牌手在卡組構(gòu)筑時以及對決過程中時常面臨以下問題：在不撕卡的情況下骰子一般支持怎樣的攻擊節(jié)奏？如果希望使用單色角色連續(xù)進攻我方撕卡的預(yù)期數(shù)量是多少？攜帶某張高費對策卡牌時我方能單回合內(nèi)在不影響正常進攻節(jié)奏的情況下使出該卡概率是多少？如果不計成本地傾斜資源使出該卡的概率又是多少？在首次投擲中獲得特定骰子組合后在重擲時應(yīng)采取怎樣的策略？

以上問題的解答對于指導(dǎo)對局決策以及評價單卡強度具有相當(dāng)分量的意義，但許多牌手在面對這些概率問題時又可能會有一種無力感：該如何使用數(shù)學(xué)語言描述這些骰子問題，又該用怎樣的算式解決這些概率問題呢？在本篇中紅衣（請允許筆者冒昧以此自稱）就此進行展開以為您提供一些解決骰子概率問題的思路，而在文末紅衣還將簡單分享與介紹一些骰子概率問題相關(guān)的算式，并在下一篇文章中詳盡展開。

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一、本文及后續(xù)討論將可能用到的一些概念

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爆炸的工作量使得紅衣暫時棄坑了魈卡的強度及決策相關(guān)概率分析，卻厘清了一些元素骰子概率問題常用的概念。盡管七圣召喚已經(jīng)發(fā)布了一個版本，但各社區(qū)對于骰子概率的討論并不多，在再次動筆概率討論前紅衣少有地去了社區(qū)搜索相關(guān)內(nèi)容，卻發(fā)現(xiàn)大家似乎并不樂意對這些概念作系統(tǒng)性的闡述。因此請允許紅衣在正式開始討論前先對這些概念進行一下說明。

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（一）用于描述事件的相關(guān)概念

在同時考慮攻擊與打出純色手牌時我們可能會如此描述一個事件：“我方三名角色分別持有火、火、水3種神之眼，在未放置骰子相關(guān)場地卡時，在首輪投擲中我方獲得3個水火或萬能骰子并且另外獲得3個非水火非萬能的相同顏色的骰子，剩余2個骰子既非水火、萬能也非前文所言的純色骰子”。這段描述是必要的，精確的描述使它能夠避免歧義對情景的誤導(dǎo)，但顯然它也是冗長的，即使是在描述單個情景它也極大地拖慢了交流及記錄的速度，更別提在綜合考慮首次投擲與重新投擲時我們將反復(fù)申明與之類似的事件，因此紅衣希望以更加簡明的、近于公式化的表達來描述事件，例如：“（色8）擲8純3靶3中靶3”。

“色”：指骰子所可能出現(xiàn)的顏色種類，默認為8且通常不予列出。

“擲”：指用于投擲的骰子數(shù)量，擲8即指投擲8個骰子。

“純”：純色骰子組指由同顏色的骰子組成的骰子組合，一串骰子中骰子數(shù)量最多的純色骰子組的骰子數(shù)即為“純”，例如“4個火3個水1個風(fēng)”的“純”值即為4。在未作說明時“純”不限定純色骰子組的數(shù)量，需要描述存在2組3純色骰子組則可以表達為“純3*2”。

“靶”：指作為標(biāo)靶的元素，即角色神之眼所對應(yīng)的元素，未作說明時靶向元素默認包含萬能元素，且未作特別說明時靶向元素不被計入純色骰子計算中。在概率計算上靶向元素的具體內(nèi)容（即是火或水）通常沒有意義，有意義的是靶向元素的數(shù)量，因此在描述時模糊靶向元素的內(nèi)容而突出其數(shù)量。

“中靶”：指投擲后獲得的靶向骰子（即顏色為靶向元素的骰子）的數(shù)量。如果需要描述特定靶向元素中靶數(shù)量，則可以表達為“中靶A2BC1”，即A元素中靶2個，B與C元素共計中靶1個（該表達主要用于突出在“靶”值中被模糊的部分，例如在中靶6中強調(diào)2色各3骰）。

