學(xué)不明白的數(shù)學(xué)分析（五十九）

2023-02-24 19:20 作者:不能吃的大魚(yú) 0人讀過(guò) | 我要投稿

好耶！含參變量反常積分的基本內(nèi)容都已經(jīng)介紹完啦！

從上一篇的內(nèi)容來(lái)看，其實(shí)正如我所說(shuō)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與含參變量積分（尤其是反常積分）之間有著十分緊密的聯(lián)系，所以理解起來(lái)并不困難。

而與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一樣，在介紹完含參變量反常積分的基本內(nèi)容之后，我們就要著重來(lái)對(duì)其應(yīng)用做一些簡(jiǎn)單的介紹。在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)部分，我們最后是介紹了比較重要的一類(lèi)級(jí)數(shù)——冪級(jí)數(shù)。而在含參變量反常積分部分，我們則要著重介紹兩類(lèi)特殊積分——Euler第一型積分（Β函數(shù)）和Euler第二型積分（Γ函數(shù)）。

Chapter? Eighteen? 含參變量積分

18.4??Γ函數(shù)和Β函數(shù)

這兩類(lèi)函數(shù)的提出，并非突發(fā)奇想，而是在一定的數(shù)學(xué)問(wèn)題之上引申而得來(lái)的。（比如非正整數(shù)的階乘問(wèn)題）具體的歷史細(xì)節(jié)目前我沒(méi)有找到太多比較詳盡的內(nèi)容，不過(guò)對(duì)此有興趣的小伙伴倒是可以去閱讀一些數(shù)學(xué)史相關(guān)的著作，了解其中的數(shù)學(xué)故事，便于理解這一部分內(nèi)容。

我們先來(lái)討論Euler第二型積分，它的表達(dá)式如下：

$%5CGamma%20(s)%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt$

這是一個(gè)含參變量反常積分，那么我們首先就要問(wèn)，它是否收斂，或者是一致收斂的？

考慮到被積函數(shù)的形式，我們將其分割成：

$%5Cint_0%5E%7B1%7D%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt%EF%BC%8C%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt$

這兩個(gè)積分來(lái)討論。

首先，如果s的范圍是一不含0的正有限閉區(qū)間 $%5Ba%2Cb%5D$ ，則這兩個(gè)積分一個(gè)是含參變量常義積分，一個(gè)是含參變量無(wú)窮積分，都是我們直接討論過(guò)的內(nèi)容，因此比較好判斷。

我們能夠想到：

$0%5Cle%20t%5E%7Bb-1%7D%5Cle%20t%5E%7Bs-1%7D%20%5Cle%20t%5E%7Ba-1%7D%5Cquad%20(0%5Cle%20t%5Cle%201)$

$t%5E%7Bs-1%7D%5Cle%20t%5E%7Bb-1%7D%20%5Cquad(t%5Cge%201)$

因此，我們能夠知道：

$%5Cint_0%5E%7B1%7D%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt%20%5Cle%20%5Cint_0%5E%7B1%7D%20t%5E%7Ba-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt$

$%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt%5Cle%20%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bb-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt$

于是，由Weierstrass控制判別法， $%5CGamma%20(s)$ 在任意不含0的正有限閉區(qū)間上一致收斂，即Euler第一型積分在上 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 內(nèi)閉一致收斂，從而我們能夠知道這一積分在 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上連續(xù)。

當(dāng)s=0時(shí)，有：

$%5Cint_0%5E%7B1%7D%20t%5E%7B-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt%3D%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20x%5E%7B-1%7De%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%7D%20%5Ctext%20dx$

由于：

$%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bx%5E%7B-1%7De%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%20%7D%7Bx%5E%7B-1%7D%7D%20%20%3D1%EF%BC%9E0$

則由比較判別法，此時(shí) $%5CGamma%20(s)$ 發(fā)散；進(jìn)而仍由比較判別法，當(dāng)s＜0時(shí)，由于：

$%5Cint_0%5E%7B1%7D%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt%20%5Cge%20%5Cint_0%5E%7B1%7D%20t%5E%7B-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt%20$

