17-18世紀(jì)的伯努利家族，可謂是聲名鵲起，在數(shù)學(xué)、物理、工程、醫(yī)學(xué)等諸多領(lǐng)域做出了卓越的貢獻(xiàn)，如下圖所示，黑色先代表伯努利家族四代的主要人物，藍(lán)色代表其相對(duì)出名的成就，綠色箭頭線代表師生關(guān)系。

整理完發(fā)現(xiàn)，伯努利家族的雅各布(I)和約翰(I)兩兄弟就研究了四種有趣的“線”——懸鏈線、雙紐線、擺線和螺線，下面就來一一說明。

一、懸鏈線（Catenary）

【問題導(dǎo)入】有一質(zhì)地均勻、柔軟（不能伸長）的繩索，固定繩索的兩端，其僅受到重力的作用而下垂，試問：該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)是什么樣的曲線？伽利略就曾錯(cuò)誤地推測過懸鏈線是拋物線。（如：油畫《抱銀貂的女人》中項(xiàng)鏈的曲線等）

由此，懸鏈線的曲線形式最終為“雙曲余弦”，如今：懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜、雙曲拱壩都用到懸鏈線的原理。有關(guān)懸鏈線的問題，雅各布(I)最早開始研究，可是一年都沒有進(jìn)展，因?yàn)樗冀K陷入了證明“拋物線”的死胡同，而約翰(I)僅僅用了一個(gè)晚上便解決了，這足以讓他在哥哥面前像個(gè)凱旋的將軍，毫不謙虛。有關(guān)兩兄弟“爭奇斗艷”的故事也在后來被世人津津樂道。

二、雙紐線（Lemniscate）

【問題導(dǎo)入】在研究過平面幾何M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，對(duì)于兩定點(diǎn)A和B的和（|MA|+|MB|>|AB|）、差（||MA|-|MB||=C）、商（|MA|/|MB|=C>0）分別可以代表橢圓、雙曲線、圓。而引入準(zhǔn)線的第二定義后，還能引入拋物線（M到焦點(diǎn)與其到準(zhǔn)線的距離相等）。此時(shí)，如果設(shè)線段|AB|=2a，且M點(diǎn)滿足乘積定值a*a，即，則M的軌跡是什么圖形呢？

【緣由】天文學(xué)家卡西尼在研究土星衛(wèi)星的運(yùn)行軌道規(guī)律發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡為卡西尼卵形線。

【應(yīng)用一】兩個(gè)平行放置的相同無限長直導(dǎo)線在周圍空間中所形成的等勢線方程，為卡西尼曲線簇。

【應(yīng)用二】對(duì)于特殊的卡西尼曲線：雙紐線，如果在紐結(jié)中心處放置一引力中心，一質(zhì)點(diǎn)沿此雙紐線做有心運(yùn)動(dòng)，忽略力心的奇點(diǎn)效應(yīng)，則此引力與距力心距離成7次方反比。

【背景知識(shí)】有心力作用下的軌道微分方程—Binet方程

【應(yīng)用三】設(shè)置雙紐線的墻壁，在紐結(jié)中心設(shè)置一良好的點(diǎn)光源，發(fā)出的光線各向同性、光強(qiáng)不變，則接收的光照度處處相同。

【引申：廣義的卡西尼曲線】

三、旋輪線（Roulette）、最速降線（Brachistochrone）、擺線（Cycloid）

【問題導(dǎo)入一】車輪上的一個(gè)定點(diǎn)A在車輪滾動(dòng)前行一圈的過程中，其形成的軌跡“旋輪線”應(yīng)滿足什么參數(shù)方程呢？

【問題導(dǎo)入二】存在一定高度差的A、B兩點(diǎn)，如何設(shè)計(jì)一條用時(shí)最短的無摩擦路徑？這條路徑應(yīng)該是什么形狀呢？注意此時(shí)是用時(shí)最短，而非距離最短！

伽利略在1630年認(rèn)為其是圓弧，后來也有猜想過是拋物線、懸鏈線，但事實(shí)上都是不對(duì)的，而約翰(I)則通過引入費(fèi)馬光行最速原理（光會(huì)走用時(shí)最短的路徑，如：直射、反射和折射等，但無法證明），給出了其最短路徑為擺線。

【知識(shí)回顧】光的傳播性質(zhì)

【知識(shí)儲(chǔ)備】

【變分法求最速降線】

【引申問題】那么，對(duì)于最速降線上的任意一點(diǎn)下落到同一個(gè)位置，時(shí)間一樣嗎？

【問題導(dǎo)入三】行星際空間中，考慮穩(wěn)定的太陽風(fēng)速度和行星際磁場。太陽系內(nèi)行星、彗星外逸層中性原子電離后會(huì)產(chǎn)生新生離子，試求新生離子的運(yùn)動(dòng)是什么軌跡？

四、對(duì)數(shù)螺線（Log spiral，亦稱等角螺線）

【問題導(dǎo)入】有句話說“貓走不走直線，取決于耗子；蛾子飛不飛直線，取決于光源”，飛蛾撲火的現(xiàn)象到底是什么呢？飛蛾的飛行軌跡是什么曲線呢？

【拓展知識(shí)】除了飛蛾撲火，自然界的還有很多存在對(duì)數(shù)螺線的現(xiàn)象：鸚鵡螺螺紋、鷹類逼近獵物運(yùn)動(dòng)軌跡、正四邊形螞蟻運(yùn)動(dòng)軌跡、花瓣排列、向日葵種子排列、臺(tái)風(fēng)、旋渦星系懸臂、蜘蛛網(wǎng)等等。