【種花家務(wù)·代數(shù)】1-5-01分式『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

2023-09-28 14:52 作者:山嵓 0人讀過 | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學(xué)酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教中學(xué)甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶猓欢t，我認為《微積分初步》這本書對“準大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個措手不及。

第五章分式

§5-1分式

【01】在第三章里，我們討論了整式的除法。但是整式的除法不一定都能夠整除，例如 x2＋3x＋5 就不能被 x＋1 整除。和整數(shù)除法里由于不能整除因而有分數(shù)的表達形式一樣，在代數(shù)里，我們還必須進一步研究整式以外的另一種有理代數(shù)式——分式。

1、分式的概念

【02】代數(shù)式? $%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cfrac1a%2C%5Cfrac%7Bx-1%7D%7Bx%2B5%7D%2C%5Cfrac%7Bx%5E2-a%5E2%7D%7B3ax%5E2%7D%2C%5Cfrac%7Bx%5E2%2B3x%2B5%7D%7Bx%2B1%7D%2C%5Cfrac5%7B%5Cleft(x%2By%5Cright)%5Cleft(x-y%5Cright)%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D$ 等都是有理代數(shù)式，但除式里含有字母，我們把它們叫做分式。就是

【03】除式里含有字母的有理代數(shù)式叫做分式。

【04】分式的寫法，和分數(shù)一樣，用一條橫線作為除號，把被除式寫在橫線的上面，叫做分子，除式寫在橫線的下面，叫做分母。例如在分式 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%20$ 里，分子是 1，分母是 a；在分式 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx-1%7D%7Bx%2B5%7D%20$ 里，分子是 x－1，分母是 x＋5 等。

【注意】 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D2%2C%5Cfrac13x%5E2-%5Cfrac12x-5$ 等不是分式，因為這里沒有含字母的除式。這兩個代數(shù)式都是整式。

2、分式里字母的值的限制

【05】我們知道，任意有理數(shù)總可以進行加法、減法和乘法的運算，所以在整式里，字母可以取任意數(shù)值。但是在分式里，分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。例如分式 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Ba%7D%20b$ 就表示 a 除以 b 所得的商，這里分子 a 可以取任意數(shù)值，但分母 b 不能是零（因為用零做除數(shù)是沒有意義的）。一般地說，在一個分式里，分子中的字母可以取任意的數(shù)值，但是分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。

例1.下列各分式里，字母心的值有什么限制？ $%5Csmall(1)%5C%3B%5Cfrac1x%3B%5C%3B(2)%5C%3B%5Cfrac%7Bx%2B3%7D%7Bx-2%7D%3B%5C%3B(3)%5C%3B%5Cfrac5%7Bx%2B2%7D%3B%5C%3B(4)%5C%3B%5Cfrac%7Bx%2Ba%7D%7Bx-a%7D$ ? 。

【解】

(1)在 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B1%7D%20x$ 里，x 不能是零，即 x≠0；

(2)在 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%2B3%7D%7Bx-2%7D$ 里，由于 x＝2 時，x－2＝0，所以 x≠2；

(3)在 $%5Cscriptsize%5Cfrac5%7Bx%2B2%7D$ 里，由于 x＝－2時，x＋2＝0，所以 x≠－2；

(4)在 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%2Ba%7D%7Bx-a%7D$ 里，由于 x＝a 時，x－a＝0，所以 x≠a? 。

【06】以后我們遇到分式，總假定分式里字母所取的值不會使分母等于零。

3、分式的值

【07】分式是一個代數(shù)式，所以我們可以按照求代數(shù)式的值的方法，把分式里的字母用指定的數(shù)值代入，按照指定的運算進行計算化簡，就可以得出分式的值來。

例2.求代數(shù)式 $%5Csmall%5Cfrac%7Bx-1%7D%7Bx%2B3%7D$ 的值：(1)當(dāng) x＝2；(2)當(dāng) x＝－2；(3)當(dāng) x＝－4；(4)?x＝2/5；(5)當(dāng) x＝1? 。

