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帕普斯對合定理

2023-07-27 09:41 作者:bibo888 0人讀過 | 我要投稿

帕普斯對合定理

在《帕普斯定理與交比不變性》這篇中，我們提到公元3世紀(jì)，帕普斯在他的《數(shù)學(xué)匯編(Collection)》中的第7冊的引理3，引理10，引理11，引理12，引理13，引理15，引理17。

今天這里提到的是引理4的逆命題。

引理4逆命題

如果 $\triangle PQR$ 的邊與一條截線相交于點(diǎn) $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，并且從任意點(diǎn) $\text{[math]}$ 到其頂點(diǎn)的三條直線分別在橫截線上相交于點(diǎn) $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，那么有以下命題成立：

$AF \cdot CB:AB \cdot CF = FA \cdot DE: FE\cdot DA$

可以寫成交比的形式：

$\text{[math]}$

證明

這個證明很簡單，我們只要注意到點(diǎn)列 $\text{[math]}$ 與點(diǎn)列 $\text{[math]}$ 關(guān)于點(diǎn) $\text{[math]}$ 透視。因此有如下交比相等。

$\text{[math]}$

而點(diǎn)列 $\text{[math]}$ 與點(diǎn)列 $\text{[math]}$ 關(guān)于點(diǎn) $\text{[math]}$ 透視。因此有如下交比相等

$\text{[math]}$

事實(shí)上，我們很容易得到

$\begin{aligned} (A,Q;M,P)&=\dfrac{AM}{QM}:\dfrac{AP}{QP}\\ &=\dfrac{MA}{PA}:\dfrac{PA}{PQ}\\ &=(M,P;A,Q) \end{aligned}$

因此

$\text{[math]}$

證畢。

注意：若對交比性質(zhì)比較熟練，我們可以立刻得到

$\text{[math]}$

完全四點(diǎn)形(complete quadrangle)

由平面上四個點(diǎn)(其中無三點(diǎn)共線)及其兩兩連結(jié)的六條直線所組成的圖形稱為完全四點(diǎn)形。

這四個點(diǎn)稱為它的頂點(diǎn)，六條直線稱為它的邊，沒有公共頂點(diǎn)的兩邊稱為它的對邊，對邊的交點(diǎn)稱為它的對邊點(diǎn)，三對邊點(diǎn)所構(gòu)成的三點(diǎn)形稱為它的對邊三點(diǎn)形(或中心三點(diǎn)形)。

有了完全四點(diǎn)形的概念，我們可以將引理4的逆命題等價地表述如下：

一截線 $\ell$ 與完全四點(diǎn)形(complete quadrangle) $\text{[math]}$ 的三對對邊的三對交點(diǎn)形成的點(diǎn)偶分別為 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 。則

$\text{[math]}$

我們注意到，如果在截線 $\ell$ 上存在一個雙射 $\text{[math]}$ ,使得

$\text{[math]}$

那么，

$\text{[math]}$

我們雙射 $\text{[math]}$ 稱之為截線 $\ell$ 上的某一對合。

對合(involution)

令 $\mathcal{P}$ 是一條線或二次曲線上的所有的的點(diǎn)集。變換 $f:\mathcal{P}\to \mathcal{P}$ 被稱為對合，當(dāng)且僅當(dāng)它滿足以下兩個條件：

(1) $\text{[math]}$ 保持交比不變性，換一句話來說，對于任何點(diǎn) $A,B,C,D \in \mathcal{P}$ ,

$\text{[math]}$

(2)對任意點(diǎn) $A\in \mathcal{P}$ , $\text{[math]}$

我們稱點(diǎn)偶 $\text{[math]}$ 為互逆對(reciprocal pair)。

以上是射影幾何中，對合的數(shù)學(xué)定義。

更一般的來說，現(xiàn)在數(shù)學(xué)中的對合，表示為一種雙射(變換,函數(shù)),使得逆映射等于自身映射。

$f^{-1}(a)=f(a)$

即

$\text{[math]}$

我們稱這樣的雙射(變換,函數(shù))為對合映射。

這樣，數(shù)學(xué)中有很多與對合有關(guān)的術(shù)語，如數(shù)理邏輯中的雙重否定率，又稱為對合率(involution law)。

$\neg \neg P = P$

對于歐幾里得幾何來說，反射變換(reflection transformation)也是一個經(jīng)典的對合變換。

在射影幾何中，對合(involution)這個術(shù)語第一個使用的應(yīng)該是法國建筑師，數(shù)學(xué)家笛沙格。

笛沙格在1639年發(fā)表了《圓錐曲線論稿》，這個著作開創(chuàng)了射影幾何學(xué)的研究。

據(jù)說，當(dāng)年該書初版只印了50份，不久就全部散失了，直到1845年，法國數(shù)學(xué)家沙勒(Chasles)偶然發(fā)現(xiàn)笛沙格學(xué)生拉伊爾的一份手抄本。從此《圓錐曲線論稿》被列為近世純粹幾何的經(jīng)典著作。

笛沙格為什么使用"Involution"來表示對合。這里一個可能的解釋是，三對互逆對，六個點(diǎn)“糾纏”在一起。

involution有糾纏；錯亂；錯綜復(fù)雜的意思，因此笛沙格可能出于這種考慮使用了"Involution de six Points"來表示六個點(diǎn)的對合關(guān)系。當(dāng)然這是一種猜測。

有意思的是，今天involution經(jīng)常被翻譯為“內(nèi)卷”。involution therorem難道可以翻譯為“內(nèi)卷定理”？對合率(involution law)難道可以翻譯為“內(nèi)卷法”？

最后我們在給出帕普斯對合定理。