史濟(jì)懷老師視頻課微分方程部分——

&1.常微分方程的基本概念

a.定義——

形如F（x，y，y'，y"，……，y^(n)）=0的關(guān)系式——y為未知函數(shù)，x為自變量，含有y的導(dǎo)數(shù)的方程。

b.常微分方程的階數(shù)——

含有n階導(dǎo)數(shù)，就是n階方程。

例子——

y"+y=0是二階方程；

（dy/dx）^8+sin^2 x+9y=0是一階方程。

c.微分方程的解——

求得函數(shù)y=f（x），滿足F（x，f（x），f'（x），f"（x），……，f^(n)（x））=0。

例子——

y=cos x 和y=sin x都是微分方程y"+y=0的解——

對(duì)y=cos x，y"=-cos x，滿足關(guān)系式；

對(duì)y=sin x，y"=-sin x，也滿足關(guān)系式。

例子——自由落體的速度與時(shí)間成正比，求運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

距離函數(shù)s=s（t），t是時(shí)間；

速度與時(shí)間成正比，即ds/dt=gt，g為常數(shù)

s=（1/2）gt^2+c，c為任意常數(shù)。

如果已知t=0時(shí)，s=s0，那么我們得到方程組——

1. ds/dt=gt

2. t=0時(shí)，s=s0，——初值條件

已知初值條件求微分方程的問題稱為初值問題。

定理：一般情況下，一階常微分方程的解含有一個(gè)任意常數(shù)，二階微分方程的解含有兩個(gè)任意常數(shù)，n階微分方程的解含有n個(gè)任意常數(shù)。

例子——解微分方程y"=f（x）。

1. y'=∫f（x）dx+c1；

2. y=∫（∫f（x）dx+c1）dx+c2=∫（∫f（x）dx）dx+c1x+c2?！渲?span id="s0sssss00s" class="color-green-01 font-size-16">c1、c2為任意常數(shù)。

d.微分方程的通解——

以二階微分方程F（x，y，y'，y"）=0為例：y=φ（x，c1，c2）（或Φ （x，y，c1，c2）=0）為其通解，其中c1，c2為兩個(gè)相互獨(dú)立的常數(shù)。

e.二階微分方程的初值條件——

1. F（x，y，c1，c2）=0；

2. x=x0時(shí)，y=y0，y'=y1?——二階微分方程的初值條件，需要給兩個(gè)值。

二階微分方程初值問題的解——

將初值條件代入二階微分方程的通解，y=φ（x，c1，c2）（或Φ （x，y，c1，c2）=0），得到的唯一確定的函數(shù)y即為所求初值問題的解。

f.線性方程——

n階微分方程F（x，y，y'，y"，……，y^(n)）=0的關(guān)系式，如果其中的未知函數(shù)y以及各階導(dǎo)數(shù)y^(i)都是一次，則這個(gè)微分方程是線性微分方程，形如：

y^(n)+p1（x）y^(n-1)+p2（x）y^(n-2)+……+pny=f（x）?！缓蓄愃朴冢▂^(i)（x））^k或（x^p）（y^(i)（x））^q這樣的項(xiàng)。

g.二階線性微分方程——

形如y"+p（x）y'+q（x）y=f（x）的方程。