【初中數(shù)學(xué)-幾何】共邊比例定理

2022-04-04 18:17 作者:Rotas-math_lover 0人讀過 | 我要投稿

參考《幾何新方法和新體系》

一.共邊比例定理的介紹

我們先來了解一下什么是共邊比例定理，如下圖

這四個圖都有一個共同的結(jié)論： $%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20PQA%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20PQB%7D%7D%3D%5Cfrac%7BMA%7D%7BMB%7D$

怎么看待這個結(jié)論呢，下面我們來分析一下

首先，對于等式左邊，是兩個三角形的面積之比，再看圖，這兩個三角形共用了一條邊 $PQ$ ，我們要把這條邊當(dāng)成一條定邊， $A%E3%80%81B$ 則要看成兩個動點

那么 $M$ 就是 $A%E3%80%81B$ 在運動過程中所連線段所在直線與直線 $PQ$ 的交點，故有以上四種情況

再看等式左邊，是點 $M$ 向 $A%E3%80%81B$ 兩點引出的線段之比

讀者請務(wù)必熟悉這個結(jié)論和上面4幅圖，這對很多幾何題的證明有很大的幫助

要想熟悉一個定理，莫過于證它一遍，下面就對這個定理進行證明（讀者可以先自己思考，這樣印象更深，畢竟這個定理的證明也不難）

二.共邊比例定理的證明

這里以第一種情況為例

要證明 $%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20PQA%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20PQB%7D%7D%3D%5Cfrac%7BAC%7D%7BBD%7D$ 成立，我們應(yīng)從結(jié)論入手，先看等式左邊，我們需要表示出兩個三角形的面積，這就得用到三角形的面積公式，最常用的莫過于兩種（ $S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dah$ 和 $S%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dab%C2%B7sinC$ ），這里顯然選擇第一種，因為這里結(jié)論中沒有涉及到四邊形的邊的關(guān)系

因此，我們可以做出 $%5Ctriangle%20PQA%E3%80%81%5Ctriangle%20PQB$ 中以 $PQ$ 為底的高，如下圖

則 $%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20PQA%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20PQB%7D%7D%3D%5Cfrac%7BAC%7D%7BBD%7D$ ，有由于作的是垂直，所以 $AC%2F%2FBD$ ，則有 $%5Ctriangle%20ACM%5Csim%5Ctriangle%20BDM$ 因此 $%5Cfrac%7BAC%7D%7BBD%7D%3D%5Cfrac%7BMA%7D%7BMB%7D$ ，從而得到結(jié)論成立

其他情況也類似證明

三.例題

$1.%E5%A6%82%E5%9B%BE%EF%BC%8C%E5%9C%A8%E5%87%B8%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%EF%BC%8CM%E3%80%81N%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAAB%E3%80%81CD%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%EF%BC%8C%5C%5C%E7%9B%B4%E7%BA%BFMN%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%8E%E7%9B%B4%E7%BA%BFBC%E3%80%81AD%E4%BA%A4%E4%BA%8EP%E3%80%81Q%EF%BC%8C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%5Cfrac%7BAQ%7D%7BDQ%7D%3D%5Cfrac%7BBP%7D%7BCP%7D$

分析：這道題屬于直線相交型問題，題中沒給出任何角度條件，僅僅給出了整個圖的作圖過程，最后讓我們求證一個比值，這種問題往往就需要用到共邊比例定理來解決

看到求證，不難想到連接 $MD%E3%80%81AN%E3%80%81MC%E3%80%81BN$ ，這樣就出現(xiàn)了第4個模型，故而有 $%5Cfrac%7BQA%7D%7BQD%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20MNA%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20MND%7D%7D%EF%BC%8C%5Cfrac%7BPB%7D%7BPC%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20BCM%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20BCN%7D%7D%5C%5C$