課后作業(yè)：用白話翻譯一下“色7擲6靶3純2中靶1”以及“擲8靶3純2*2中靶A2B1C1（純色計算不排除靶向元素）”。

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（二）為方便表述而生造的相關(guān)概念

“首擲”：指第一次投擲骰子。

“重擲”：指第二次投擲骰子。

“熒元素”或“熒”：指萬能元素。

“可用元素”：一定意義上等同于靶向元素，是紅衣在《元素骰子概率簡述》中使用的概念，由于“可用”一詞易生歧義故決定不再使用，但可能順手就打了這個。

“可用骰”：顏色為可用元素的骰子。

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二、解決七圣召喚概率問題的通用方法

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（一）關(guān)鍵概念指標(biāo)化

在討論七圣召喚相關(guān)概率問題時我們傾向于使用口語化的簡短表達，因此這些表達很少會主動解釋問題中的關(guān)鍵概念，但這些關(guān)鍵概念又往往是多個事件的集合或者需要多層次的解讀。因此，在討論問題之前，我們需要先將問題中的關(guān)鍵概念轉(zhuǎn)化為可以用概率衡量的指標(biāo)，這既有利于理清思路也方便于與人交流。

[例]：“在不撕卡的情況下骰子一般支持怎樣的攻擊節(jié)奏？”中的“攻擊節(jié)奏”包含“最多支持單角色普攻1次”以及“最多支持2不同元素角色各戰(zhàn)技1次”等事件；“護法之誓的強度如何？”中的“強度”需要從成本與即時性等維度進行考量。

進攻節(jié)奏問題中進攻節(jié)奏的指標(biāo)為獲得特定骰子顏色組合的概率；魈卡強度問題中強度的指標(biāo)為特定情景下獲得4純色骰子的概率（各情景的具體概率將反映魈卡的即時性，各情景在概率上的差異將反映魈卡的成本）。

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（二）指標(biāo)事件的拆解與組合

關(guān)鍵概念往往具有相當(dāng)豐富的內(nèi)涵，需要相當(dāng)冗長的表達才能清晰準確的描述其指標(biāo)，但一個超百字的指標(biāo)名稱是顯然不適宜的。為此我們在使用簡練語句指稱總指標(biāo)之余，還需要視其內(nèi)涵的復(fù)雜程度將總指標(biāo)拆分為子指標(biāo)，必要時我們還會對子指標(biāo)進行二次拆解。在被拆解出的子指標(biāo)中往往包含一些不重要內(nèi)容，視討論需要可以予以排除，但骰子組合往往具有向下兼容的特點，因此在拆解、排除與重組時需要格外注意。此外，拆解子指標(biāo)時視討論所追求的精度以及指標(biāo)事件本身的特性，可以使用一些可能引起細微誤差但能夠有效降低問題復(fù)雜程度的拆解方法，在理想情況下，使用這類粗放方法獲得的數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)是能夠在二次加工后被處理成精準數(shù)據(jù)的。

[例]：進攻節(jié)奏問題的指標(biāo)被設(shè)定為特定骰子組合的概率，該指標(biāo)可以被嚴格地劃分為8個子指標(biāo)對應(yīng)8個事件：“兩次投擲中靶且僅中靶1個A或B骰子”（指單角色普攻1次）、“靶2中靶2”（指單元素角色普攻2次）、“靶2中靶3”（單角色戰(zhàn)技1次）、“靶2中靶4”（單元素角色普攻、戰(zhàn)技各一次）、“靶2中靶6”（單元素角色戰(zhàn)技兩次）；“靶3中靶AB1AC1”（不同元素角色各普攻1次，大部分場景下缺乏意義可視情況剔除）、“靶3中靶AB3AC1”（不同元素角色分別普攻1次戰(zhàn)技1次）、“靶3中靶AB3AC3”（不同元素角色各戰(zhàn)技1次）。由于骰子組合向下兼容的特點，在8個事件之余我們還需要進一步計算“靶2中靶5”（向下兼容“靶2中靶4”）、“靶3中靶AB4AC3”等事件的概率。因此我們可以選擇將“特定骰子組合的概率”這一指標(biāo)粗放地拆解為“靶3中靶1”、“靶3中靶2”、“靶3中靶3、4、5、6、7、8”，這將極大地減輕我們計算的工作量，同時在“靶3中靶2”的基礎(chǔ)上計算“色3擲2靶1中靶2”（2熒純色組）、“色3擲2靶2中靶A2”（2非熒純色組）、“色3擲2靶2中靶A1B1”（異色骰子組）等事件的概率我們還能進一步得到精確數(shù)據(jù)。

