第六章 對形式化方法的哲學考察

主要問題：形式化的一般程序及其本質(zhì)、形式系統(tǒng)的解釋或模型、希伯特規(guī)劃和形式主義、形式化方法的作業(yè)及其內(nèi)在的局限性。

并闡述以下看法：

（1）形式系統(tǒng)的實質(zhì)是：完全撇開所使用符號的意義，撇開該符號系統(tǒng)所使用的對象范圍，只憑借明確給出的與符號的字形（結(jié)構(gòu)）相關(guān)的語法規(guī)則構(gòu)造形式系統(tǒng)，然后對如此構(gòu)造的系統(tǒng)進行解釋。

（2）在形式系統(tǒng)的解釋方面，邏輯學經(jīng)歷了從單世界假定到多世界模型的演變。在此過程中，邏輯研究的重心經(jīng)歷了從證明論到模型論的演變。

（3）形式化把精確性、嚴格性、顯明性、能行性和普遍性等帶入理論研究之中，促使理論研究走向深入和深化；但它也具有許多內(nèi)在的局限，如適用范圍的狹窄性、研究結(jié)果的嘗試性、作用程度的有限性等。

?

一．??????? 形式化的一般程序及其本質(zhì)

形式化是將一套特制的人工符號（形式語言）應用于演繹體系以使其嚴格化、精確化的程序和方法。形式化總是使某一理論形式化，這是指把該理論中的概念轉(zhuǎn)化為形式語言中的符號，命題轉(zhuǎn)化為符合公式，定理的推演轉(zhuǎn)換為符號公式的變形，并把一個證明轉(zhuǎn)換成符號公式的有窮序列，從而把對理論中概念、命題、推理的研究，轉(zhuǎn)化為對符號表達式組成的形式系統(tǒng)的探究。

形式化系統(tǒng)包括三個大步驟：

（1）???? 做預備性研究。例如，澄清該理論中的概念與命題，消除它們的歧義與不精確之處，弄清楚它們之間的邏輯關(guān)系，以便確定哪些概念 、命題是基本的，哪些概念、命題是派生的，如此等等。

（2）???? 構(gòu)造形式系統(tǒng)。設(shè)計一個形式語言，包括字母表以及形成規(guī)則。然后為其裝配演繹系統(tǒng)，包括公理以及變形規(guī)則。最后推出所需的全部定理。

（3）???? 對形式系統(tǒng)進行解釋。

?

步驟2中的知識點：

在量化公式中，若量詞后面無括號，則量詞后面最短的合式公式叫做該量詞的轄域；若括號，則處于括號內(nèi)的公式是該量詞的轄域。

處在量詞轄域內(nèi)的一切與量詞里的變項相同的變項都被此量詞所約束，叫做約束變項。

不在任何量詞的轄域內(nèi)，或雖在某量詞的轄域內(nèi)但與該量詞內(nèi)的變項不同的變項，則不為該量詞所約束，叫做自由變項。

?????? 含有一個或多個自由變項的量化公式叫做開公式。

?????? 不含任何自由變項的量化公式叫做閉公式。

自然語言缺點：

（1）???? 不精確，有嚴重的歧義。

（2）???? 語法復雜，甚至是混亂的。

（3）???? 表達方式極其笨拙，表現(xiàn)方式有時極為繁瑣。

?

故形式語言的優(yōu)點有：

（1）???? 單義，故精確。

（2）???? 語法明確，結(jié)構(gòu)簡單。

（3）???? 書寫方便，表達能力強，易理解。

?

?

步驟3中的知識點：

形式系統(tǒng)一經(jīng)構(gòu)造完成之后，本身立刻就成為研究的對象，成為對象理論。

以形式系統(tǒng)為對象的理論稱為元理論。

如果元理論的對象是邏輯形式系統(tǒng)，特別是一階邏輯形式系統(tǒng)，則稱這種元理論為元邏輯。

?

