? ? ? ?學(xué)界認(rèn)為，耶穌會數(shù)學(xué)家克拉維烏斯（Christoph Clavius, 1537/1538-1612）編注的《原本》1574年本前六卷被利瑪竇（Matteo Ricci, 1552-1610）、徐光啟(1562-1633)譯成漢語并以《幾何原本》為題在1607年出版，是中國數(shù)學(xué)史上的重大事件，具有里程碑式的意義。不少權(quán)威數(shù)學(xué)史論著所列中國數(shù)學(xué)史分期方案都能支持這一點(diǎn)。

? ? ? ?克拉維烏斯，著有《五卷本《克拉維烏斯“數(shù)學(xué)”著作全集》，其被其弟子利瑪竇介紹到中國來的著作有《幾何原本》《渾蓋通憲圖說》《乾坤體義》《同文算指》等書，據(jù)說其也是“格雷戈里歷”的提出者。《幾何原本》的著者歐幾里得（Euclid），大約生活在公元前300年左右。當(dāng)時希臘科學(xué)發(fā)展處于鼎盛時期，代表埃及、希臘數(shù)學(xué)成就最高水平的就是《幾何原本》。這一數(shù)學(xué)史上最負(fù)盛名的巨著，不僅使許多數(shù)學(xué)著作相形見絀，而且對后世數(shù)學(xué)及自然科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了極其深刻的影響，其數(shù)學(xué)思想和方法支配了數(shù)學(xué)兩千多年。

? ? ? ?網(wǎng)友文行先生根據(jù)徐光啟翻譯的《幾何原本》中，徐光啟的《序》里沒有提及歐幾里得，以及沒有提及《幾何原本》有后面九卷尚未翻譯這兩點(diǎn)，推斷《幾何原本》就是徐光啟自己的作品，西方各版《幾何原本》系對徐光啟《幾何原本》的抄襲。本文筆者仔細(xì)研讀所謂徐光啟翻譯的《幾何原本》，有極強(qiáng)的證據(jù)支持以下結(jié)論：

? ? ? ?所謂徐光啟所翻譯的《幾何原本》的核心內(nèi)容才是中國本土原著的數(shù)學(xué)著作，而克拉維烏斯的《原本》（下稱“克版”）以及其它西方版本的《原本》系抄襲自中國《幾何原本》。其關(guān)鍵證據(jù)是：西方的《幾何原本》所有版本均完全誤讀了中國的《幾何原本》，因此產(chǎn)生了全面性的錯誤，而唯獨(dú)徐光啟版《幾何原本》（下稱“徐版”）是正確的。《（幾何）原本》在西方的出現(xiàn)應(yīng)不早于蒙古二次西征，即耶元1235年，其以西文形式的出現(xiàn)，應(yīng)不早于耶元1400年，并且此《（幾何）原本》應(yīng)是殘破的。徐光啟版《幾何原本》才是真正的原版《幾何原本》。

一?“度”、“幾何”與“量”的錯誤理解：西方《原本》體系的崩潰

? ? ? ?（一）西方《原本》對“度”和“幾何”的錯誤理解及其公理錯誤

克版為代表的所有西版《原本》從未真正理解“幾何”之含義，這導(dǎo)致其大部分公理的錯誤和整本書的邏輯混亂。換言之，所有西版《原本》都是立不住的。而徐版正確闡述“度”、“幾何”的含義，其公理正確，整本書結(jié)構(gòu)和邏輯清晰。

徐版在卷一的“公論者不可疑”部分給出了幾條公論（公理）：

1、第一論：設(shè)有多度彼此俱與他等，則彼與此自相等。

2、第二論：有多度等，若所加之度等，則合并之度亦等。

3、第三論：有多度等，若所減之度等，則所存之度亦等。

4、第四論：有多度不等，若所加之度等，則合并之度不等。

5、第五論：有多度不等，若所減之度等，則所存之度不等。

6、第六論：有多度俱倍于此度，則彼多度俱等。

7、第七論：有多度俱半于此度，則彼多度亦等。

8、第八論：有二度自相合，則二度必等。

9、第九論：全大于其分。

? ? ? ?克版在與以上九論對應(yīng)的拉丁文中，沒有字詞與以上公論中的“度”相對應(yīng)，而是使用了關(guān)系代詞“那個（Quae）”。譬如第一論的拉丁文為“Quae?eidem aequalia, et inter sesunt aequalia”。