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（三）骰子事件的公式化表達（擲、純、靶、中靶）與概率計算

一般來說，能夠直接使用簡單計算得出概率的骰子事件多為單次投擲的結(jié)果且可以被表述為簡單命題，但這些事件大多過于特殊因而缺乏參考意義，重擲決策與重擲結(jié)果是我們在解決實際骰子問題時需要著重討論的，并且這些問題所討論的投擲結(jié)果往往是參差。我們的實際概率計算最終無法回避重擲，且必須落實到單次投擲所得骰子組合。兩次投擲的計算難以取巧，只能按部就班地將其分步處理，將重擲得特定骰子組合的概率視作多個由單次投擲結(jié)果構(gòu)成的交集事件概率的或集。而在紅衣看來我們所討論的一切單次投擲結(jié)果無論再如何參差，都可以被視作純色骰子組或靶向骰子組又或二者的組合。因此“純”與“中靶”就足以描述絕大多數(shù)骰子組合，在實際運算中我們以“擲”來討論重擲，以“靶”區(qū)隔、組合靶向組與純色組，而“色”則可以對已有數(shù)據(jù)進行再加工。這就是除精簡語句之外紅衣希望使用公式化的表達來描述骰子事件的另一重要原因，至于“擲、靶”等概念在計算工具中的具體意義還請參考本篇第三章的內(nèi)容。

[例]：“重擲后得3個靶向元素骰（靶3）”可視作“第一次擲骰得0個靶向元素骰且第二次擲骰得3個靶向元素骰”（“擲8靶3中靶0”且“擲8靶3中靶3”）與“第一次擲骰得1個靶向元素骰且第二次擲骰得2個靶向元素骰”（“擲8靶3中靶1”且“擲7靶3中靶2”）與“第一次擲骰得2個靶向元素骰且第二次擲骰得1個靶向元素骰”（“擲8靶3中靶2”且“擲6靶3中靶1”）與“第一次擲骰得3個靶向元素骰且第二次擲骰得0個靶向元素骰”（“擲8靶3中靶3”且“擲5靶3中靶0”）的或集。

課后作業(yè)：依上例格式拆解事件“重擲后得1個靶向元素骰及2*1純色組（靶3）”。

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三、概率公式與概率乘區(qū)

骰子概率計算的方法是不唯一的，在解決同一問題時采取不同思路可能得出兩組完全不同的數(shù)據(jù)，在兩者均正確的情況下仍需要二次加工才能確定其一致性。而即使采取相同思路，仍有可能在未化簡的情況下得出兩組不同算式。因此紅衣將著重講解的概率計算公式并非唯一方法也非特定問題的最優(yōu)方法，而是一種相對通用且被證明可行的方法。

先講思路（大致沿沿襲了紅衣先前的《元素骰子概率簡述》中的思路，但有所補充，不建議跳過）。對于專注于靶向元素骰的事件，例如“擲8靶3中靶3”，各骰子中靶與脫靶的概率是明確且均等的，也就是說將8個骰子按字母順序編號，骰A中靶的概率與靶F是一致的，因此骰ABC中靶與骰EFG中靶的概率也是一致的，即任意3個骰子中靶的概率是相同的，即通過計算特定3個骰子中靶的概率及3個骰子在“擲8”中的位置排列情況就可以得出“中靶3”概率。當(dāng)“中靶”=n時同理。由此我們?yōu)轺蛔痈怕视嬎阋肓?個基礎(chǔ)概念：特定個案乘區(qū)與位置排列乘區(qū)。而純色元素事件則相對更加復(fù)雜，因為“擲n純m，m/n>=2)、”類事件直接使用上文個案統(tǒng)合的方法時一定會遇到重復(fù)計入的問題，為避免重復(fù)計入等意外的出現(xiàn)我們需要對個案進行一定程度上的修正（重復(fù)計入的具體原因及修正方法將在后續(xù)篇章中與“修正區(qū)”一同展開，此處不過多贅述），由此我們引入一個新的乘區(qū)：個案修正乘區(qū)。此外，在中靶問題中如果不另外說明則骰子可以隨意混色，但純色問題中骰子無法混色或只能與熒混色，故而在“純n*m，m>1”需要額外關(guān)注m種純色的組合，由此引出了一個被忽視的乘區(qū)：顏色組合乘區(qū)。

