隨機微分方程（SDE）是微分方程的一個分支，它在每個時間點上的解都受到隨機因素的影響。這些方程通常可以用來描述在許多自然和社會科學(xué)中出現(xiàn)的不確定性的動態(tài)系統(tǒng)。

一般形式的隨機微分方程看起來像這樣：

?? dX(t) = f(X(t), t) dt + g(X(t), t) dW(t)

其中，X(t) 是在時間 t 的系統(tǒng)狀態(tài)，f 和 g 是關(guān)于這個狀態(tài)和時間的確定函數(shù)，
W(t) 是一個 標準 Wiener 過程（一種連續(xù)的隨機過程, 在北太天元學(xué)習(xí)32中我們介紹過）。
這種形式的方程表示系統(tǒng)狀態(tài)的改變率不僅取決于當(dāng)前的狀態(tài)和時間，還受到 Wiener 過程的
影響，而這個過程反映了未知的隨機因素。

隨機微分方程的應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，包括但不限于：

金融數(shù)學(xué)：隨機微分方程被廣泛用于金融建模，如股票價格的演化、期權(quán)定價等。這些模型通常考慮隨機因素，如市場噪音、投資者情緒等。
生物學(xué)：在生物學(xué)中，隨機微分方程經(jīng)常被用來描述基因表達、細胞生長、神經(jīng)信號傳導(dǎo)等過程的動態(tài)行為。
物理學(xué)：在物理學(xué)中，隨機微分方程被用來描述隨機漫步、布朗運動、擴散等過程。
工程學(xué)：在控制理論和信號處理中，隨機微分方程用于描述和設(shè)計應(yīng)對不確定性的系統(tǒng)。
重要性：

隨機微分方程提供了一種描述和分析帶有隨機因素動態(tài)系統(tǒng)的有力工具。它不僅能夠描述系統(tǒng)的行為，還可以幫助我們預(yù)測未來的可能變化，優(yōu)化決策，以及理解和設(shè)計系統(tǒng)行為。此外，隨機微分方程還在許多其他領(lǐng)域，如計算機科學(xué)、環(huán)境科學(xué)、社會科學(xué)等都有應(yīng)用。

我們下面談?wù)勅绾斡帽碧煸獢?shù)值求解一個隨機微分方程。假設(shè)證券價格X(t) 滿足下面的隨機微分方程
?? ?d X(t) =? \mu X(t) d t + \sigma X(t) d W(t)

其中 X(t) 是股票的價格, 是我們需要求解的未知量, 其中 \mu 和 \sigma 是兩個常數(shù),
W(t) 是維納過程 (我們在北太天元學(xué)習(xí)32中簡單了解過)，因此，對于上面的常微分方程
W(t) 就是一個已知的"函數(shù)"。 如果 d W(t) 可以寫成 W'(t) dt, 那么上面的隨機微分方程
就可以寫成
?? X'(t) = \mu X(t)? + \sigma X(t) W'(t)
但是， W(t) 不是一個普通的函數(shù)， W(t) 無法求導(dǎo)。 在數(shù)值計算的時候，我們還是
把要計算時間區(qū)間 [0, T] 分成小區(qū)間, 在 [t,t+h] 這個小區(qū)間上
????????? \int_{t}^{t+h} d W(t)? =? W(t+h) - W(t)
這就可以用在我們求解 X(t+h) 上, 進一步完整寫出來是這樣的

? X(t+h) - X(t) = \int_{t} ^{t+h} \mu X(s) ds + \int_{t}^{t+h} \sigma X(s) d W(s)

我們把上面的積分用矩形積分公式，就可以得到
?

X(t+h) - X(t) = \mu * X(t) * h? + \sigma * X(t) ( W(t+h) - W(t) ).

注意，W(t) 是一個標準Wiener過程，所以W(t+h)-W(t) 是一個高斯隨機變量(均值為0，方程是 h), 即 W(t+h)-W(t) ~ N(0, h).

通過上面的討論, 實際上我們就得到了以下數(shù)值方法：

??? X_{n+1} = X_n + \mu * X_n * h + \sigma *X_n * sqrt{h} \xi_n

這里的h 是時間步長，X_{n}用來逼近X(nh)的數(shù)值解，{\xi_??}是相互獨立的標準高斯隨機變量（即均值0和方差1）的集合。這被稱為Euler–Maruyama方法。

我們在北太天元上實現(xiàn)上面的算法，做一次模擬得到的證券價格X(t)隨著時間的變化的情況如下

得到上面的圖像所用的北太天元的代碼如下: ?

% 北太天元 用 Euler-Maruyama 方法 求解 隨機微分方程
% 證券價格滿足的隨機微分方程
%? d X(t) = mu X(t)? + sigma * X(t) d W(t)? ?
% 其中W(t) 是標準布朗運動(標準維納過程)
%
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clc

mu = 1; sigma = 1; Xzero = 0.5;
T = 1; N = 2^8; h = T/N;

X = zeros(1,N+1);
X(1) = Xzero;

for n = 1:N
??? X(n+1) = X(n) + mu*X(n)*h +? X(n)* sigma*sqrt(h)*randn;
end

plot([0:h:T],X,'r--*', 'LineWidth', 4)

title("北太天元模擬隨機微分方程")
xlabel("時間")
ylabel("證券價格X(t)")