? ? ? ?在徐版卷一的“公論者不可疑”部分后續(xù)公論為：

1、第十四論：有幾何度等，若所加之度各不等，則合并之差與所加之差等。

2、第十五論：有幾何度不等，若所加之度等，則合并所贏之度與元所贏之度等。

3、第十六論：有幾何度等，若所減之度不等，則余度所贏之度與減去所贏之度等。

4、第十七論：有幾何度不等，若所減之度等，則余度所贏之度與元所贏之度等。

5、第十八論：全與諸分之并等。

? ? ? ?徐版從第十四論到第十八論出現(xiàn)了“幾何度”，那這“幾何度”與第一論到第八論的“度”是一回事嗎？如果是一回事，為什么后面突然出現(xiàn)“幾何度”？徐版可能畫蛇添足嗎？

? ? ? ?克版在與第十四論到第十八論對應(yīng)的拉丁文中，同樣沒有與“幾何度”對應(yīng)的字詞，對應(yīng)的拉丁文為“aequalibus”與“inaequalibus”，意為等與不等。由此可知以上徐光啟版《幾何原本》中的“度”與“幾何度”在克版的對應(yīng)拉丁文中均無相關(guān)字詞表達(dá)。

? ? ? ?而目前流行的版本是標(biāo)準(zhǔn)的希思（Thomas Little Heath,1861-1940）英譯評注本The thirteen bools of Euclid’s Elements（《歐幾里得原本13卷》）。這個版本卷一中的公論大為減少，只有：1、等于同量的量彼此相等。2、等量加等量，其和仍相等。3、等量減等量，其差仍相等。4、彼此能重合的物體是全等的。5、整體大于部分。而其中“量”與“物體”的原文都是同一個詞“thing”。很顯然，其并沒有第十四論到第十八論，也就不可能分辨“度”和“幾何度”的區(qū)別。

? ? ? ?由于西方所有版本《幾何原本》的公論（公理）中均沒有闡述“度”和“幾何度”的區(qū)別，所以這所有版本中相對應(yīng)的詞均為“量（magnitudo）”或“連續(xù)量（quantitas continua）”。那現(xiàn)在來看看徐光啟版《幾何原本》如何解釋“幾何”，以及這種解釋對于整本書的意義何在。

? ? ? ?徐版卷五第一界：“分者，幾何之幾何也。小能度大，以小為大之分。以小幾何度大幾何謂之分。曰，幾何之幾，何者謂非？此小幾何不能為此大幾何之分也。如一點(diǎn)無分亦非幾何，即不能為線之分也。一線無廣狹之分，非廣狹之幾何，即不能為面之分也。一面無厚薄之分，非厚薄之幾何，即不能為體之分也。曰，能度大者謂小幾何，大幾何能盡大之分者也。如甲為乙、為丙之分，則甲為乙三分之一，為丙六分之一，無贏不足也。若戊為丁之一即贏，為二即不足，己為丁之三即贏，為四即不足，是小不盡大，則丁不能為戊己之分也。以數(shù)明之：若四于八、于十二、于十六、于二十諸數(shù)皆能盡分，無贏不足也。若四于六、于七、于九、于十、于十八、于三十八諸數(shù)，或贏或不足，皆不能盡分者也。本書所論皆指能盡分者。故稱為分。若不盡分者，當(dāng)稱幾分。幾何之幾如四于六，為三分六之二（即三分之二），不得正名為分，不稱小度大也，不為大幾何內(nèi)小幾何也”。

? ? ? ?這段話清晰地闡述了何為“幾何”：某量可以被更小的某度來整除，此量即為大幾何，此度即為小幾何。若不能整除，就“不為大幾何內(nèi)小幾何也”，換言之，就不叫幾何。本段對不能整除的，給出了另一個專門名詞“幾分”。因此“幾何”與“幾分”是互補(bǔ)的概念。這段話還給出具體數(shù)字的例子：八除以四無余數(shù)，則四是八之小幾何，八為四之大幾何。六除以四有余數(shù)，所以四不是六的小幾何，六不是四的大幾何。故第二界就說：“若小幾何能度大者，則大為小之幾倍”。