而又易得 $S_%7B%5Ctriangle%20MND%7D%3DS_%7B%5Ctriangle%20MNC%7D%EF%BC%8CS_%7B%5Ctriangle%20MAN%7D%3DS_%7B%5Ctriangle%20MBN%7D$ ，所以 $%5Cfrac%7BAQ%7D%7BDQ%7D%3D%5Cfrac%7BBP%7D%7BCP%7D$

這道題相對較簡單，關(guān)鍵是要看出模型，另外，模型的選用要結(jié)合已知條件（例如這道題中的中點）

$2.%E5%A6%82%E5%9B%BE%EF%BC%8C%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD%E7%9A%84%E8%BE%B9%E4%B8%A4%E4%B8%A4%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8EP%E3%80%81Q%EF%BC%8C%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD%E7%9A%84%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BF%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9Y%EF%BC%8C%5C%5CPY%E4%BA%A4AQ%E3%80%81BQ%E4%BA%8E%E7%82%B9X%E3%80%81Z%EF%BC%8C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%5Cfrac%7BZB%7D%7BZC%7D%3D%5Cfrac%7BQB%7D%7BQC%7D$

分析：同樣這道題也屬于直線相交型問題，所以想到用共邊比例定理

先看求證的左邊，這是個線段比，我們需要找到兩個合適的三角形來將這個比例轉(zhuǎn)化為某兩個三角形的面積關(guān)系，有圖中不難看出有這樣幾組三角形等于這個比例： $%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYB%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYC%7D%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20PXB%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20PXC%7D%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20YZB%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20YZC%7D%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20XZB%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20XZC%7D%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20PZB%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20PZC%7D%7D%3D%5Cfrac%7BZB%7D%7BZC%7D$ （這里前兩個比由共邊比例定理可得，后三個比由同高可得）

那么我們應(yīng)該選哪一個呢，其實都可以，讀者不妨試一試（大多情況相同，但是有些情況需要添加輔助線）

這里以第一個比為例，即 $%5Cfrac%7BZB%7D%7BZC%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYB%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYC%7D%7D$ ，下面，我們要對右邊進行變形，使得其又變成線段之間的比，要做到這個，我們就需要先將右邊變成 $%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYB%7D%7D%7B%3F%7D%C2%B7%5Cfrac%7B%3F%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYC%7D%7D%0A$ 的形式，我們要在？處補上一個三角形的面積，最終使其轉(zhuǎn)化為兩條線段的比的乘積

那么回到圖中去找這樣的三角形

可以看到，圖中 $%5Ctriangle%20PAY%E3%80%81%5Ctriangle%20PDY%E3%80%81%5Ctriangle%20BYC$ 都可以用，這里用 $%5Ctriangle%20PAY$ 進行說明，則

$%5Cfrac%7BZB%7D%7BZC%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYB%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYC%7D%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYB%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20PAY%7D%7D%C2%B7%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20PAY%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYC%7D%7D%3D%5Cfrac%7BPB%7D%7BPA%7D%C2%B7%5Cfrac%7BYA%7D%7BYC%7D%5C%5C$

接下來，我們要將這個關(guān)于線段的比的乘積再次轉(zhuǎn)化為關(guān)于面積比的乘積，但這時就要注意不能又繞回去了，所以我們應(yīng)做到如下變換

$%5Cfrac%7BPB%7D%7BPA%7D%C2%B7%5Cfrac%7BYA%7D%7BYC%7D%3D%5Cfrac%7B%3F%7D%7BS_%7B1%7D%7D%C2%B7%5Cfrac%7BS_%7B2%7D%7D%7B%3F%7D%5C%5C$

這次，我們就要把問號的位置換一下，（之前的那個長這樣 $%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYB%7D%7D%7B%3F%7D%C2%B7%5Cfrac%7B%3F%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYC%7D%7D%0A$ ），這樣就不會繞回去，接下來就是選好三角形就行了 $%5Cfrac%7BPB%7D%7BPA%7D%C2%B7%5Cfrac%7BYA%7D%7BYC%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20CDB%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20CDA%7D%7D%C2%B7%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20BDA%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20BDC%7D%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20BDA%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20CDA%7D%7D%3D%5Cfrac%7BQB%7D%7BQC%7D%5C%5C$

