Definition of the maximal Lyapunov exponent

在Logistic模型中，有如下典型結(jié)果圖示：

不難注意到，圖像每個(gè)極大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)倍周期分叉點(diǎn)，可利用這個(gè)特征來(lái)進(jìn)行分叉位置的求解。

此結(jié)論未能找到證明，不過(guò)可以在自適應(yīng)算法的迭代過(guò)程中，通過(guò)圖像驗(yàn)證是否為分叉位置。

觀察代碼運(yùn)行的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)每?jī)蓚€(gè)分叉點(diǎn)之間的圖像具有非常良好的相似性質(zhì)。

這啟示作者可以采用自適應(yīng)算法，在每次循環(huán)計(jì)算過(guò)程中只尋找兩個(gè)分叉點(diǎn)，然后縮小并更新下階段的計(jì)算區(qū)間，加大計(jì)算精度和Logistic模型的迭代次數(shù)。

關(guān)于自適應(yīng)算法，由于每次倍周期都會(huì)在原先的周期數(shù)上乘2，故而為保證精度迭代次數(shù)應(yīng)選取倍周期的倍數(shù)，T=T0*2^i；而對(duì)于每個(gè)區(qū)間的采樣數(shù)，本文采用了線性遞增函數(shù)。這部分算法讀者可以進(jìn)一步優(yōu)化，從而提高計(jì)算速度和精確度。

以下是Matlab代碼：

clear;clc;

format long

tic

%% 初始化

x=0.5;y=0;

N=1000;

u=linspace(2.9,3.5,N);

T=200;

U=[];

%% 自適應(yīng)計(jì)算

i=1;

while i<13

? ? for j=1:T

? ? ? ? x=u.*(x-x.^2);

? ? ? ? df=log(abs(u-2.*u.*x));

? ? ? ? y=y+df; %計(jì)算Lyapunov指數(shù)

? ? end?

? ? % plot(u,y) 作圖觀察

? ? [val,idx]=findpeaks(y); %尋找分叉點(diǎn)

? ? u1=u(idx(1));u2=u(idx(2));

? ? U=[U(1:end-1),u1,u2];

? ??

? ? T=T*2; %自適應(yīng)算法，可以進(jìn)一步優(yōu)化

? ? N=N+500;

? ? u=linspace((4*u2+u1)/5,(5*u2-u1)/4,N);

? ??

? ? x=0.5;y=0; %進(jìn)入下次迭代

? ? i=i+1;?

end

%% 數(shù)據(jù)處理

for j=1:length(U)-1

? ? mu(j)=U(j+1)-U(j);

end

for k=1:length(mu)-1

? ? Lya(k)=mu(k)/mu(k+1);

end

plot(1:length(Lya),Lya)

toc

代碼運(yùn)行結(jié)果：