? ? ? ?徐版為何要如此定義“幾何”呢？其卷五第四界說：“凡同理之比例有三種，有數(shù)之比例，有量法之比例，有樂律之比例。本篇所論皆量法之比例也”。因此，“幾何”之定義，正是為“量法”，也即“測量之法”而產(chǎn)生的。因?yàn)樵谑褂枚攘亢鈦頊y量物體時，度量衡一定有最小刻度，這個最小刻度的大小就是此度量衡能測量的最高精度。例若最小刻度是厘米，則其測量物體的最高精度就是厘米；若最小刻度是毫米，則其測量物體的最高精度就是毫米。按前段話，若最小刻度是四，則若將其來測量六，則要么為一度，要么為兩度。實(shí)際上取一度時，少測量了二；取兩度時，又多測量了二。只不過因?yàn)樽钚】潭葹樗?，所以沒有辦法測量出二。要想測量出二，就必須采取最小刻度不大于二的更精密的度量衡?！皫住钡募坠俏?/p>

是測量長度的刻度模樣，“何”為“負(fù)荷”，即“測量值”。

? ? ? ?這就是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中的測度論。

? ? ? ?因此按現(xiàn)代的語言，“度”即是指“度量衡的刻度”，“幾何”即是指“相對某特定刻度的可測量”。前述徐版第一論到第九論均是對“刻度”而言，第十四論到第十八論均是對“相對某特定刻度的可測量”而言，兩者具有嚴(yán)格的區(qū)別。以第十八論“（幾何度）全與諸分之并等”為例：以四為一度來測量六，假設(shè)采取四舍五入法，則測量得兩度。如果有兩個六分別測量再加總，則一共有四度。但是如果將兩個六合在一起進(jìn)行測量，則是以四來測量十二，測量得三度。顯然分別測量之后加總測量值，與合并之后一次測量，其值不同。這就違反了“全與諸分之并等”的公論（公理）。同樣地，《幾何原本》中第十四到第十八公論均不再正確。只有可測量，也即“幾何度”才滿足第十四論到第十八論的公論。所以徐版中的“幾何”二字絕不是可有可無的畫蛇添足。

? ? ? ?顯然西方所有版本的《原本》都完全沒有弄明白《原本》的真正意思。因此西方版的《幾何原本》把“度”和“幾何度”均混同為形體的客觀真實(shí)數(shù)值而未認(rèn)識到是刻度和測量值。自然地，西方所有版本的《原本》對這些公論的證明都是錯誤的。

（二）“幾何”是中國自古就有數(shù)學(xué)測量體系

? ? ? ?通常認(rèn)為“幾何”是徐光啟借用中國傳統(tǒng)上“幾何”的“多少”、“數(shù)量”之意，同時諧音西方“Geometry”或“Magnitude”而得。但是中國自古對于“幾何”就有極為準(zhǔn)確的定義。

? ? ? ?第一，“幾”的含義雖然是“多少”或“數(shù)量”，但它卻是指“整數(shù)的多少”或“整數(shù)的數(shù)量”。而這正是徐版《幾何原本》中“幾”的關(guān)鍵性含義。西方各版《原本》均沒有理解此含義，導(dǎo)致其整個公理體系的錯誤，和全書體系的混亂。

? ? ? ?第二，中國古代正是用“幾”來進(jìn)行度量，“幾”是度量衡?！吨芏Y.考工記》說：“室中度以幾，堂上度以筵，宮中度以尋，野度以步，涂度以軌”，其意思是說：“室中用幾來度量，堂上用筵來度量，宮中用尋來度量，野地用步來度量，道路用車軌來度量”。所以“幾何”正是“以度量衡來測度所得數(shù)值”的意思。這個數(shù)值必然是度量衡最小刻度的整數(shù)倍。這與西方各版《原本》中與度量衡完全無關(guān)的“量”的概念截然不同。

? ? ? ?第三，由于“幾”的數(shù)值為整數(shù)，則當(dāng)被測量物體的數(shù)值不滿足最小刻度的整數(shù)倍時，需要作近似處理為整數(shù)倍。所以中國的“幾”又表示“近似（取整）”之意。如：賈誼《論積貯疏》：“漢之為漢，幾四十年矣”。此即“幾乎”之來歷。

? ? ? ?所以“幾何”一詞，正是中國自古以來的測度術(shù)，它的內(nèi)容正是徐版《幾何原本》的內(nèi)容。從數(shù)學(xué)難度看，《幾何原本》的內(nèi)容主要是“度”和“幾何度”的計算以及量綱換算，只有簡單的比例方法和部分無理數(shù)判別方法，其連分?jǐn)?shù)計算方法和無理數(shù)計算方法都沒有。因此其數(shù)學(xué)難度遠(yuǎn)不及《九章算術(shù)》《綴術(shù)》《九章算術(shù)注》《數(shù)書九章》等內(nèi)容，中國自古以來的測度術(shù)完全有能力包含《幾何原本》的內(nèi)容。事實(shí)上并非“幾何”二字來自“Geometry”的音譯，相反乃是“Geometry”來自“幾何”的音譯?？上У氖恰癎eometry”翻譯到了“幾何”的音，卻完全不理解“幾何”之含義。