[例]：“擲8靶3中靶3”的概率計算式為(3/8)^3*((8-5)/8)^(8-3)*COMBIN(8,3)（排列組合的符號表達不便，因此采取EXCEL的表達方法，COMBIN(n,m)即為n!/(m!*(n-m)!)），其乘區(qū)結(jié)構(gòu)為

特例乘區(qū)，(3/8)^3*((8-5)/8)^(8-3)。

位置乘區(qū)，COMBIN(8,3)。

“擲7純3靶3”的概率計算式為(1/8)^6*6/8*COMBIN(8-3,2)*COMBIN(7,3)*COMBIN(4,3)+(1/8)^3*(7/8)^4*(1-(1/7)^3*6/7*4*COMBIN(4,3)-(1/7)^4*4)*(8-3)*COMBIN(7,3)，其中(1/8)^6*6/8*COMBIN(8-3,2)*COMBIN(7,3)*COMBIN(4,3)為“擲7純3*2靶3”的概率；(1/8)^3*(7/8)^4*(1-(1/7)^3*6/7*4*COMBIN(4,3)-(1/7)^4*4)*(8-3)*COMBIN(7,3)為“擲7純3*1靶3”的概率，其乘區(qū)結(jié)構(gòu)為

特定個案乘區(qū)，(1/8)^3*(7/8)^4。

個案修正乘區(qū)，(1-(1/7)^3*6/7*4*COMBIN(4,3)-(1/7)^4*4)。

顏色組合乘區(qū)，(8-3)即COMBIN(8-3,1)。

位置排列乘區(qū)，COMBIN(7,3)。

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然后講方法。該思路衍生出的具體方法并不十分簡明，要完整且清晰地講好標(biāo)靶與純色問題則紅衣不僅要簡單說明常見的特例概率計算、位置與顏色排列組合的方法還需要展開解說位置排列與顏色組合的原則、特例乘區(qū)與修正乘區(qū)的互動、常見的修正方法等內(nèi)容，但這樣的工作量是巨大的。因此本文將僅以“擲8靶3中靶4”為例，講解常見且基礎(chǔ)的特例乘區(qū)與位置乘區(qū)的應(yīng)用，如果你已經(jīng)讀過并理解了紅衣先前寫的《元素骰子概率簡述》則可以跳過這部分內(nèi)容，如果你希望提前了解其它乘區(qū)的應(yīng)用則可以參考上文羅列的乘區(qū)構(gòu)成以及下文將展示的算式與工具。

“擲8靶3中靶4”：將骰子以字母順序編號得骰ABCDEFGH，其中骰ABCD中靶，則單個骰子中靶的概率為3/8，靶向骰即骰ABCD的數(shù)量為4；單個單個骰子不中靶的概率為(8-3)/8，除靶向骰ABCD外的骰子數(shù)量為(8-4)。得骰ABCD中靶的概率即特定個案乘區(qū)為(3/8)^4*((8-3)/8)^(8-4)。同理骰ABCE中靶的概率為(3/8)^4*((8-3)/8)^(8-4)，換而言之任意4骰中靶的概率均為(3/8)^4*((8-3)/8)^(8-4)。類似“骰ABCD中靶”的事件數(shù)量等同于從骰ABCDEFGH中任取4骰所得的組合數(shù)量，則位置排列乘區(qū)為COMBIN(8,4)。則事件“有且僅有4骰中靶”的概率為COMBIN(8,4)個類“骰ABCD中靶”事件的概率之和，得“擲8靶3中靶4”的概率為(3/8)^4*((8-3)/8)^(8-4)*COMBIN(8,4)。