元理論是從語法和語義兩個角度研究形式系統(tǒng)的性質(zhì)的。語法處理和研究形式系統(tǒng)內(nèi)符號和符號的關(guān)系。

邏輯語法包括：基本語法和理論語法。

基本語法：涉及形式系統(tǒng)的構(gòu)造，規(guī)定了用形式化方法構(gòu)造形式系統(tǒng)的程序。首先給出該系統(tǒng)的字母表，其次是形成規(guī)則，再次是公理，最后是變形規(guī)則，剩下的工作就是根據(jù)變項規(guī)則從公理推出定理。

理論語法：把構(gòu)造好的形式系統(tǒng)本身作為研究對象，研究其語法特性，諸如語法意義上的一致性、完全性、獨立性、可判定性等。

用語法語言陳述的定義叫語法定理，用語義語言陳述的定理叫語義元定理。與元定理相對應，用對象語言陳述的形式系統(tǒng)內(nèi)的定理叫內(nèi)定理。

語義處理和研究形式系統(tǒng)中符號和它所指稱、所刻畫的對象之間的關(guān)系

形式系統(tǒng)的解釋把形式系統(tǒng)與已定的對象域連接起來，從而賦予形式系統(tǒng)內(nèi)的初始符號和公式以一定的意義。

?

元理論要研究有關(guān)形式系統(tǒng)的以下問題：

（1）???? 形式系統(tǒng)是否具有一致性（或相容性）？

一致性有語法和語義兩種涵義。語義一致性是指，一切在這形式系統(tǒng)內(nèi)可證的公式都是真的，即可靠性。語法一致性是指，并非任一合式公式都在系統(tǒng)內(nèi)可證。

因此，一致性不僅指一個形式系統(tǒng)中沒有邏輯矛盾，而且是指它不可能產(chǎn)生矛盾。語義一致性可推出語法一致性。

?

（2）???? 形式系統(tǒng)是否具有完全性？

完全性也有語法和語義兩種涵義。

語法完全性又有強的和弱的兩種意義。強完全性是指屬于一形式系統(tǒng)的每一公式都是或者可證的，或者是不可證的；弱完全性是指，如果把一形式系統(tǒng)中不可證的公式加到公理之中，該系統(tǒng)必將導致矛盾。

語義完全性是指：一形式系統(tǒng)內(nèi)所有與真命題相應的合式公式都在這一系統(tǒng)內(nèi)可證。

（3）???? 形式系統(tǒng)是否具有可判性？

可判定性與能行方法的概念是分不開的。所謂能行方法，就是每一步都由先給定的規(guī)則規(guī)定了的，并且在有窮步內(nèi)結(jié)束的方法。所謂能行可判定，是指對一類問題有一能行方法，對任給該類中的問題，能在有窮步內(nèi)確定它是否有這個性質(zhì)，或者任給一對象能在有窮步內(nèi)確定它是否屬于該類。

（4）???? 形式系統(tǒng)的公理集是否具有獨立性？

獨立性就是相對于給定的變形規(guī)則的可推演性。一公式集合M是獨立的，如果M中的任一公式A都不能根據(jù)給定的推演規(guī)則從M中其他公式推演出來。

（5）???? 形式系統(tǒng)是否具有范疇性？

范疇性知識相對于有模型并且有兩個以上的模型的形式系統(tǒng)而言的。具體來說，它是指一個形式系統(tǒng)的所有模型都是同構(gòu)的，而兩個模型同構(gòu)則是指：兩個模型的論域中的元素及其關(guān)系能夠保持一一對應。

?

形式化、符號化、公理化三者聯(lián)系與區(qū)別：

?????? 符號化通常有兩種：一是以使用自然語言為主，同時也使用某些特制的人工符號去表示所討論的理論中特定的概念、命題甚至定理，即初步符號化。二是指將所討論的理論中特定的概念、命題、推理分別全部轉(zhuǎn)換為人工符號、符號序列、符號序列的變換，并且這些符號及其序列還必須保持嚴格的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，即嚴格意義的符號化，亦是“構(gòu)造形式語言”。符號化是形式化的前提，但前者并不是后者，前者只是后者過程中的一個步驟或環(huán)節(jié)。