（三）西方《原本》因錯誤理解“度”和“幾何”而致的體系崩潰

? ? ? ?徐版區(qū)分了有理數(shù)和無理數(shù)的測度。其卷五第三界說：“凡比例有二種，有大合有小合，以數(shù)可明者為大合，如二十尺之線比十尺之線是也。其非數(shù)可明者為小合，如直角方形之兩邊與其對角線可以相比而即非數(shù)可明者是也......即分至萬分以及無數(shù)，終無小線可以盡分能度兩率者是也”。

? ? ? ?因此徐版已經(jīng)闡述了今天的有理數(shù)和無理數(shù)，并且將有理數(shù)比例稱為大合，無理數(shù)比例稱為小合。并指出小合之時，無論刻度的精度多高，都不可能量盡小合比例。換言之，對于無理數(shù)之測量，就會出前述“分別測量之后加總測量值，與合并之后一次測量，其值不同”的同類問題，因此前述公論第十四到第十八均不再正確，產(chǎn)生了由于精度有限而導(dǎo)致的誤差，因此為小合。絕非克版在內(nèi)的所有西方《原本》那樣均以為前述公論在任何情況下均適用。克版在內(nèi)的所有西方《原本》那樣均以為前述公論在任何情況下均適用的原因在于：它們誤以為這些公論的對象是形體的客觀真實(shí)值。

? ? ? ?在徐版中，“大合”乃指“完全精確之合”，“小合”，乃指“由于精度有限而導(dǎo)致的有誤差之合”。那么，對于小合如何處理呢？徐版《幾何原本》卷一第四十七題明確指出：“以開方盡實(shí)者為例，其不盡實(shí)者自具算家分法”。因此徐版指出，對無理數(shù)的處理，要通過算術(shù)系統(tǒng)來完成（中國算術(shù)系統(tǒng)在《墨經(jīng)》中已經(jīng)稱呼無理數(shù)為“面”，在《周髀算經(jīng)》時代已經(jīng)可以通過割圓術(shù)計算無理數(shù)）。其實(shí)其講“即分至萬分以及無數(shù)，終無小線可以盡分能度兩率者是也”，這已經(jīng)在講算術(shù)系統(tǒng)。

? ? ? ?這就解釋了為什么《幾何原本》僅僅給出了無理數(shù)的比例規(guī)則，并未給出無理數(shù)的計算規(guī)則，因?yàn)樾彀嬲J(rèn)為對無理數(shù)的計算屬于算術(shù)系統(tǒng)，也即代數(shù)系統(tǒng)的范疇。雖然徐光啟在序中對《幾何原本》推崇備至，但是徐版正文中非常清晰地給出了本書的定位。徐版還直接引用了分?jǐn)?shù)計算的“通分”而未詳述之，這也說明本書認(rèn)為通分不屬于《幾何原本》的內(nèi)容，《幾何原本》拿來用即可。這也解釋了《幾何原本》中為何沒有分?jǐn)?shù)計算系統(tǒng)。

? ? ? ?徐版同時清晰地區(qū)分了“度”和“幾何”的可分性和不可分性。其卷一第四求中說：“設(shè)一度于此，求作彼度較此度或大或小?；蜓暂^小作大可作，較大作較小不可作。何者，小之至極，數(shù)窮盡故也。此說非是。凡度與數(shù)不同。數(shù)者可以長不可以短，長數(shù)無窮，短數(shù)有限。如百數(shù)減半成五十，減之又減，至一而止。一以下不可損矣。自百以上增之可至無窮。故曰，可長不可短也。度者可以長，亦可以短。長者增之可至無窮，短者減之亦復(fù)無盡。當(dāng)見莊子稱一尺之棰，日取其半，萬世不竭，亦此理也。何者，自有而分，不免為有。若減之可盡，是有化為無也。有化為無，猶可言也，令已分者更復(fù)合之，合之又合，仍為尺棰。是始合之初，兩無能并為一有也。兩無能并為一有，不可言也”。本段話的含義是：刻度是可以任意大，也可以不斷細(xì)分至任意小的；而幾何，也即幾何數(shù)值，可以無窮大，但其最小值為一，不能任意小。這個解釋非常清楚：刻度可以根據(jù)需要而任意調(diào)節(jié)大小，但是以既定刻度測量出的幾何數(shù)，一定是刻度的整數(shù)倍數(shù)，不可能出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，因?yàn)榭潭缺旧砭褪亲罡叩木?，無法表達(dá)出比刻度更小的分?jǐn)?shù)精度。所以刻度可任意小而幾何數(shù)不可任意小。