于是發(fā)散。

至此，我們知道， $%5CGamma%20(s)$ 在 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上內(nèi)閉一致收斂，從而連續(xù)；在 $(-%E2%88%9E%2C0%5D$ 上發(fā)散。

有了以上的結(jié)果，我們就能對(duì) $%5CGamma%20(s)$ 的分析性質(zhì)做以研究。比如說(shuō)：

Euler第二型積分可微，且：

$%5CGamma%20%5E%7B(n)%7D(s)%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7Dt%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D(%5Cln%20t)%5En%20%5Ctext%20dt$

證明可以采用數(shù)學(xué)歸納法的思想，只需要對(duì)第一階導(dǎo)數(shù)證明即可。

因?yàn)楸环e函數(shù)與其偏導(dǎo)數(shù)顯然都是連續(xù)函數(shù)，因此根據(jù)上一篇專(zhuān)欄中介紹的內(nèi)容，只需要證明：

$F(s)%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%5Cln%20t%5Ctext%20dt$

一致收斂即可。思路與上面一致。

按道理，我們接下來(lái)應(yīng)該研究一下這一積分的可積性質(zhì)，不過(guò)由于其實(shí)實(shí)際上使用的比較少，所以我們不予討論。

我們接下來(lái)嘗試，對(duì)于Euler第二型積分而言，還能得到什么樣的結(jié)論。

通過(guò)計(jì)算，我們得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt%26%3D-%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bs-1%7D%5Ctext%20d(e%5E%7B-t%7D)%5C%5C%0A%26%3D-%5Cbigg(t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%5Cbigg%7C_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D-%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20e%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20d(t%5E%7Bs-1%7D)%5Cbigg)%5C%5C%0A%26%3D(s-1)%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bs-2%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

即： $%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

$%5CGamma%20(s%2B1)%3Ds%5CGamma%20(s)$

（這里第二步實(shí)際上需證明等號(hào)右側(cè)前一項(xiàng)一致收斂到0，但是因?yàn)檫^(guò)于簡(jiǎn)單，所以這里略去了。）

如果令s=n，為正整數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)，這與階乘的公式高度一致。如果我們能證明：

$%5CGamma%20(1)%3D1$

那么，此時(shí)這就是階乘的表達(dá)式，從而我們可以說(shuō)， $%5CGamma%20(s)$ 實(shí)際上是對(duì)于任意正實(shí)數(shù)的階乘公式。

直接計(jì)算，不難得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5CGamma%20(1)%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20e%5E%7B-t%7D%5Ctext%20dt%3D(1-e%5E%7B-t%7D)%5Cbigg%7C_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%3D1%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

這證明我們的想法是正確的。

而關(guān)于這一積分，Bohr和Mollerup在1992年首先發(fā)現(xiàn)，配合最后一個(gè)條件：

$%5Cln%20%5CGamma%20(s)$ 在 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上是一個(gè)凸函數(shù)。

（命題1）

可以將函數(shù)在 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上唯一確定成Euler第二型積分。也就是說(shuō)：

設(shè)函數(shù) $f$ 在 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上滿(mǎn)足：

（1）

$%5Cforall%20x%EF%BC%9E0%EF%BC%8Cf(x)%EF%BC%9E0%EF%BC%8Cf(1)%3D1$

（2）

$%5Cforall%20x%EF%BC%9E0%EF%BC%8Cf(x%2B1)%3Dxf(x)$

（3）

$%5Cln%20f(x)$ 在 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上是一個(gè)凸函數(shù)。

則有：

$f(x)%5Cequiv%20%5CGamma%20(x)%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bx-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt$

我們只要能夠證明，滿(mǎn)足著三個(gè)條件的函數(shù)是唯一的，因?yàn)槲覀円褜⒄业搅薊uler第二型積分作為滿(mǎn)足這三個(gè)條件的函數(shù)，因此一定就有結(jié)論成立。