【解】

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26(1)%5Ctext%7B%E5%BD%93%7Dx%3D2%5Ctextrm%7B%E6%97%B6%7D%2C%5Cfrac%7Bx-1%7D%7Bx%2B3%7D%3D%5Cfrac%7B2-1%7D%7B2%2B3%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%3B%5C%5C%0A%26%5Ctext%7B(2)%7D%20%5Ctext%7B%E5%BD%93%20%7Dx%3D-2%5Ctext%7B%20%E6%97%B6%2C%20%7D%5Cfrac%7Bx-1%7D%7Bx%2B3%7D%3D%5Cfrac%7B-2-1%7D%7B-2%2B3%7D%3D-3%3B%20%20%5C%5C%0A%26%5Ctext%7B(3)%7D%20%5Ctext%7B%E5%BD%93%20%7Dx%3D-4%5Ctext%7B%20%E6%97%B6%7D%2C%5Cfrac%7Bx-1%7D%7Bx%2B3%7D%3D%5Cfrac%7B-4-1%7D%7B-4%2B3%7D%3D5%3B%20%20%5C%5C%0A%26%20%5Ctext%7B(4)%E5%BD%93%20%7Dx%3D%5Cfrac25%5Ctext%7B%20%E6%97%B6%2C%7D%5Cfrac%7Bx-1%7D%7Bx%2B3%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac25-1%7D%7B%5Cfrac25%2B3%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B-3%7D5%7D%7B%5Cfrac%7B17%7D5%7D%3D-%5Cfrac3%7B17%7D%3B%20%20%5C%5C%0A%26%5Ctext%7B(5)%E5%BD%93%20%7Dx%3D1%5Ctext%7B%20%E6%97%B6%2C%7D%5Cfrac%7Bx-1%7D%7Bx%2B3%7D%3D%5Cfrac%7B1-1%7D%7B1%2B3%7D%3D%5Cfrac04%3D0.%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

例3.求代數(shù)式 $%5Csmall%5Cfrac%7B2xy%7D%7B2x-3y%7D$ 的值：(1)當(dāng) x＝3，y＝1；(2)當(dāng) x＝7，y＝3；(3)當(dāng) x＝－2，y＝－4；(4)當(dāng)?x＝ $%5Cscriptsize-2%5Cfrac12$ ，y＝ $%5Cscriptsize3%5Cfrac12$ ；(5)當(dāng)?x＝0，y＝－1? 。

【解】

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26(1)%5Ctext%7B%20%E5%BD%93%20%7Dx%3D3%2Cy%3D1%5Ctext%7B%E6%97%B6%7D%2C%20%5Cfrac%7B2xy%7D%7B2x-3y%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Ccdot3%5Ccdot1%7D%7B2%5Ccdot3-3%5Ccdot1%7D%3D%5Cfrac63%3D2%3B%20%5C%5C%0A%26(2)%E5%BD%93x%3D7%2Cy%3D3%E6%97%B6%2C%5Cfrac%7B2xy%7D%7B2x-3y%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Ccdot7%5Ccdot3%7D%7B2%5Ccdot7-3%5Ccdot3%7D%3D%5Cfrac%7B42%7D5%3D8%5Cfrac25%3B%20%5C%5C%0A%26(3)%5Ctext%7B%20%E5%BD%93%20%7Dx%3D-2%2Cy%3D-4%5Ctext%7B%20%E6%97%B6%2C%7D%20%5Cfrac%7B2xy%7D%7B2x-3y%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Ccdot%5Cleft(-2%5Cright)%5Cleft(-4%5Cright)%7D%7B2%5Cleft(-2%5Cright)-3%5Cleft(-4%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B16%7D%7B-4%2B12%7D%3D2%3B%20%5C%5C%0A%26(4)%5Ctext%7B%E5%BD%93%20%7Dx%3D-2%5Cfrac12%2C%5Ctext%7B%20%7Dy%3D3%5Cfrac12%5Ctext%7B%E6%97%B6%2C%7D%20%5Cfrac%7B2xy%7D%7B2x-3y%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cleft(-2%5Cfrac12%5Cright)%5Cleft(3%5Cfrac12%5Cright)%7D%7B2%5Cleft(-2%5Cfrac12%5Cright)-3%5Cleft(3%5Cfrac12%5Cright)%7D%5C%5C%26%5Cqquad%5Cqquad%5Cqquad%5Cqquad%5Cqquad%3D%5Cfrac%7B2%5Cleft(-%5Cfrac52%5Cright)%5Cleft(%5Cfrac72%5Cright)%7D%7B-5-%5Cfrac%7B21%7D2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B-35%7D2%7D%7B-%5Cfrac%7B31%7D2%7D%3D%5Cfrac%7B35%7D%7B31%7D%3D1%5Cfrac4%7B31%7D%3B%5C%5C%0A%26(5)%5Ctext%7B%E5%BD%93%7Dx%3D0%2Cy%3D-1%5Ctext%7B%E6%97%B6%2C%7D%5Cfrac%7B2xy%7D%7B2x-3y%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Ccdot0%5Cleft(-1%5Cright)%7D%7B2%5Ccdot0-3%5Cleft(-1%5Cright)%7D%3D%5Cfrac03%3D0.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