即 $%5Cfrac%7BZB%7D%7BZC%7D%3D%5Cfrac%7BQB%7D%7BQC%7D$ ，得證

總結(jié)這道題，就是將求證的左邊的線段比轉(zhuǎn)化為面積的比，然后又轉(zhuǎn)化為線段的比，接著又轉(zhuǎn)化為面積的比，最后得到線段的比即為要求的結(jié)論。而要注意的便是？處所填的面積或線段，不能繞回去了

最后寫個過程

$%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%5Cfrac%7BZB%7D%7BZQ%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYB%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYC%7D%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYB%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYA%7D%7D%C2%B7%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYA%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20PYC%7D%7D%3D%5Cfrac%7BPB%7D%7BPA%7D%C2%B7%5Cfrac%7BYA%7D%7BYC%7D%5C%5C%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20CDB%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20CDA%7D%7D%C2%B7%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20BDA%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20BDC%7D%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20BDA%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20BDC%7D%7D%3D%5Cfrac%7BQA%7D%7BQC%7D$

可以看到，用這種方法證明還是比較簡單的，就是要熟悉模型罷了

四.練習(xí)

$1.%EF%BC%88%E9%9A%BE%E5%BA%A6%EF%BC%9A%E4%B8%AD%EF%BC%89%E4%BB%8D%E4%B8%BA%E4%B8%8A%E5%9B%BE%EF%BC%8C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%5C%5C%EF%BC%881%EF%BC%89%5Cfrac%7BXP%7D%7BXY%7D%3D%5Cfrac%7BZP%7D%7BZY%7D%EF%BC%8C%EF%BC%882%EF%BC%89%5Cfrac%7BXA%7D%7BXD%7D%3D%5Cfrac%7BQA%7D%7BQD%7D$

$2.%EF%BC%88%E9%9A%BE%E5%BA%A6%EF%BC%9A%E7%AE%80%E5%8D%95%EF%BC%89%E5%A6%82%E5%9B%BE%EF%BC%8C%E5%9C%A8%5Ctriangle%20ABC%E4%B8%ADAE%E3%80%81BF%E3%80%81CD%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E4%B8%80%E7%82%B9O%5C%5C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%5Cfrac%7BAD%7D%7BDB%7D%C2%B7%5Cfrac%7BBE%7D%7BEC%7D%C2%B7%5Cfrac%7BCF%7D%7BFA%7D%3D1$

$3.%EF%BC%88%E9%9A%BE%E5%BA%A6%EF%BC%9A%E4%B8%AD%E7%AD%89%EF%BC%89%E5%87%B8%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2%E7%9A%84%E4%B8%A4%E6%9D%A1%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BF%E4%B8%BAAC%E3%80%81BD%EF%BC%8C%E5%9C%A8AB%E3%80%81CD%E4%B8%A4%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E5%88%86%E5%88%AB%E5%8F%96M%E3%80%81N%E4%BD%BF%E5%BE%97%5C%5CBM%3D2MA%EF%BC%8CCN%3D2ND%EF%BC%8C%E8%BF%9EMN%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%8EAC%E3%80%81BD%E4%BA%A4%E4%BA%8EP%E3%80%81Q%5C%5C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ABQ%C2%B7CP%3D4DQ%C2%B7AP$

（更多的練習(xí)后續(xù)會發(fā)動態(tài)更新）

標(biāo)簽：數(shù)學(xué)幾何數(shù)學(xué)競賽共邊比例定理

最美情侣中文字幕电影,在线麻豆精品传媒,在线网站高清黄,久久黄色视频

【初中數(shù)學(xué)-幾何】共邊比例定理

一.共邊比例定理的介紹

二.共邊比例定理的證明

三.例題

四.練習(xí)