考慮條件（2），只要 $f(x)$ 在 $(0%2C1)$ 上唯一確定，則函數(shù)就在 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上唯一確定。而由條件（3），我們能夠得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cfrac%7B%5Cln%20f(n)-%5Cln%20f(n-1)%7D%7Bn-(n-1)%7D%20%26%5Cle%20%5Cfrac%7B%5Cln%20f(n%2Bx)-%5Cln%20f(n)%7D%7B(n%2Bx)-n%7D%20%5C%5C%0A%26%5Cle%20%5Cfrac%7B%5Cln%20f(n%2B1)-%5Cln%20f(n)%7D%7B(n%2B1)-n%7D%5C%5C%20%0A%26%5Cle%20%5Cfrac%7B%5Cln%20f(n%2B1)-%5Cln%20f(n%2Bx)%7D%7B(n%2B1)-(n%2Bx)%7D%20%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

由條件（1）（2），顯然：

$f(n)%3D(n-1)!$

則：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%26x%5Cln%20(n-1)%5Cle%20%5Cln%20f(n%2Bx)-%5Cln%20(n-1)!%5Cle%20x%5Cln%20n%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26x%5Cln%20(n-1)%2B%5Cln%20(n-1)!%5Cle%20%5Cln%20f(n%2Bx)%5Cle%20x%5Cln%20n%2B%5Cln%20(n-1)!%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26(n-1)%5Ex(n-1)!%5Cle%20f(n%2Bx)%5Cle%20n%5Ex(n-1)!%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26(n-1)%5Ex(n-1)!%5Cle%20f(x)%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%20(i-1%2Bx)%5Cle%20n%5Ex(n-1)!%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26%5Cfrac%7B(n-1)%5Ex(n-1)!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%20(i-1%2Bx)%7D%20%5Cle%20f(x)%5Cle%20%5Cfrac%7Bn%5Ex(n-1)!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%20(i-1%2Bx)%7D%5C%5C%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

又因?yàn)椋?/p>

$%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bn%5Ex(n-1)!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%20(i-1%2Bx)%7D%7D%7B%5Cfrac%7B(n-1)%5Ex(n-1)!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%20(i-1%2Bx)%7D%7D%20%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cbigg(%5Cfrac%7Bn%7D%7Bn-1%7D%5Cbigg)%5Ex%20%3D1%20$

（這是關(guān)于x一致收斂的，證明也因較為簡(jiǎn)單而略去。）

于是：

$f(x)%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%20%5Cfrac%7B(n-1)%5Ex(n-1)!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%20(i-1%2Bx)%7D%20%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bn%5Exn!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(i%2Bx)%7D%20%20$

對(duì)于任意的x，由極限的唯一性，得到 $f(x)$ 也是唯一的。

進(jìn)而我們得到：

$%5CGamma%20(s)%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%20%5Cfrac%7B(n-1)%5Es(n-1)!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%20(i-1%2Bs)%7D%20%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bn%5Es%20n!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(i%2Bs)%7D%20%20$

接下來(lái)我們來(lái)討論Euler第一型積分：

$B(p%2Cq)%3D%5Cint_0%5E1%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt$

這個(gè)積分形式上比較復(fù)雜，別的不說(shuō)，積分內(nèi)含有兩個(gè)參數(shù)，因此這一積分的討論就要多一個(gè)角度。另外，在參數(shù)取到一定的范圍時(shí)，這一積分就是瑕積分，討論起來(lái)也不是很容易。

首先，p，q≥1時(shí)，這是含參變量常義積分；當(dāng)p，q＜1時(shí)，我們將積分拆解為：

$%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%EF%BC%8C%5Cint_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%5E1%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt$

而：

$%5Cint_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%5E1%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%3D%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%20t%5E%7Bq-1%7D%20(1-t)%5E%7Bp-1%7D%20%5Ctext%20dt$

所以只需要討論前者即可。

由于p=0時(shí)，有：

$%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%20t%5E%7B-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%5Cge%20%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%20t%5E%7B-1%7D%20%5Ctext%20dt$

因而發(fā)散，所以p≤0時(shí)，就有：

$%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%5Cge%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%20t%5E%7B-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%5Cge%20%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%20t%5E%7B-1%7D%20%5Ctext%20dt$

