『數(shù)學』點的存在性問題4:直角三角形＆二次函數(shù)例題精講1(余式定理)
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『點的存在性問題』系列傳送門:
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第四期:平行四邊形
第五期:直角三角形(現(xiàn)在你所在位置)
? ? ? ? 別問我為什么現(xiàn)在還能更新,誰不會偷偷用電腦啊(doge.
讀前須知:
? ? ? ? 本期例題需要用到從A到S共19個字母,請仔細辨析.
? ? ? ? 本期要解四次方程,可能會用到雙十字相乘法,建議酌情觀看及學習.
正文:
? ? ? ? 我承認,這一期的難度是有的,但為什么要把這個題叫做例題呢?因為這題和那些難題相比,它是可以想出來怎么做的,只是計算難了些而已,所以它最多只能說是例題.
? ? ? ? 那我們開始吧.
一.例題
例.(2022海南)如圖1,拋物線經過點A(-1,0),C(0,3),并交x軸于另一點B,點P在第一象限的拋物線上,AP交直線BC于點D.
? ? ? ? (1)求拋物線的函數(shù)解析式;
? ? ? ? (2)當點P的坐標為(1,4)時,求四邊形BOCP的面積;
? ? ? ? (3)點Q在拋物線上,當的值最大且△APQ是直角三角形時,求點Q的橫坐標;
? ? ? ? (4)如圖2,點G在x軸上且橫坐標為n,點H在第一象限內,滿足且CH=CG,過GH的中點K作KI平行于y軸,交拋物線于點I,連接IH,以IH為邊作出如圖所示的正方形HIMN,當頂點M恰好落在y軸上時,請直接寫出點G的坐標.
? ? ? ? 這里我對題目進行了一些刪改,其實主要就是廢話的刪去.
? ? ? ? 像(4)問根本不需要點P,所以我才把題目給改一下.
? ? ? ? 若是不想聽這個題的話,請直接跳過.
二.講解
? ? ? ? (1)問不想說,.
? ? ? ? (2)問老辦法,過P作交BC于E.如圖4:
? ? ? ? 易得lBC:y=-x+3,則E(1,2),PE=2.
? ? ? ? 則S四邊形BOCP=S△BOC+S△CPB==
.
? ? ? ? (3)問的最值其實也是老辦法,但是我們要把兩動線段的比值轉換為一定一動的比.
? ? ? ? 如圖5,過點A作AF平行于y軸交直線BC于F.
? ? ? ? 那么就有△PDE∽△ADF,可得.
? ? ? ? 有時像這種比例最值還會考三角形面積之比的最值,如,其實就和剛剛的轉換一樣,只不過用兩三角形等高將面積之比轉換為線段之比罷了.
? ? ? ? 設,則E(m,-m+3),F(-1,4),可得
,AF=4.
? ? ? ? ?配方,可得,易得
.
? ?? ? ?接下來我們就討論直角三角形的存在性問題.
? ? ? ??①∠APQ=90°
? ? ? ? 如圖6,作于P交拋物線于Q.
? ? ? ? 易得lAP:,可得lPQ1:
.
? ? ? ? 聯(lián)立拋物線可解得.
? ? ? ? ②∠PAQ=90°
? ? ? ? 如圖7,作于A交拋物線于Q.
? ? ? ? 同理,有l(wèi)AQ2:,與拋物線聯(lián)立解得
.
? ? ? ? ③∠AQP=90°
? ? ? ? 如圖8,以AP為直徑畫圓L交拋物線于Q.
? ? ? ? 易得,可得
,即
.
? ? ? ? 將其與拋物線聯(lián)立,可得一個四次方程.
? ? ? ? 估計同學們看到這個方程的時候估計腦袋都大了,畢竟我們只學到了一元二次方程,面對四次方程我們也只能望著發(fā)呆(｀?ω?′).
? ? ? ? 那么這時候又該怎么辦呢?有同學想到用一元四次方程的求根公式來求根,emm...我只能說你慢慢去用公式求根吧.
? ? ? ? ?其實我們可以思考一下這個四次方程的根的函數(shù)意義是什么?就是那個圓和拋物線的交點的橫坐標,對吧?你想一下,這個圓和拋物線交于哪些點?除了點Q,還有點A和點P哇!那么可以說明這個四次方程有兩根為點A和P點的橫坐標,對吧.
? ? ? ? 如果理解不了就算了,你就只能用試根的方法來求解了.
? ? ? ? 據上所述,那么那個四次五項式就有因式(x+1)(2x-3)了,對吧?你想嘛,如果存在x=m使一個多項式的值為0,那么原多項式就可以寫成(x-m)乘以另外一坨多項式,只有這樣才可以保證當x=m時,原多項式的值為0.