?????? 公理化，是指把一個科學理論構(gòu)造稱為公理系統(tǒng)的演繹方法，它至少包含以下步驟：一是從該理論的諸多概念中挑選出一組初始概念，該理論的其他概念，都由初始概念通過定義引入，稱為導出概念；二是從它的一系列命題中挑選出一組公理，而其余的命題都應用邏輯從公理推演出來，稱為定理。應用邏輯規(guī)則從公理推演定理的過程被稱為一個證明，每一個定理都須經(jīng)由證明而肯定。由初始概念、導出概念、公理、定理過程的演繹系統(tǒng)，被稱為公理系統(tǒng)。形式化的前提是公理化，但又不等同于公理化。因為有些公理系統(tǒng)的對象域是事前給定的，并且基本上是用自然語言加上特定的的符號語言陳述的；而形式系統(tǒng)事先不給定任何論域，事后容許許多不同的解釋，并且全都用人工構(gòu)造的形式語言陳述的。

?????? 形式化是嚴格符號化與公理化相結(jié)合的產(chǎn)物，是公理化發(fā)展的高級階段。

?

二．??????? 模型：從現(xiàn)實世界到可能世界

伴隨著語義思考從現(xiàn)在世界模型到可能世界模型的發(fā)展，邏輯研究的重心也經(jīng)歷了從語形學（證明論）到語義學（模型論）的變化。

?

1.???? 現(xiàn)實世界模型

在考慮形式系統(tǒng)解釋時，只考慮現(xiàn)實世界及其對象，就是所謂的“現(xiàn)實世界模型”。

?

?????? 亞里士多德在《后分析篇》探討了實質(zhì)公理化。他認為，一個演繹科學理論可視作一個關(guān)于某一確定領(lǐng)域的概念和命題的體系，其中全部概念分為基本概念和派生概念，后者是由基本概念運用定義直接或間接加以規(guī)定的概念，全部命題分為基本命題和導出命題?；久}包括公理和公設(shè)，它們構(gòu)成系統(tǒng)內(nèi)一切證明的出發(fā)點，公理必須依據(jù)經(jīng)驗或直觀而明顯為真，它們?yōu)橐磺锌茖W所共有。公設(shè)則是某一門科學所接受的第一性原則，毋需證明，但其真是與否要接受推出結(jié)果的檢驗。從公理和公設(shè)出發(fā)，經(jīng)使用邏輯規(guī)則進行推導，得到導出命題，亦稱定理。由基本概念和派生概念、公理、公設(shè)、推理規(guī)則和定理構(gòu)成的理論體系就是公理系統(tǒng)。

?

2.???? 抽象、一般的模型

在抽象、一般地考慮形式系統(tǒng)的解釋或模型時，通常分兩步進行：第一步是為該系統(tǒng)的形式語言指定論域，并給出形式語言內(nèi)個體常項、函數(shù)符號、謂詞符號在該論域中所分別代表的特指個體、函數(shù)運算以及性質(zhì)或關(guān)系，這些結(jié)合在一起組成一個結(jié)構(gòu)。第二步是在此結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上再指定個體變項所代表的個體，這成為指派。一個結(jié)構(gòu)加上結(jié)構(gòu)上的一個指派才構(gòu)成一個完整的語義解釋（亦稱賦值）。

如果有賦值使一個公式為真，我們稱該公式為可滿足的；如果一公式對于任何結(jié)構(gòu)中的任一指派（即任意賦值）都是真的，我們稱詞公式為常真公式，或普遍有效式、永真式。

一個系統(tǒng)內(nèi)的公式相對賦值就被區(qū)分為：（1）可滿足的（2）不可滿足的（3）邏輯有效的。公式集也可以區(qū)分為這三種。

?

3.???? 可能世界模型

邏輯真理：在所有的可能世界都真的真理。

?

模態(tài)語義理論（即可能世界語義學）改進：

（1）???? 命題的真假相對化

（2）???? 必然性、可能性功能相對化

（3）???? 可能世界之間具有一定關(guān)系

?

滿足——在某個模型的某個可能世界上為真。

邏輯有效性——一模態(tài)公式在由任一模型所組成的模型類中有效。

可靠的——一個模態(tài)邏輯系統(tǒng)的所有定理都在一給定模型類的每一個模型中有效。

?

經(jīng)典邏輯的規(guī)律就在每一個可能世界內(nèi)都成立。

?