發(fā)散。

當(dāng)0＜p＜1時(shí)，做變換：

$%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%3D%5Cint_%7B2%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20x%5E%7B-p-q%7D%20(x-1)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dx$

由于：

$%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bx%5E%7B-p-q%7D(x-1)%5E%7Bq-1%7D%7D%7Bx%5E%7B-p-1%7D%7D%3D%20%20%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cbigg(%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx-1%7D%20%5Cbigg)%5E%7B1-q%7D%3D1$

（還是一致收斂，還是略去。）

這樣，我們就得到此時(shí) $B(p%2Cq)$ 在p，q＞0時(shí)收斂，且關(guān)于任何一個(gè)參數(shù)都是在 $%5B0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上內(nèi)閉一致收斂。并且從我們的討論過(guò)程當(dāng)中，我們可以敏銳地捕捉到一個(gè)點(diǎn)：

$B(p%2Cq)%3DB(q%2Cp)%5Cquad(p%2Cq%EF%BC%9E0)$

另外，我們還能通過(guò)直接計(jì)算得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cint_0%5E1%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%26%3D%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20t%5E%7B-p-q%7D%20(t-1)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%20%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20t%5E%7B-p-q%7D%20%5Ctext%20d((t-1)%5Eq)%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%20%20%5Cbigg(t%5E%7B-p-q%7D%20(t-1)%5E%7Bq%7D%20%5Cbigg%7C_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D-%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20(t-1)%5E%7Bq%7D%20%5Ctext%20d(t%5E%7B-p-q%7D)%5Cbigg)%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7Bp%2Bq%7D%7Bq%7D%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20t%5E%7B-p-(q%2B1)%7D%20(t-1)%5E%7B(q%2B1)-1%7D%20%5Ctext%20dt%20%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7Bp%2Bq%7D%7Bq%7D%20%5Cint_0%5E%7B1%7D%20%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq%7D%20%5Ctext%20dt%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

即：

$B(p%2Cq%2B1)%3D%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%2Bq%7DB(p%2Cq)%20$

也可以寫(xiě)作：

$B(p%2B1%2Cq)%3D%5Cfrac%7Bp%7D%7Bp%2Bq%7DB(p%2Cq)%20$

最后，我們指出，這兩類(lèi)積分同為Euler積分，本質(zhì)上是有一定的聯(lián)系的：

$%5Cforall%20p%2Cq%EF%BC%9E0%EF%BC%8CB(p%2Cq)%3D%5Cfrac%7B%5CGamma%20(p)%5CGamma%20(q)%7D%7B%5CGamma%20(p%2Bq)%7D%20$

我們這里列出幾種證明，其中比較能夠揭示本質(zhì)的，是這種：

而參考教材上則巧妙地利用了 $%5CGamma%20(s)$ 的三條性質(zhì)及其唯一確定性，證明如下：

先設(shè)：

$f(p)%3D%5Cfrac%7B%5CGamma%20(p%2Bq)B(p%2Cq)%7D%7B%5CGamma%20(q)%7D%20$

然后：

這里還給出了一些性質(zhì)，其中有些我們已經(jīng)指出過(guò)了。

最后po個(gè)鏈接，里面的證明十分的硬核。（樂(lè)）

Euler積分—B函數(shù)與Γ函數(shù) - BriChen的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/433589729

利用兩類(lèi)Euler積分之間的聯(lián)系，我們來(lái)進(jìn)一步給出它們的一些性質(zhì)。

從第一型Euler積分的形式來(lái)看，忽略指數(shù)項(xiàng)的差異，被積函數(shù)本身是相當(dāng)對(duì)稱(chēng)的，我們可以考慮一種換元：

$t%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20x$

于是，就有：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cint_0%5E1%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%26%3D%5Cint_%7B-1%7D%5E1%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20x)%5E%7Bp-1%7D(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx)%5E%7Bq-1%7D%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%3D2%5E%7B-p-q%2B2%7D%5Cint_%7B-1%7D%5E1%20(1-x)%5E%7Bp-1%7D(1%2Bx)%5E%7Bq-1%7D%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

