好久不見！我又回來啦！

RPE 1.3.0 中更新了切線方程功能，本篇教程我將著重對這一功能進行介紹。

【新版RPE使用注意事項】

在 RPE 1.3.0 中沒有墊底譜面（海底譚），而在實際使用曲線軌跡功能時其會出現(xiàn)即使參數(shù)方程正確也不顯示預覽軌跡的情況。如果你需要解決沒有預覽的問題，請移步教程結尾的補丁網(wǎng)盤鏈接。補丁為官方發(fā)布，非本人制作，網(wǎng)盤鏈接為轉(zhuǎn)載。如有侵權，請聯(lián)系我刪除。

本期教程非常感謝RPE公測群的群友們提供的寶貴意見與幫助。

【角度方程】

角度方程這一新功能被放在了生成曲線軌跡的下方。如果你想了解曲線軌跡的使用方法，可以去看看我之前的教程，此處不再贅述。

角度方程采用的是角度制，其表達式與前面的參數(shù)方程類似，均為一個與參數(shù) $t$ 相關的方程，如最上方的示意圖。很遺憾的是，角度方程并不能通過輸入原函數(shù)方程的方式實現(xiàn)自動求角度，因此我們?nèi)匀恍枰謩佑嬎丬壽E參數(shù)方程的切線方程。好在，這一方法現(xiàn)在變得不是那么麻煩了！

【通法】

軌跡方程的求導可以理解為隱函數(shù)求導，通過聯(lián)立 X、Y 兩個軌跡方程消去變量 $t$ 得到一個方程，其確定了一個以 X 為自變量，Y 為因變量的隱函數(shù)。對這個隱函數(shù) f(x) 求導得到切線方程 f'(x) ，求出 arctan(f'(x))?并將結果轉(zhuǎn)換為角度制，即為我們需要的角度方程。

簡單來說就是通過軌跡方程求出切線方程，再通過轉(zhuǎn)換得到弧度制的角度方程，最后得出角度制的角度方程并填入。

這一做法本質(zhì)與我在上一篇教程提到的做法一致，只不過在有了直接填入角度方程的位置后，我們無需手算函數(shù)值。

但是我在公測群內(nèi)詢問熱心群友，加上不死心地翻了一些相關筆記后，發(fā)現(xiàn)了一些較為簡便的解法。

直接上前置結論：

對于一組軌跡（參數(shù)）方程?，若??有連續(xù)的反函數(shù)?，則有其導數(shù)??成立。

什么意思呢？

就是說，我們需要求的切線方程在滿足前提條件的情況下可以表示為??。

（由于該結論涉及到高等數(shù)學內(nèi)容，本教程不對此結論作出證明，有興趣的讀者可以自行搜索隱函數(shù)與參數(shù)方程的求導相關知識。）

例如，對于上一小節(jié)的圖片中，切線方程的形式為：

?

將切線方程轉(zhuǎn)換為角度方程，則角度方程（弧度制）的形式為：

將其轉(zhuǎn)換為角度制，可知正確的角度方程為??。通過修改其初相位對應角度值，即可得到和上圖一致的正確角度方程??。

再例如這張圖里的橢圓，其切線方程的形式為：

?

將切線方程轉(zhuǎn)換為角度方程，則角度方程（弧度制）的形式為：

將其轉(zhuǎn)換為角度制，可知正確的角度方程為??。通過修改其初相位對應角度值，即可得到和上圖一致的正確角度方程??。

由于??本身的一些特殊性質(zhì)（趨近方向），我們得到的曲線軌跡中本應突變的地方?jīng)]有突變，我們需要手動對連接處的角度值進行修改，如下圖。

讓我們來總結一下整個流程。
一、利用前置結論和軌跡的參數(shù)方程，求出軌跡的切線方程。

二、利用??函數(shù)，對切線方程進行處理，得到弧度制下的角度方程。

三、利用弧度制與角度制的轉(zhuǎn)換，得到角度制下的角度方程，并對其進行修飾，觀察其是否符合實際情況（如是否刪去負號，加上或減去90/180/270度的初相位。很抱歉，我的能力有限，沒有辦法解釋這一步修飾的原理，好在這一步修飾的工作量不大，最多只需嘗試八次即可得到正確結果）。

四、將結果式填入“角度方程”一欄中，生成軌跡，并對生成的事件進行微調(diào)，以使其符合實際情況。

補丁鏈接：

https://pan.baidu.com/s/1UekCiFp9AaKyjOqpFfyjZA?pwd=virb
或
https://drive.google.com/drive/folders/1vPsnXGUxPcnaKBcWObOAziBvxfFYBi1z?usp=share_link

這篇教程花費了我不少心思，再次感謝RPE公測群的各位朋友對我的支持，我會繼續(xù)努力！

本教程中的圖片均為我使用 Re:PhiEdit 制作。