（好僵硬的講解啊...如果有不清楚的地方可以評論提出，如果有關(guān)于改進講解方法的建議還望不吝賜教）

課后作業(yè)：試求“擲8靶2中靶3”的概率計算式。

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四、算式與工具展示及后續(xù)規(guī)劃

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（一）廢話（紅衣的碎碎念，可跳過）

本篇寫于棄坑“魈卡強度討論”之后，最早我只想試一試計算純色問題，但幾經(jīng)波折之后我選擇了半擺爛。所幸有一位米游社的朋友Iwould，在我擺爛的時候用實際行動給了我兩巴掌，雖然后來我還是回歸了半擺爛，但至少當(dāng)時我至少被扇出了半刻清明。唔，還是直接抄一下我寫在“魈卡強度討論”里數(shù)學(xué)工具簡述一節(jié)的感謝語吧：“盡管作為一個文科出身的社科生，紅衣的數(shù)學(xué)知識極度有限，甚至沒能讀懂他關(guān)于元素骰概率的討論（所以說，隔板法到底是什么？），但他的討論還是驅(qū)策我一定程度上結(jié)束了擺爛狀態(tài)，并且他的高效率還促使紅衣放棄了“找到一個簡潔且普遍適用并具有明確數(shù)學(xué)意義還不用修正的特例概率公式”的狂妄念頭，由此紅衣才能腳踏實地地完成概率計算（所以說社科人為什么要放棄一個問題一個理論、解釋得通就算糊弄成功的光榮傳統(tǒng)，轉(zhuǎn)而尋求普適方法?。！?span id="s0sssss00s" class="font-size-16">完成計算工具的推導(dǎo)之后我打算用魈卡來證道，但魈卡的討論涉及重擲決策與特定策略下的出牌概率以及資源交換的即時性與收益，越寫越發(fā)現(xiàn)工作量爆炸也就越壓抑，最后就道心崩潰擺爛棄坑了。但我又不能半點成果都沒有吧，棄坑了魈卡討論這個實際應(yīng)用那轉(zhuǎn)投算法講解怎么樣？想了想又擺爛了，這部分內(nèi)容工作量依舊不小，實在不是我能一篇講清楚的。嘛，所以說為什么最后還是寫了呢？因為怕自己又閉門造輪了，搜了下骰子概率相關(guān)內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)過了一個版本但我的《骰子概率簡述》還是挺能打的，而且貌似大家更喜歡用程序暴力模擬來代替計算。重鑄EXCEL計算榮光，我輩義不容辭（紅衣也就這點技術(shù)力和出息了），一篇寫不下咱寫一系列嘛。

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（二）算式及工具展示

此部分內(nèi)容主要用于為希望進一步了解骰子概率計算的牌手提供一個參考，因為工具是針對標(biāo)靶問題和純色問題開發(fā)的，所以就算對計算過程不感興趣也能為你回答一些常見的骰子問題。

此外需要注意的是，工具中部分概念的表達和現(xiàn)在不同,請注意甄別。各表均有多頁，前頁為防止損壞上鎖，后頁為方便研究未上鎖，想要研究工具中使用的算式還請記得翻頁。

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1.靶向問題工具：單元素加無元素骰子概率（鏈接參見評論區(qū)）

?骰子概率計算表

代表算式，“擲8靶3中靶4”(3/8)^4*((8-3)/8)^(8-4)*COMBIN(8,4)。

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2.純色問題工具：概率值表（該工具包含算法正確性的驗證，演算方法為，特定“擲”下各“純”概率與無純色概率的和為1）

代表算式，“擲7純3靶3”(1/8)^6*6/8*COMBIN(8-3,2)*COMBIN(7,3)*COMBIN(4,3)+(1/8)^3*(7/8)^4*(1-(1/7)^3*6/7*4*COMBIN(4,3)-(1/7)^4*4)*(8-3)*COMBIN(7,3)。

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3.“擲7純2*2靶3中靶A1B1”概率計算式：1/8*1/8*(1/8)^2*(1/8)^2*3/8*COMBIN(5,2)*COMBIN(7,1)*COMBIN(6,1)*COMBIN(5,2)*COMBIN(3,2)

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（三）后續(xù)規(guī)劃

沒啥規(guī)劃，下一篇一定會講的是如何在計算“擲8靶3中靶6”后進一步加工以獲得“中靶A3B2C1”的概率，由此引出位置乘區(qū)的進階應(yīng)用，有可能會講的是由此引出的純色問題的計算細節(jié)，再有就還沒想好。

不必擔(dān)心說是我連下一篇講什么都沒想好，因為下一篇估計要拖挺久，我接下來得應(yīng)付被推到學(xué)期初的期末了。只希望這個學(xué)期結(jié)束前能結(jié)束這系列，并再添一篇魈卡討論吧。今天趕進度，寫了好多，累了，犯困，先到這里。

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最后的最后，照例感謝你能頂著我雜亂且枯燥的文字讀到這里，不勝榮幸。