此時(shí)，若令p=q=s，就能得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cint_0%5E1%20t%5E%7Bs-1%7D%20(1-t)%5E%7Bs-1%7D%20%5Ctext%20dt%26%3D2%5E%7B-2s%2B2%7D%5Cint_%7B-1%7D%5E1%20(1-x)%5E%7Bs-1%7D(1%2Bx)%5E%7Bs-1%7D%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%3D2%5E%7B-2s%2B2%7D%5Cint_%7B-1%7D%5E1%20(1-x%5E2)%5E%7Bs-1%7D%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%3D2%5E%7B-2s%2B2%7D%5Cbigg(%5Cint_%7B-1%7D%5E0%2B%5Cint_0%5E1%20%5Cbigg)(1-x%5E2)%5E%7Bs-1%7D%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%3D2%5E%7B-2s%2B2%7D%5Cint_%7B0%7D%5E1%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20y%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20(1-y)%5E%7Bs-1%7D%5Ctext%20dy%5C%5C%0A%26%3D2%5E%7B-2s%2B1%7D%5Cint_%7B0%7D%5E1%20y%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(1-y)%5E%7Bs-1%7D%5Ctext%20dy%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

即：

$B(s%2Cs)%3D2%5E%7B-2s%2B1%7DB(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2Cs)%20$

將其改寫(xiě)為第二類(lèi)Euler積分的形式，就是：

$%5Cfrac%7B%5CGamma%20(s)%5CGamma%20(s)%7D%7B%5CGamma(2s)%7D%20%3D2%5E%7B-2s%2B1%7D%5Cfrac%7B%5CGamma%20(s)%5CGamma%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%7D%7B%5CGamma(s%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%7D%20$

我們現(xiàn)在來(lái)求 $%5CGamma%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%20$ 。我們使用一種比較巧妙的方式，這還是要利用到兩類(lèi)Euler積分之間的聯(lián)系。

在第一類(lèi)Euler積分當(dāng)中，令p=s，q=1-s，就有：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0AB(s%2C1-s)%26%3D%5Cint_0%5E1%20t%5E%7Bs-1%7D%20(1-t)%5E%7B-s%7D%20%5Ctext%20dt%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7B-1%7D%20(t-1)%5E%7B-s%7D%20%5Ctext%20dt%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bt%5E%7B-s%7D%7D%7Bt%2B1%7D%20%5Ctext%20dt%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

這一積分目前我們解決不了，需要等到我們介紹過(guò)Fourier級(jí)數(shù)過(guò)后，才能夠?qū)@一結(jié)果給出證明。但是由于目前的需要，我們直接給出結(jié)果：

$B(s%2C1-s)%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B%5Csin%20(1-s)%5Cpi%7D%20$

當(dāng)我們?nèi)=0.5時(shí)，就有：

$B(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20)%3D%5Cfrac%7B%5CGamma%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%20%5CGamma%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%7D%7B%5CGamma%20(1)%7D%20%3D%5CGamma(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%5E2%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20%7D%20%3D%5Cpi$

于是：

$%5CGamma%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%3D%5Csqrt%7B%5Cpi%20%7D%20%20$

于是，我們就得到了兩個(gè)很有用的結(jié)果：

$%5CGamma%20(2s)%3D%5Cfrac%7B2%5E%7B2s-1%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20%7D%20%5CGamma%20(s)%5CGamma%20(s%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20)$

（倍元公式）

Gamma函數(shù)倍乘公式（勒讓德倍乘公式）的推廣 - PyroTechnics的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/435464646

$%5CGamma%20(s)%5CGamma%20(1-s)%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B%5Csin(1-s)%5Cpi%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B%5Csin%20s%5Cpi%7D%20$

（余元公式）

余元公式的幾種證明方法 - fell的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/342206090

作為應(yīng)用演示，我們來(lái)解決一個(gè)問(wèn)題：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cprod_%7Bi%3Dn%7D%5E%7B2n%7D%20%5Cfrac%7Bi%7D%7Bi%2B1%2Bs%7D%20%20%3D%EF%BC%9F%5Cquad(0%EF%BC%9Cs%EF%BC%9C1)$

