定義2.1 矩陣的加法

定義2.2 矩陣的數(shù)乘

定義2.3 矩陣的乘法

1. 結(jié)合律

2. 分配律

3. 矩陣乘單位矩陣為自身

4. 數(shù)乘不影響矩陣乘法

存在A!=0,B!=0使得AB=0

可以類比多式定義矩陣多項(xiàng)式，可因式分解。

定義2.4 將矩陣A的同序數(shù)的行與列對換得到的新矩陣稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為A^T或A'

1. (A^T)^T=A.

2. (A+B)^T=A^T+B^T

3. (AB)^T=B^T ?A^T

4. (sA)^T=sA^T

定義2.5 若干個同維數(shù)的向量所組成的集合稱為向量組

定義2.6 向量b稱為向量組a1,a2,...,as的一個線性組合（即b能由向量組a1,a2,...,as線性表示），如果有數(shù)k1,k2,...,ks使

b=k1?a1+k2?a2+...+ks?as

成立

定義2.7 如果向量組a1,a2,...,as中的每一個向量ai（i=1,2,...,s）都可以由向量組b1,b2,...,bt表示，則稱A能由B線性表示，如果兩個向量組能互相線性表示，則稱兩個向量組等價

a. 反身性

b. 對稱性

c. 傳遞性

定義2.8 如果向量組a1,a2,...,as(s>=2)中有一個向量能由其余的向量線性表示，那么向量組a1,a2,...,as稱為線性相關(guān)的

定義2.9 向量組a1,a2,...,as稱為線性相關(guān)，如果存在不全為零的數(shù)k1,k2,...,ks使

k1?a1+...+ks?as=0

成立

定義2.10 向量組a1,a2,...,as(s>=1)不線性相關(guān)，就稱為線性無關(guān)

定理2.1 設(shè)a1,a2,...,ar與b1,b2,...,bs是兩個向量組，如果

a. 向量組a1,a2,...,ar可以由b1,b2,...,bs線性表示

b. r>s

那么向量組a1,a2,...,ar必線性相關(guān)

推論2.1 如果向量組a1,a2,...,ar可以由b1,b2,...,bs線性表示，且a1,a2,...,ar線性無關(guān)，那么r<=s

推論2.2 任意n+1個n維向量組成的向量組必線性相關(guān)

推論2.3 兩個線性無關(guān)的等價向量組，必含有相同個數(shù)的向量

定義2.11 一個向量組的一部分組稱為一個極大線性無關(guān)組，如果這個部分組本身是線性無關(guān)的，并且從這個向量組中任意添加一個向量（如果還有的話），所得的部分向量組都線性相關(guān)

定理2.2 一個向量組的極大線性無關(guān)組都含有相同個數(shù)的向量

定義2.12 向量組的極大線性無關(guān)組所包含的向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩

定義2.13 矩陣的行秩就是矩陣的行秩，列秩同

引理2.1 如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行秩r<n，那么它有非零解

定理2.3 矩陣的行秩和列秩相等

? 若A為m×n階矩陣，則

0<=r(A)<=min{m,n}

? R(A^T)=R(A)

? 若A~B，則R(A)=R(B)

? 當(dāng)b為非零向量時，有

R(A)<=R(A,b)<=R(A)+1

定理2.4 向量b能由向量組A線性表示的充要條件是矩陣A的秩等于(A,b)的秩

結(jié)論 向量組B能由向量組A線性表示，即有K使得B=AK，或方程AX=B有解

定理2.5 向量組B能由A線性表示的充要條件是R（A）=R（A，B）

定理2.6 向量組B能由A線性表示，則R（B）<=R（A）

定義2.14 逆矩陣

定理2.8 n階矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)R(A)=n

定理2.9 逆矩陣唯一

定義2.15 初等矩陣（左行右列）

定理2.11 等價命題

1. A可逆

2. R（A）=n

3. Ax=0只有零解

4. A列向量組線性無關(guān)

5. Ax=b有唯一解

6. A可化為E