? ? ? ?由于西方版本《幾何原本》把“度”與“幾何”混同為“形體的真實(shí)值”，所以德謨克利特和他的老師留基伯把中國“幾何”的不可細(xì)分性，誤認(rèn)為線段、面積和立體這些數(shù)學(xué)形體的真實(shí)值是由有限個不可再分的原子構(gòu)成。亦由此可知，所謂德謨克利特出生于公元前五世紀(jì)的觀點(diǎn)也是不正確的。同時這也導(dǎo)致了西方否定零和負(fù)數(shù)。但徐版其實(shí)是說“測量所得的幾何數(shù)”不能為零或負(fù)數(shù)，因?yàn)槿绻麨榱悖误w不存在，就不必測量。形體的值也不可能為負(fù)。這完全是從測量的前提來說的，但不是說在其它情況下也沒有零或負(fù)數(shù)。綜合來看，長期困擾西方的幾乎所有數(shù)學(xué)問題，都是因?yàn)榭戳说焕斫庵袊稁缀卧尽分小皽y量”的前提而產(chǎn)生的。西方所謂從古至今的幾乎所有數(shù)學(xué)爭議、哲學(xué)爭議乃至物理學(xué)爭議的淵源均來自對徐版《幾何原本》的錯誤解讀。由于中國《幾何原本》中缺了分?jǐn)?shù)計算系統(tǒng)和小數(shù)計算系統(tǒng)，缺了位值進(jìn)制的級數(shù)系統(tǒng)，整個西方數(shù)學(xué)亦跟著缺了相應(yīng)部分。因此，西方科學(xué)的全部體系，的確是建立在中國《幾何原本》基礎(chǔ)上的。

? ? ? ?當(dāng)“度”可以任意小后，“此刻度”與“彼刻度”下所測得的幾何值必然就不同，需要進(jìn)行彼此的單位換算，也即量綱換算，以分析數(shù)學(xué)的語言來說，就是“測度變換”。在進(jìn)行測度變換時，由于“此刻度”與“彼刻度”之間再無整數(shù)的比例關(guān)系限定，所以兩種刻度之比既可能是整數(shù)，亦可能是分?jǐn)?shù)，亦可能是無理數(shù)?！稁缀卧尽分械谋壤嬎悴糠郑聦?shí)上就是在闡述測度變換，通俗來說就是單位換算，也即量綱換算。

? ? ? ?因此徐版的結(jié)構(gòu)是清晰的：從點(diǎn)線面體定義開始，闡述測量的刻度（大家熟悉的全等研判等內(nèi)容，事實(shí)上就是在研究刻度，因?yàn)榭潭扰c刻度之間必須相等）、根據(jù)刻度進(jìn)行測量的幾何，再闡述測度變換的比例計算，再闡述測度變換中出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)和無理數(shù)比例，并將具體數(shù)值的計算歸于算術(shù)系統(tǒng)，也即代數(shù)系統(tǒng)。其設(shè)計的數(shù)學(xué)題也樸實(shí)而緊扣主題。這吻合徐版說“凡同理之比例有三種，有數(shù)之比例，有量法之比例，有樂律之比例。本篇所論皆量法之比例也”。故《幾何原本》用今天的話來說，是《測量與單位換算之書》，精煉地說即《可測量之原理》，更簡地說即《測度原理》。其測量精度的闡述，清晰解釋了幾何度的公理不適于非幾何度，絕非西方《原本》那樣弄個“連續(xù)量”就認(rèn)為公理可以普適了。徐版能清晰地解釋現(xiàn)代測度學(xué)中關(guān)于有限或無限的諸多悖論。反觀包括克版在內(nèi)的西方《原本》，把“度”、“幾何”和“真實(shí)數(shù)值”混為一談，其體系結(jié)構(gòu)雜亂無章，亂套公理，也無法解釋為什么缺乏分?jǐn)?shù)系統(tǒng)和算術(shù)系統(tǒng)。