? ? ? ? 剛剛說的內容其實和余式定理差不多了.你們應該可以理解吧.
? ? ? ? 對四次方程因式分解,得.
? ? ? ? 對二次三項式進行十字相乘法分解,得(x+1)(2x-3)(x-1)(2x-5)=0.
? ? ? ? 解得x1=-1,x2=1,,可得
.
? ? ? ? 綜上,.
? ? ? ? 這里我把(3)問的輔助線放一下,如圖9
? ? ? ? (鬼知道我在解一元四次方程的時候在想的什么,居然再用雙十字相乘法,重點是還分解出來了!)(喜
? ? ? ? (4)問就是一個一線三等角的應用而已罷了.
? ? ? ? 如圖10,
? ? ? ? 不難得出,有OG=JH=-n,則H(3,3+n).
? ? ? ? 可得,也就得到了IR的長度.
? ? ? ?又由,可得
.
? ? ? ? 這里我們不先急著把I的坐標代入拋物線中求n,我們可以觀察I的橫縱坐標滿足的關系,是不是y=3x呢?那就說明I既在拋物線上,又在y=3x上.
? ? ? ? 那么我們把y=3x與拋物線聯(lián)立,解得.
? ? ? ? 可得.那么G的坐標就求出來了.
? ? ? ? 呼,終于講完題了_(|3」∠)_.
三.方法講解
? ? ? ? 其實直角三角形的存在性問題和矩形的模型完全一樣,就是少了一個平移罷了.當然你們也可以用"一線三等角"做,但"一線三等角"不能判定點的個數(shù).反正有利有弊吧.
? ? ? ? 要模型的詳見"矩形的點的存在性問題".
? ? ? ? 余式定理的內容主要是這樣的:如果存在x=m使一個多項式的值為0,那么原多項式就有一個因式為(x-m).這個在解高次方程的時候可以先通過試根來判斷原方程有什么因式,再通過多項式除以多項式得到一個比較低次的方程,求解那個方程的根是比較容易的,這樣我們就可以用余式定理來對高次方程降次,求解會容易一些.
? ? ? ? 而雙十字相乘法是用于分解形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f(a,b,c,d,e,f為常數(shù))的二次六項式的方法.那么我們如何用它來分解四次五項式呢?
? ? ? ? 首先我們要先知道它的分解原理,我們先把式子寫在下一排:
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f
a?? ? ? ? ? ? c??? ? ? ? ? ? ?f?
a???? ? ??? ? c???? ? ? ? ? ? f?
? ? ? ? 若滿足a?a?=a,c?c?=c,f?f?=f,且a?c?+a?c?=b,c?f?+c?f?=e,a?f?+a?f?=d,則原二次六項式可以分解為(a?x+c?y+f?)(a?x+c?y+f?).
? ? ? ? 肯定有同學問怎么證明,這個嗎,你就自己把剛剛那個式子自己乘回去,看看和原多項式一不一樣.
? ? ? ? 而對于四次五項式,我們可以令x2=y,化為上面的二次六項式即可.這里就拿剛剛那個例題里得到的四次五項式舉例.
? ? ? ? 對于四次五項式,我們令z=x2,可以化得4z2-16xz+ax2+bz+16x-15(a,b為常數(shù)且a+b=11).
? ? ? ? 這里也就是用雙十字相乘法分解它的不便之處,需要慢慢試a,b的值來看可不可以分解(惱.
? ? ? ? 這里我?guī)湍阍嚵艘粋€:
4z2-16xz+7x2+4z+16x-15
2? ? ? ? ? ? -1? ? ? ? ? ? ? ? ? -3
2? ? ? ? ? ? -7? ? ?? ? ? ? ? ? ? 5
? ? ? ? 原多項式就可以化為(2z-x-3)(2z-7x+5),即(2x2-x-3)(2x2-7x+5),再用十字相乘進行因式分解,可得(x+1)(2x-3)(x-1)(2x-5),和剛剛我們分解的完全一樣.
? ? ? ? 那么我這里關于它的講解就到這里,感興趣的同學們可以在B站上自己尋找學習.
? ? ? ? 那么這期到這里就結束了.
后記:
? ? ? ? 在這里附上我做這個題的過程和部分草稿
? ? ? ? 92頁正中間就是用列豎式的方法來進行多項式除多項式的運算,可以用它來幫助進行高次多項式的因式分解.
? ? ? ? 這期不是所有東西都需要大家懂,比如雙十字相乘法,大家了解即可.
? ? ? ? 還有那個別忘了:
? ? ? ? 工程鏈接:?https://www.desmos.com/calculator/adnlf9f68l?lang=zh-CN .
