【種花家務·代數(shù)】2-3-06二元一次方程組的解的三種情況『數(shù)理化自學叢書6677版』

2023-11-28 17:53 作者:山嵓 0人讀過 | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎自學教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎學生直接拿來自學。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎教育但卻很不扎實的學酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學叢書”系列17冊的基礎上又添加了1冊八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認為《微積分初步》這本書對“準大學生”很重要，以我的慘痛教訓為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學了個寂寞。另外大學物理的前置條件是必須有基礎微積分知識，因此我所讀院校的大學物理課是推遲開課；而比較生猛的大學則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學課）。我選擇在“自學叢書”17本的基礎上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學前可以看看，不至于像我當年那樣被高數(shù)打了個措手不及。

第三章一次方程組?

§3-6*二元一次方程組的解的三種情況

【01】我們知道，任何一個二元一次方程經(jīng)過變形后都可以化成 ax＋by＝c 的形式，這里，a 是未知數(shù) x 的系數(shù)，b 是未知數(shù) y 的系數(shù)，c 是常數(shù)項。

【02】因此，任何一個二元一次方程組經(jīng)過變形后都可以化成下面的標準形式：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7Ba_%7B1%7Dx%2Bb_%7B1%7Dy%3Dc_%7B1%7D%7D%2C%26%7B(1)%7D%5C%5C%7Ba_%7B2%7Dx%2Bb_%7B2%7Dy%3Dc_%7B2%7D.%7D%26%7B(2)%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【03】現(xiàn)在來研究這一方程組的解的情況，我們約定 a?，a?，b?，b? 都不等于零。

【04】用加減法先消去 y? 。

????????(1)?× b?，得 a?b?x＋b?b?y＝c?b?……(3)

????????(2)?× b1，得 a?b?x＋b?b?y＝c?b?……(4)

????????(3)－(4)，得 (a?b?－a?b?)x＝c?b?－c?b?? 。

【05】如果 a?b?－a?b? ≠ 0，那末? $%5Cscriptsize%20x%3D%5Cfrac%7Bc_%7B1%7Db_%7B2%7D-c_%7B2%7Db_%7B1%7D%7D%7Ba_%7B1%7Db_%7B2%7D-a_%7B2%7Db_%7B1%7D%7D$ ? 。

????????(1) × a?，得 a?a?x＋a?b?y＝a?c?……(5)

????????(2)?× a?，得 a?a?x＋a?b?y＝a?c?……(6)

????????(6)－(5)，得 (a?b?－a?b?)y＝a?c?－a?c?? 。

【06】如果 a?b?－a?b? ≠ 0，那末? $%5Cscriptsize%20y%3D%5Cfrac%7Ba_%7B1%7Dc_%7B2%7D-a_%7B2%7Dc_%7B1%7D%7D%7Ba_%7B1%7Db_%7B2%7D-a_%7B2%7Db_%7B1%7D%7D$ ? 。

【07】所以，當?a?b?－a?b??≠?0 的時候，這個方程組有一組解

$%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D%5Cdfrac%7Bc_1b_2-c_2b_1%7D%7Ba_1b_2-a_2b_1%7D%2C%5C%5Cy%3D%5Cdfrac%7Ba_1c_2-a_2c_1%7D%7Ba_1b_2-a_2b_1%7D.%5Cend%7Bcases%7D$

【08】我們還可以看到，如果 a?b?－a?b?＝0，而 c?b?－c?b? ≠ 0，或者 a?c?一a?c? ≠ 0，那末?x 或者 y 沒有意義，所以這個方程組沒有解。

【09】如果 a?b?－a?b?＝0，c?b?－c?b?＝0 和 a?c?－a?c?＝0，那末 x 和 y 可以是任何值，所以這個方程組有無數(shù)多組解。

【10】概括起來說，二元一次方程組 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Da_1x%2Bb_1y%3Dc_1%2C%5C%5Ca_2x%2Bb_2y%3Dc_2%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ （a?，a?，b?，b? 都不等于零）的解可以有下列三種情況：

????????（?。┊?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cscriptsize%5Cfrac%7Ba_%7B1%7D%7D%7Ba_%7B2%7D%7D%5Cneq%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D%7D%7Bb_%7B2%7D%7D" alt="%5Cscriptsize%5Cfrac%7Ba_%7B1%7D%7D%7Ba_%7B2%7D%7D%5Cneq%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D%7D%7Bb_%7B2%7D%7D">（就是 x 的系數(shù)和 y 的系數(shù)不成比例；也就是 a?b?一a?b?≠0）的時候，方程組有一組解

$%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D%5Cdfrac%7Bc_1b_2-c_2b_1%7D%7Ba_1b_2-a_2b_1%7D%2C%5C%5Cy%3D%5Cdfrac%7Ba_1c_2-a_3c_1%7D%7Ba_1b_2-a_2b_1%7D.%5Cend%7Bcases%7D$

????????（ⅱ）當 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Ba_1%7D%7Ba_2%7D%3D%5Cfrac%7Bb_1%7D%7Bb_2%7D%5Cneq%5Cfrac%7Bc_1%7D%7Bc_2%7D$ （就是 x 的系數(shù)和 y 的系數(shù)成比例，但是和常數(shù)項不成比例；也就是 a?b?－a?b?＝0，而 c?b?－c?b? ≠ 0，或 a?c?一a?c? ≠ 0）的時候，方程組沒有解。

????????（ⅲ）當 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Ba_%7B1%7D%7D%7Ba_%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D%7D%7Bb_%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bc_%7B1%7D%7D%7Bc_%7B2%7D%7D$ （就是 x 的系數(shù)與 y 的系數(shù)和常數(shù)項都成比例；也就是 a?b?－a?b?＝0，?c?b?－c?b?＝0，a?c?一a?c?＝0）的時候，方程組有無數(shù)多組解。

例.不必解出方程組，確定下列方程組有一組解，還是沒有解，還是有無數(shù)多組解：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26%5Cleft.(1)%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D2x%2By%3D7%2C%5C%5Cx-3y%3D-7%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.(2)%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D2x%2By%3D7%2C%5C%5C4x%2B2y%3D-7%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.(3)%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D2x%2By%3D7%2C%5C%5C4x%2B2y%3D14.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【解】

????????(1) ∵? $%5Cscriptsize%5Cfrac21%5Cneq%5Cfrac1%7B-3%7D$ ，∴ 方程組有一組解。

????????(2) ∵? $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B2%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cneq%5Cfrac%7B7%7D%7B-7%7D$ ，∴ 方程組沒有解。

????????(3) ∵? $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B2%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B14%7D$ ，∴ 方程組有無數(shù)多組解。

習題3-6*

不解方程組，確定下列方程組有一組解，還是沒有解，還是有無數(shù)多組解：

$%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D3x-5y%3D2%2C%5C%5C2x%2By%3D-3.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5C%5C%0A%26%262.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D3x-5y%3D2%2C%5C%5C6x-10y%3D4.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5C%5C%0A%26%263.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%7B4x%2B2y%3D1%2C%7D%5C%5C%7B2x%2By%3D-3.%7D%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5C%5C%0A%26%264.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%7B2x-7y%3D-3%2C%7D%5C%5C%7B-4x%2B14y%3D6.%7D%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【1、一組解；2、無數(shù)組解；3、無解；4、無數(shù)多組解】

標簽：

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【種花家務·代數(shù)】2-3-06二元一次方程組的解的三種情況『數(shù)理化自學叢書6677版』

習題3-6*