? ? ? ?克版序言中說：“因此歐幾里得，幾何學(xué)的大師，打算在《原本》中以不帶任何數(shù)字的方式傳授幾何學(xué)的完美知識，他在前六卷中處理平面幾何，在后五卷中處理立體幾何，極為清楚地探討了這些圖形的性質(zhì)”。顯然歐幾里得沒有想到真正的《幾何原本》恰恰是為數(shù)字服務(wù)，其核心正是研究歐幾里得最看不起的測量精度和測量單位換算問題。

二?非歐幾何與幾何之階數(shù)

徐版闡述了今所謂非歐幾何，這就是曲線角和雜線角。在其卷一第八界中說：“平角者，兩直線于平面縱橫相遇交接處”。第九界：“直線相遇作角為直線角。平地兩直線相遇為直線角，本書中所論止是直線角。但作角有三等，今附著于此，一直線角，二曲線角，三雜線角，如下六圖”：?

? ? ? ?“平角”是指“角”的形狀為平直，且因縱橫相遇而無零度和一百八十度角。直線角則有零度和一百八十度角。曲線角和雜線角之兩邊則可能為曲線，且不一定在同一平面。

? ? ? ?而克版對應(yīng)的部分不是“平角”，而是“平面角，即兩線在平面上傾斜接觸，但并不彼此融合為一條線”?！捌矫娼恰敝皇钦f“角”的邊線在同一個平面上，但“角”的邊線不一定是直線，但因“傾斜”所以無零度或一百八十度角，所以克版的定義是有缺陷的。此外，不在同一平面上的曲線角和雜角沒有納入克版中。所以徐版所說的“但作角有三等”的確是囊括了平面和立體情況下所有的角的可能?？税媸遣荒芊Q之為“但作角有三等”的。而非歐幾何正是研究曲面上的圖形關(guān)系。所以徐版的曲線角、雜線角正是非歐幾何之淵源，而克版的曲線角、雜線角則不是。徐版說：“本書中所論止是直線角。但作角有三等，今附著于此，一直線角，二曲線角，三雜線角”，說明在《幾何原本》之外尚有專門論述非平面的曲線角和雜線角的著作，這就是后來的非歐幾何。

? ? ? ?現(xiàn)在通行的希思版則連“曲線角”和“雜線角”的闡述都沒有，而是突兀地抄了徐版卷三第十六題：“圓徑末之直角線全在圓外，而直線偕圓界所作切邊角，不得更作一直線入其內(nèi)。其半圓分角大于各直線銳角。切邊角小于各直線銳角”，突然冒出來一個“切邊角”和“半圓（分）角”。所謂“切邊角”如下圖2：?

?? ? ? ??圖2是徐版《幾何原本》中的切邊角，是圓弧與切線所構(gòu)成的角，角的一邊是切線，另一邊是弧線。圖2左邊標(biāo)注“直線”和“弧1”為邊的角為切邊角，圖2右邊標(biāo)注“弧1”與“直線”、“弧2”與“直線”、“弧3”與“直線”構(gòu)成三個切邊角。圖中還有其它切邊角，因未標(biāo)出所以不贅述。圖2左邊是“甲辛”線無法兩分“弧1”和“甲戊”直線構(gòu)成的切邊角。圖2右邊，“弧1”與“直線”構(gòu)成的切邊角可以被“弧2”與“直線”構(gòu)成的切邊角、以及“弧3”與“直線”構(gòu)成的切邊角所分。

? ? ? ?切邊角無法被直線兩分的原因是圓的切線與圓弧的夾角在切點(diǎn)處趨于零。所以任意不為零的直線角都大于切邊角。但徐版并未停留在此，而是進(jìn)一步深入闡述一個重要命題，也即卷十第一題：“設(shè)一小幾何，又設(shè)一大幾何，若從大者半減之，減之又減，必至一處小于所設(shè)小率”。但圖2中直線角無論如何遞減半，其都大于切邊角，故卷十第一題似乎不對。但徐版認(rèn)為切邊角趨于無窮小，而直線角有限小，所以切邊角不是直線角的小幾何，故不滿足卷十第一題“大幾何”與“小幾何”的條件。如果大幾何與小幾何均為切邊角，就可以用小切邊角來分大切邊角，卷十第一題的結(jié)論就正確了。徐版很清楚這是由于度與被度的數(shù)具有不同階數(shù)所致：大幾何與小幾何必須同階。因此徐版說：“彼所言大小兩幾何者，謂夫能相較為大，能相較為小者也。如以直線分直線角，以圓線分圓線角。是已，此切邊角與直線角豈能相較為大小哉？”。所謂“相較為大、相較為小”，不是“比較大、比較小”，乃是指“小幾何不斷以半率增加成為大幾何、大幾何不斷以半率減少成為小幾何”。所以徐版說：“有兩種幾何，一大一小，以小率半增之，遞增至于無窮。以大率半減之，遞減至于無窮，其元大者恒大，元小者恒小”。這句話的含義是：若大幾何不斷減半，小幾何不斷增半。無論遞增和遞減到什么時候，大幾何都大于小幾何，則大幾何與小幾何不能相較為彼此。這是徐版對“階數(shù)”的正確描述。

