
6. 使用洛必達(dá)推出極限不存在（∞是特殊的存在），不能推出原極限不存在
7. 失效怎么辦？
8. 將變限積分當(dāng)作正常積分使用分部積分法，一分為二分別討論
9. 海涅定理（不知道是不是）->本題可以令x=nπ，n趨于∞；最后得到答案2/π（不知道對(duì)不對(duì)）