習(xí)題5-1

1、下列各代數(shù)式里，哪些是整式？哪些是分式？

$%5Csmall3x%2C%5C%3B-%5Cfrac12%2C%5C%3B%5Cfrac%20ba%2C%5C%3B%5Cfrac5%7Bx%2B3%7D%2C%5C%3B%5Cfrac12x%5E2-3%2C%5C%3B%5Cfrac%7Ba%5E2-b%5E2%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D.$

2、下列各代數(shù)式里，哪些字母的值有哪些限制？ $%5Csmall(1)%5Cfrac%7Ba%2B7%7D%7Ba-5%7D%3B%5C%3B(2)%5Cfrac%7Ba%7D%7Ba%2B4%7D%3B%5C%3B(3)%5Cfrac%7Bx-5%7D%7B3-x%7D%3B%5C%3B(4)%5Cfrac%7Bx%2B3%7Dx.$

求下列各分式的值：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%263%E3%80%81%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3B(1)x%3D3%3B(2)x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%3B(3)x%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%3B(4)x%3D0.02.%20%5C%5C%0A%264%E3%80%81%5Cfrac%7Bx-2%7D%7Bx%2B3%7D%3B(1)x%3D5%3B(2)x%3D-5%3B(3)x%3D1%5Cfrac13%3B(4)x%3D2.%20%5C%5C%0A%265%E3%80%81%5Cfrac%7B2x%2B7%7D%7Bx%5E2-2x%2B3%7D%3B%5Cquad(1)x%3D-1%3B%5Cquad(2)x%3D-%5Cfrac12%3B%5Cquad(3)x%3D0%3B%20%5Cquad(4)x%3D0.2.%5C%5C%0A%266%E3%80%81%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2-4%7D%3B(1)x%3D3%3B(2)x%3D-3%3B(3)x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%3B(4)x%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D.%5C%5C%0A%267%E3%80%81%5Cfrac%7Bx%5E2-3x-4%7D%7B2x-3%7D%2C(1)x%3D4%3B(2)x%3D-1%3B(3)x%3D1%3B(4)x%3D0.%5C%5C%0A%268%E3%80%81%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7Ba-b%7D%3B(1)a%3D3%2Cb%3D-3%3B(2)a%3D5%2Cb%3D-7.%5C%5C%0A%269%E3%80%81%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D%2B2ab%2Bb%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D-2ab%2Bb%5E%7B2%7D%7D%3B%5Ctext%7B(1)%7Da%3D3%2Cb%3D2%3B(2)a%3D3%2Cb%3D-3.%20%5C%5C%0A%2610%E3%80%81%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D-2ab-3b%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D-3ab%2Bb%5E%7B2%7D%7D%3B(1)a%3D2b%3B(2)a%3D3b.%20%20%5C%5C%0A%2611%E3%80%81%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D-5ax%2B8a%5E%7B2%7D%7D%7Bx%5E%7B2%7D-3ax%2B2a%5E%7B2%7D%7D%3B(1)x%3D3a%3B(2)x%3D-3a.%20%5C%5C%0A%2612%E3%80%81%5Cfrac%7Bx%5E3%2B2ax%5E2-3a%5E2x%2B4a%5E3%7D%7Bx%5E3-3ax%5E2-5a%5E2x%2B6a%5E3%7D%3B(1)x%3D%5Cfrac12a%3B(2)x%3D-%5Cfrac23a.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%262%E3%80%81(1)a%5Cneq5%2C%5Cquad(2)a%5Cneq-4%2C%5Cquad(3)x%5Cneq3%2C%5Cquad(4)x%5Cneq0%3B%5C%5C%0A%267%E3%80%81(1)0%2C%5Cquad(2)0%2C%5Cquad(3)6%2C%5Cquad(4)1%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%3B%5C%5C%0A%268%E3%80%81(1)0%2C%5Cquad(2)-%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%3B%20%5C%5C%0A%269%E3%80%81(1)25%2C%5Cquad(2)0%3B%5C%5C%0A%2610%E3%80%81(1)3%2C%5Cquad(2)0%3B%5C%5C%0A%2611%E3%80%81(1)1%2C%20%5Cquad(2)1%5Cfrac35%3B%5C%5C%0A%2612%E3%80%81(1)1%5Cfrac2%7B23%7D%2C(2)%5Cfrac%7B89%7D%7B104%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

標簽：

最美情侣中文字幕电影,在线麻豆精品传媒,在线网站高清黄,久久黄色视频

【種花家務(wù)·代數(shù)】1-5-01分式『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

習(xí)題5-1