? ? ? ?而克版的表述是：“第十卷第一條命題是這樣的：如果從兩個不等連續(xù)量（quantitas）中較大的一方減去一個大于它的一半的連續(xù)量，然后繼續(xù)從余下的連續(xù)量中減去它的一半，減而又減，剩余的連續(xù)量就會小于所設(shè)較小的連續(xù)量……同類角的相等需要兩線之間相同的傾斜程度……而在切邊角和半圓角中無法找到相等的傾斜程度，因?yàn)椋ó?dāng)兩角重疊時）它們的線并不重合，而是互相乖違......第十卷第一條命題只能適用于任一個均能增長到超過另一個的幾何，無論它們是同類幾何還是異類幾何。而這并非切邊角和直線銳角的情況”?？税媾c徐版的表述有兩大不同。首先，克版使用的是“連續(xù)量”而不是“大小幾何”。顯然直線角和切邊角都是連續(xù)量，但是直線角連續(xù)量再怎么遞減半，亦不可能小于切邊角連續(xù)量。所以按照克版的表述，第十卷第一條命題就是錯的。其次，克版是從切邊角與直線角永遠(yuǎn)沒有相等的傾斜程度的圖形辨識角度，來判定切邊角怎么增長也無法超過直線角。而徐版是闡述了另一個規(guī)則：“一個大量遞減半，一個小量遞增半，如果小量始終小于大量，則此兩量不能相較為彼此，也即不能為大幾何與小幾何”。這已經(jīng)不限于直線角和切邊角，而是普適性的高階無窮小量判別。這才是真正的數(shù)學(xué)分析。希思版的《幾何原本》第十卷命題一說：“給出兩個不相等的量，若從較大的量中減去一個大于它的一半的量，再從所得的余量中減去大于這個余量一半的量，并且連續(xù)這樣進(jìn)行下去，則必得一個余量小于較小的量”。其沒有提及大量和小量的階數(shù)問題，也沒有提及小量是大量的小幾何的問題，其錯誤就更大了。

? ? ? ?作為刻度確定、測量及單位換算的《幾何原本》，既不是數(shù)學(xué)邏輯的起點(diǎn)也不是數(shù)學(xué)邏輯的終點(diǎn)。西方版《幾何原本》卷一從定義“點(diǎn)”、“線”、“面”開始定義，這似乎是邏輯的起點(diǎn)，但其實(shí)并不對。希思版說：“直線是它上面的點(diǎn)一樣地平放著的線”、“平面是它上面的線一樣地平放著的面”、“等量加等量，其和仍相等”。那么何謂“平放”？顯然是講不清楚的。又如“相等”，應(yīng)該是“一定前提下A和B可以相互置換而不影響結(jié)果，此謂A與B相等”，因此定義中要有前提、有結(jié)果，然后可說“相等”，否則“相等”亦模糊不清。這是西方版《原本》被詬病的真正根子。因此《幾何原本》中的定義不可能是邏輯起點(diǎn)，相反，它必須要引入物理的實(shí)體世界來補(bǔ)充邏輯起點(diǎn)。徐版很清楚這點(diǎn)，因此在正文中寫“直線之中點(diǎn)能遮兩界”、“平面中間線能遮兩界”、“用一直繩拖于角，繞面運(yùn)轉(zhuǎn)，不礙于空，是平面也”。前兩者均用物理世界的光線來定義直線和平面，最后者用力學(xué)來定義直線和平面。在這樣的定義下，《幾何原本》的基礎(chǔ)才牢不可破。西方一直到后來的牛頓，其在《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》里面才意識到力學(xué)是《原本》的邏輯基礎(chǔ)。西方版《原本》由于沒有物理判據(jù)乃至鄙視物理判據(jù)，錯誤地把《原本》理解為純粹形而上學(xué)的數(shù)學(xué)理論書籍，因此其“直線”、“平面”和“等于”等概念不可能講清楚，必然出現(xiàn)混亂。但這種混亂并非非歐幾何產(chǎn)生的根源，徐版中的曲線角、雜線角才是非歐幾何產(chǎn)生的根源。

