運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素?cái)?shù)之和

崔坤

中國青島即墨，266200，E-mail:cwkzq@126.com

摘要:

數(shù)學(xué)家劉建亞在《哥德巴赫猜想與潘承洞》中說：“我們可以把這個問題反過來思考, 已知奇數(shù)N可以表成三個素?cái)?shù)之和， 假如又能證明

這三個素?cái)?shù)中有一個非常小，譬如說第一個素?cái)?shù)可以總?cè)?， 那么我們也就證明了偶數(shù)的哥德巴赫猜想。”，

直到2013年才有秘魯數(shù)學(xué)家哈羅德賀歐夫格特徹底證明了三素?cái)?shù)定理。

關(guān)鍵詞:三素?cái)?shù)定理，奇素?cái)?shù)，加法交換律結(jié)合律

中圖分類號：O156 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

Mathematical induction proves that every odd number greater than or equal to 9 is the sum of 3 + two odd prime numbers

abstract：Mathematician Liu Jianya said in "Goldbach Conjecture and Pan Chengdong": "We can think about this problem in

reverse. Knowing that the odd number N can be expressed as the sum of three prime numbers, if it can be proved that one of

the three prime numbers is very Small, for example, the first prime number can always be 3, then we have proved

Goldbach’s conjecture for even numbers.” It was not until 2013 that Peruvian mathematician Harold Hoofgert completely

proved the three prime number theorem.

keywords：Triple Prime Theorem, Odd Prime Numbers, Commutative Law of Addition, Associative Law

證明：

根據(jù)2013年秘魯數(shù)學(xué)家哈羅德·賀歐夫格特已經(jīng)徹底地證明了的三素?cái)?shù)定理：

每個大于等于9的奇數(shù)都是三個奇素?cái)?shù)之和，每個奇素?cái)?shù)都可以重復(fù)使用。

它用下列公式表示：Q是每個≥9的奇數(shù)，奇素?cái)?shù)：q1≥3，q2≥3，q3≥3，

則Q=q1+q2+q3 根據(jù)加法交換律結(jié)合律，不妨設(shè)：q1≥q2≥q3≥3，

則Q-3=q1+q2+q3-3 顯見：有且僅有q3=3時，Q-3=q1+q2，

否則，奇數(shù)9，11，13都是三素?cái)?shù)定理的反例。

即每個大于等于6的偶數(shù)都是兩個奇素?cái)?shù)之和

推論Q=3+q1+q2，即每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素?cái)?shù)之和。

我們運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法做如下證明：

給出首項(xiàng)為9，公差為2的等差數(shù)列：Qn=7+2n：{9,11,13,15,17,.....}

Q1= 9

Q2= 11

Q3= 13

Q4= 15

.......

Qn=7+2n=3+q1+q2,(其中奇素?cái)?shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Qn≥9，n為正整數(shù)）

數(shù)學(xué)歸納法：

第一步：當(dāng)n=1時 ，Q1=9 時 ，Q1=9=3+q1+q2=3+3+3成立

第二步：假設(shè) ：n=k時，Qk=3+qk1+qk2，奇素?cái)?shù)：qk1≥3，qk2≥3,成立。

第三步：當(dāng)n=k+1時,Q（k+1）=Qk+2=3+qk1+qk2+2=5+qk1+qk2

即：Qk+2=Q（k+1）=5+qk1+qk2

即每個大于等于11的奇數(shù)都是5+兩個奇素?cái)?shù)之和，

從而每個大于等于6的偶數(shù)都是兩個奇素?cái)?shù)之和。

而這個結(jié)論與“每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素?cái)?shù)之和”是等價的

即：Qk+2=3+qk1+qk2+2=5+qk1+qk2=3+qk3+qk4,奇素?cái)?shù)：qk3≥3，qk4≥3

故：Qk+2=3+qk3+qk4,奇素?cái)?shù)：qk3≥3，qk4≥3

綜上所述，對于任意正整數(shù)n命題均成立，

即：每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素?cái)?shù)之和

同時，每個大于等于11的奇數(shù)Q=3+p1+p2=5+p3+p4,(p1,p2,p3,p4均為奇素?cái)?shù)）

結(jié)論：每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素?cái)?shù)之和，

Q=3+q1+q2，（奇素?cái)?shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Q≥9）

參考文獻(xiàn)：

[1]Major Arcs for Goldbach's Theorem. Arxiv [Reference date 2013-12-18]

[2] Minor arcs for Goldbach's problem．Arxiv [Reference date 2013-12-18]