我們將倍元公式用第二類(lèi)Euler積分的極限定義改寫(xiě)為：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bn%5E%7B2s%7Dn!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(i%2B2s)%7D%26%3D%20%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2s-1%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20%7D%20%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bn%5E%7Bs%7Dn!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(i%2Bs%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%7D%0A%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bn%5E%7Bs%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7Dn!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(i%2Bs)%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B2%5E%7B2s-1%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20%7D%20%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bn%5E%7B2s%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(n!)%5E2%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(i%2Bs%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(i%2Bs)%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B2%5E%7B2s-1%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20%7D%20%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2n%2B2%7Dn%5E%7B2s%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(n!)%5E2%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(2i%2B2s%2B1)%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(2i%2B2s)%7D%20%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B2%5E%7B2s-1%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20%7D%20%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2n%2B2%7Dn%5E%7B2s%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(n!)%5E2%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5E%7B2n%2B1%7D%20(i%2B2s)%7D%20%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

左右兩邊約去相同的項(xiàng)，化簡(jiǎn)得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2n%2B2%7Dn%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7Dn!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3Dn%7D%5E%7B2n%2B1%7D%20(i%2B2s)%7D%20%20%26%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2n%2B2%7Dn%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7D(n!)%5E2%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B(2n)!%7D%7Bn!%7D%20%7D%7B(2n)!%5Cprod_%7Bi%3Dn%7D%5E%7B2n%2B1%7D%20(i%2B2s)%7D%20%5C%5C%0A%26%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2n%2B2%7Dn%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7D(n!)%5E2%5Cprod_%7Bi%3Dn%2B1%7D%5E%7B2n%7D%20i%7D%7B(2n)!(n%2B2s)%5Cprod_%7Bi%3Dn%2B1%7D%5E%7B2n%2B1%7D%20(i%2B2s)%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2n%2B2%7Dn%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(n!)%5E2%7D%7B(2n)!(n%2B2s)%7D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cprod_%7Bi%3Dn%7D%5E%7B2n%7D%5Cfrac%7Bi%7D%7Bi%2B1%2B2s%7D%20%5C%5C%20%20%20%20%20%0A%26%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20%7D%7B2%5E%7B2s-1%7D%7D%20%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

利用Wallis公式，等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)滿(mǎn)足：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2n%2B2%7Dn%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(n!)%5E2%7D%7B(2n)!(n%2B2s)%7D%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2n%2B2%7Dn%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(n!)%5E2%7D%7B(2n)!%7D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bn%7D%7Bn%2B2s%7D%20%20%3D4%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20$

于是就有：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cprod_%7Bi%3Dn%7D%5E%7B2n%7D%20%5Cfrac%7Bi%7D%7Bi%2B1%2B2s%7D%20%20%3D2%5E%7B-2s%2B3%7D$

即：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cprod_%7Bi%3Dn%7D%5E%7B2n%7D%20%5Cfrac%7Bi%7D%7Bi%2B1%2Bs%7D%20%20%3D2%5E%7B-s%2B3%7D$

最后，我們來(lái)推廣我們?cè)?jīng)介紹過(guò)的Stirling公式：

思考：

證明命題1，即 $%5Cln%5CGamma(s)$ 是 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上的凸函數(shù)；

（利用H?lder不等式）
計(jì)算積分：

$%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%20%5Ccos%20%5E%5Calpha%20x%5Csin%20%5E%5Cbeta%20x%5Ctext%20dx$
計(jì)算積分：

$%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%20%5Ctan%20%5E%5Calpha%20x%5Ctext%20dx$
證明： $%5Cln%20B(s)$ 是 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上關(guān)于p的凸函數(shù)；
證明：

$%5Cint_0%5E1%5Cln%20%5CGamma%20(s)%5Ctext%20ds%3D%5Cln%20%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%20$
證明：

$%5Cint_0%5E1%20%5Csin%20%5Cpi%20s%5Cln%20%5CGamma%20(s)%5Ctext%20ds%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%20(%5Cln%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2B1)%20$