? ? ? ?要建立純粹的形式邏輯的數(shù)學(xué)系統(tǒng)當(dāng)然亦可以，但此數(shù)學(xué)系統(tǒng)的邏輯起點(diǎn)恰恰必須是在代數(shù)符號系統(tǒng)。需要首先構(gòu)造“數(shù)字符號系統(tǒng)”，再用數(shù)字符號系統(tǒng)來構(gòu)造“加減乘除”、“等于”等原子操作。完成這些邏輯準(zhǔn)備后，才可以進(jìn)一步按勾股關(guān)系來定義“距離”、按等比關(guān)系來定義“直線”。數(shù)學(xué)系統(tǒng)的邏輯終點(diǎn)在于完成刻度選擇及其單位換算后計算出測量結(jié)果。起點(diǎn)和終點(diǎn)都是算術(shù)系統(tǒng)。《幾何原本》恰恰是最具應(yīng)用性的測量工具的算法，它來自中國工匠們拿著具有刻度的尺規(guī)來進(jìn)行測量，以及在不同單位制下對測量值進(jìn)行單位換算的社會實(shí)踐，絕非坐在書齋中的所謂古希臘學(xué)者們鄙視刻度數(shù)字而臆造出的完美的形而上學(xué)的東西。

? ? ? ?克版中亦講了光學(xué)研判標(biāo)準(zhǔn)，但卻擱在注釋部分，因此其對于物理判據(jù)的重要性是缺乏認(rèn)識的。在他看來，這只是補(bǔ)充的形象化說明，而不是《幾何原本》邏輯體系的基礎(chǔ)。克拉維烏斯、歐幾里得等人都厭惡物理世界的引入，而誤以為這是一本完全形而上學(xué)的書。

? ? ? ?綜上所述，本文研判，包括克拉維烏斯拉丁文《原本》在內(nèi)的所有西方《（幾何）原本》，抄襲了中國《幾何原本》，抄襲了中國《幾何原本》關(guān)于“度”和“幾何”的公理等命題，汲取了中國《幾何原本》關(guān)于“幾何”不可無限分、“幾何”為整數(shù)、不可為零、不可為負(fù)等闡述，但又不理解中國《幾何原本》中“度”和“幾何”在測量上的真正含義，而用“量”或“連續(xù)量”將兩者混淆，并將其誤以為是形體的客觀真實(shí)數(shù)值，出現(xiàn)了主要公理等命題的錯誤及證明的體系錯誤。西方所謂自古以來的數(shù)學(xué)爭論、哲學(xué)爭論乃至物理爭論，均是沒有理解中國《幾何原本》中“測量”的前提所致。這也導(dǎo)致了西方版《（幾何）原本》在結(jié)構(gòu)上的混亂和不成體系。但是，不能研判西方所有《（幾何）原本》均是徐光啟版本所標(biāo)注年代之后才產(chǎn)生，蒙古二次東征可能已經(jīng)攜帶部分《原本》到歐洲。但根據(jù)本系列文章的證據(jù)，《（幾何）原本》在西方的出現(xiàn)應(yīng)不早于蒙古二次西征，即耶元1235年，其以西文形式的出現(xiàn)，應(yīng)不早于耶元1400年，并且此《（幾何）原本》應(yīng)是殘破的。徐光啟版《幾何原本》才是真正的原版《幾何原本》，利瑪竇將其送回歐洲，以克拉維烏斯的名義發(fā)表，所以克拉維烏斯版《原本》尤其在注釋部分出現(xiàn)了算術(shù)特色的很多內(nèi)容。但是克拉維烏斯版仍然沒有理解中國版《幾何原本》的精髓。就徐光啟本人，亦很難說真正讀懂了中文《幾何原本》，否則他應(yīng)能指出西文《原本》的基礎(chǔ)性錯誤。中國本土的《幾何原本》即使對于今天的數(shù)學(xué)思想前沿、哲學(xué)思想前沿、物理學(xué)思想前沿，也將起著撥云見日的重要作用。