正態(tài)分布（又稱為高斯分布）是最常見的連續(xù)分布之一。其概率密度函數(shù)由下式給出

???? f(x) = 1/( sqrt(2*\pi) *\sigma) * exp( -(x-\mu)^2 / (2*\sigma^2) ),? ?

常數(shù)μ (我在上面的公式里寫成了\mu) 和σ (我在上面的公式里寫成了 \sigma)
是隨機變量的平均值和標準偏差。我們使用 X～N（μ，σ）表示X是一個正態(tài)分布的隨機變量，具有平均值(期望)μ和標準差σ。高斯密度函數(shù)的形狀像一個鐘(bell).

正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)的原函數(shù)沒有解析表達式，因此
? P(X∈[a，b]）= \int_{a}^ f(x) dx，
計算概率是相當麻煩的, 除了特殊的a,b值之外，一般不能解析求解。
過去，統(tǒng)計學家會將 X~N(μ,σ) 的正態(tài)分布轉(zhuǎn)換到Z~N(0,1)分布。具體來說，就是
引入了隨機變量
?? ??? ?Z=(X?μ)/σ
可以證明, 如果X~N(μ,σ)，則Z~N(0,1)。從X到Z的轉(zhuǎn)換過程稱為標準化。
我們可以將Z視為X高于μ的標準偏差的數(shù)量。在科學計算軟件還沒有普及的年代，
統(tǒng)計學家使用Z表， 該表對一系列不同的a值給出了
??? P(Z≤a) = \int_{-\infty}^{a} 1/\sqrt{2\pi} exp( -z^2 / 2 ) dz
的值

使用北太天元，我們可以繞過標準化的步驟，在北太天元安裝目錄下的examples目錄下
有一個m函數(shù), 名字叫 normcdf.m ， 可以計算X~N(\mu,\sigma) 的累積分布函數(shù)
例如:
>> mu = 2 ;
>> sigma = 3 ;
>> normcdf(5,2,3)
ans =
? 1x1 double
??? 0.8413

這就計算出了 X~N(2,3) 的概率P(X<= 5).

我們用北太天元的normcdf 函數(shù)計算不同正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，展示如下

在北太天元中可以使用randn生成服從N(0,1)分布的隨機數(shù)。
要從N(μ，σ)分布生成隨機數(shù)，可以使用北太天元命令μ+randn*σ.

用到的北太天元的腳本如下，由于使用的normpdf 和 normcdf 都是在北太天元安裝目錄下

的examples目錄的m函數(shù)，因此請把下面的腳本copy到北太天元安裝目錄下的examples/

然后在這個目錄下運行下面的腳本
%北太天元 學習正態(tài)分布? gaussEx.m
close all
clear all

x = -5:.1:5;
pdf_標準正態(tài)分布 = normpdf(x) % 默認 mu = 0, sigma=1
pdf_正態(tài)分布1 = normpdf(x, 0, 3) % mu =0, sigma = 3
pdf_正態(tài)分布2 = normpdf(x, 0, 1/3) % mu =0, sigma = 1/3
pdf_正態(tài)分布3 = normpdf(x, -1, 1/3) % mu =0, sigma = 3

plot( x, pdf_標準正態(tài)分布, 'r-*', 'LineWidth',5);
hold on
?plot(x, pdf_正態(tài)分布1, 'b-*', 'LineWidth',5);
? plot(x, pdf_正態(tài)分布2, 'g-.', 'LineWidth',9);
? plot(x, pdf_正態(tài)分布3, 'k-*', 'LineWidth', 6);
? title("北太天元繪制多個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)")
? xlabel("x");
? ylabel("概率密度函數(shù)f(x)")
? legend('標準正態(tài)分布N(0,1)', 'N(0,3)' ,'N(0,1/3)', 'N(-1,3)' )
? hold off
?
? figure(2)
? cdf_標準正態(tài)分布 = normcdf(x) % 默認 mu = 0, sigma = 1;
? cdf_正態(tài)分布1 = normcdf(x, 0, 3); % mu = 0, simga = 3;
? cdf_正態(tài)分布2 = normcdf(x, 0, 1/3); % mu = 0, simga = 1/3;
? cdf_正態(tài)分布3 = normcdf(x, -1, 1/3); % mu = -1, simga = 1/3;
? plot( x, cdf_標準正態(tài)分布, 'r-*', 'LineWidth',5);
hold on
?plot(x, cdf_正態(tài)分布1, 'b-*', 'LineWidth',5);
? plot(x, cdf_正態(tài)分布2, 'g-.', 'LineWidth',9);
? plot(x, cdf_正態(tài)分布3, 'k-*', 'LineWidth', 6);
??? title("北太天元繪制多個正態(tài)分布的累積分布函數(shù)")
??? xlabel("x");
? ylabel("累積分布函數(shù)F(x)")
?? legend('標準正態(tài)分布N(0,1)', 'N(0,3)' ,'N(0,1/3)', 'N(-1,3)' )
hold off

figure(3) ?
N = 1000；
x = randn(N,1);

sh = scatter(1:N, x,'filled')
set(sh, 'SizeData', 500)

hold on

sh2 = scatter(1:N, 3*randn(N,1)+5,'filled')
set(sh2, 'SizeData', 500)
?legend('N(0,1)', 'N(5,3)','FontSize',20)
title("北太天元產(chǎn)生的正態(tài)分布隨機數(shù)")

hold off