三．??????? 希爾伯特規(guī)劃和形式主義

所謂“希爾伯特規(guī)劃”，是由著名德國數(shù)學家希爾伯特于20世紀初期提出的一種數(shù)學方案，其要點是：將各門數(shù)學形式化，構(gòu)成形式系統(tǒng)或形式理論，然后用有窮方法證明各形式系統(tǒng)的一致性，從而導出全部數(shù)學的一致性，以此保衛(wèi)古典數(shù)學。

希爾伯特把數(shù)學分為三類：（1）非形式化的數(shù)學，即通常直觀的數(shù)學。（2）形式化的數(shù)學，即把通常的數(shù)學表示為形式系統(tǒng)的結(jié)果。（3）元數(shù)學，亦稱證明論，它是以形式化數(shù)學為研究對象的一種數(shù)學，其主要目的是證明各個數(shù)學分支的絕對一致性。

?

有窮方法的特點：

（1）???? 每一步只考慮確定的有窮數(shù)量的對象，承認潛無窮，但不處理實無窮對象；

（2）???? 論域、判斷或定義的對象必須滿足能徹底給出，其過程能徹底進行；

（3）???? 全稱命題只能在假言意義下理解，即任給一個對象都能有窮地證實它具有所說的性質(zhì)。

?

哥德爾在試圖按希爾伯特規(guī)則行事中的過程中，得到一個否定性的結(jié)果：如果一個包括初等數(shù)論的形式系統(tǒng)是一致的，那么其一致性不能用有窮方法甚至不能用一階邏輯和初等數(shù)論的方法來證明。

形式主義者認為實在論有兩大問題：

（1）???? 實在論肯定實無窮沒有直觀上可信的合理根據(jù)。

（2）???? 實在論構(gòu)成對數(shù)學研究中自由思想的壓制，因為實在論認為我們只能認識而不能創(chuàng)造數(shù)學對象。

?

形式主義的兩個核心觀點受到質(zhì)疑：

（1）???? 否認實無窮的實在性進而否認所有數(shù)學對象的實在性。

（2）???? 把數(shù)學對象的存在性和數(shù)學命題的真理性完全歸結(jié)為“一致性”或“相容性”。

四．??????? 形式化方法的作用和限度

1.???? 形式化的必要性

（1）???? 形式化為科學研究提供了一種新的視角和新的思考方式。

（2）???? 形式化有助于提高一個理論的嚴格性和精確性，有助于排除理論思維中的謬誤。

（3）???? 形式化有助于揭示一個理論的概念、范疇、命題的潛在涵義及其相互之間的潛在邏輯關(guān)系，從而促使理論研究走向深入。

（4）???? 形式化有助于不同觀點的比較和辨識，為不同觀點之間的交流、討論、批判提供了前提和基礎(chǔ)。

2.???? 內(nèi)在局限性

（1）???? 適用范圍的狹窄性。①不是一切理論都可以被形式化。②并不是一個理論的一切都可以被形式化。

（2）???? 研究結(jié)果的嘗試性。應用形式化方法得到的形式理論，只是一種暫時性和嘗試性的理論。來源是①在關(guān)于任何對象的非形式思想中，在相關(guān)性、一致性和清晰性方面存在著某種程度的松散性和薄弱性從而導致系統(tǒng)化理論的暫時性。②在構(gòu)造形式系統(tǒng)時，在形式語言和演繹裝置的設(shè)計與選擇上存在問題，如概念不夠基本，推理規(guī)則選擇不夠恰當。

（3）???? 作用程度的有限性。①哥德爾不完全性定理，第一定理說明，任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數(shù)論的形式系統(tǒng)，都存在一個命題，它在這個系統(tǒng)中既不能被證明為真，也不能被證明為否。第二定理說明，如果系統(tǒng)S含有初等數(shù)論，當S無矛盾時，它的無矛盾性不可能在S內(nèi)證明。②丘奇-圖靈的不可判定性定理，對于系統(tǒng)S而言，必然是不可判定的，即不存在可以用來判定其中的任一命題是否可證的算法。③塔斯基的真概念不可定義性定理，對于系統(tǒng)S而言，其真概念在本系統(tǒng)中是不可被定義的。