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第三定義——“積”與“商”轉(zhuǎn)化的絕佳利器（2023新高考Ⅱ圓錐曲線(xiàn)）

2023-06-08 19:32 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過(guò) | 我要投稿

（2023新高考Ⅱ，21）已知雙曲線(xiàn) $C$ 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為 $%5Cleft(%20-2%5Csqrt%7B5%7D%2C0%20%5Cright)%20$ ，離心率為 $%5Csqrt%7B5%7D$ .

（1）求 $C$ 的方程；

（2）記 $C$ 的左、右頂點(diǎn)分別為 $A_1$ 、 $A_2$ ，過(guò)點(diǎn) $%5Cleft(%20-4%2C0%20%5Cright)%20$ 的直線(xiàn)與 $C$ 的左支交于 $M$ 、 $N$ 兩點(diǎn)， $M$ 在第二象限，直線(xiàn) $MA_1$ 與 $NA_2$ 交于 $P$ ，證明：點(diǎn) $P$ 在定直線(xiàn)上.

解：（1）設(shè)由題可知 $c%3D2%5Csqrt%7B5%7D$ ，

又因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%20%3D%5Csqrt%7B5%7D%20" alt="%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%20%3D%5Csqrt%7B5%7D%20">，

所以 $a%3D2$ ，

所以 $b%5E2%20%3Dc%5E2-a%5E2%3D16$ ,

所以 $C$ 的方程為 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B16%7D%3D1%7D$ .

（2）

設(shè)過(guò) $%5Cleft(%20-4%2C0%20%5Cright)%20$ 的直線(xiàn) $l$ 的方程為：

$m%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%2Bny%3D1$ ，

因其過(guò) $%5Cleft(%20-4%2C0%20%5Cright)%20$ ，故有

$m%5Cleft(%20-4%2B2%20%5Cright)%20%2Bn%5Ccdot%200%3D1$ ，

解得 $m%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ ，

故 $l$ 的方程為 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%2Bny%3D1%7D$ .

$C$ 的方程可變形為

$%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2-4x-4%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B16%7D%3D1$ ，

即 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D-%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B16%7D%3D0%7D$ ，

與 $l$ 聯(lián)立得：

$%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D-%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5Cleft%5B%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%2Bny%20%5Cright%5D%20-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B16%7D%3D0$

展開(kāi)

$%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2-n%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20y-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B16%7D%3D0$

并項(xiàng)

$%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2-n%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20y-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B16%7D%3D0$ ，

各項(xiàng)同除以 $%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2$ ，得

$%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7By%7D%7Bx%2B2%7D%20%5Cright)%20%5E2%2Bn%5Ccdot%20%5Cfrac%7By%7D%7Bx%2B2%7D-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%3D0%7D$

故 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bk_%7BMA_1%7D%5Ccdot%20k_%7BNA_1%7D%3D%7D%5Cfrac%7B-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D%7D%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B-12%7D$ .……（ $%5Coplus%20$ ）

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=N%5Cleft(%20x_2%2Cy_2%20%5Cright)%20" alt="N%5Cleft(%20x_2%2Cy_2%20%5Cright)%20">在 $C$ 上，故

$%5Cfrac%7Bx_%7B2%7D%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7By_%7B2%7D%5E%7B2%7D%7D%7B16%7D%3D1$ ，